统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练16概率理（附解析）

概率(16)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)A．0.3B．0.4C．0.6D．0.72．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术．某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为(　　)A．0.56B．0.86C．0.94D．0.963．[2023·湖南衡阳市高三一模]二项式的展开式中常数项为－20，则含x4项的系数为(　　)A．－6B．－15C．6D．154．[2023·全国甲卷(理)]某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　)A．0.8B．0.6C．0.5D．0.45.[2023·全国高三专题练习]如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC＝2，AC＝4，在△ABC内任取一点，则此点取自正方形DEFC内的概率为(　　)A．B．C．D．6．[2023·全国甲卷(理)]现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、 星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　)A．120种B．60种C．30种D．20种7．[2023·湖北省荆门高三联考]若(x－)8的展开式中x4的系数为7，则展开式的常数项为(　　)A．B．C．－D．－8．[2023·全国高三月考]《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为(　　)A．B．C．D．9.祖冲之是中国南北朝时期的著名的数学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年．为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值．正三角形的边长为4，若总豆子数n＝1000，其中落在圆内的豆子数m＝618，则估算圆周率π的值是(为方便计算取1.70，结果精确到0.01)(　　)A．3.13B．3.14C．3.15D．3.1610．[2023·黄冈中学、华师附中等八校联考]如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综 合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲、乙两人在5次综合测评中的成绩的中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率为(　　)A.B．C．D．11．[2023·全国乙卷(理)]甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　)A．30种B．60种C．120种D．240种12．[2023·贵州黔东南苗族侗族自治州模拟]数学家阿基米德建立了这样的理论：“任何由直线与抛物线所围成的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，直线y＝2与抛物线x2＝4y交于M、N两点，M、N两点在x轴上的射影分别为A、B，从长方形ABNM内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为(　　)A．B．C．D．[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2023·辽宁省六校高三期中联考]将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有________种．14．[2023·百校联盟高三教学质量考试]张老师每天晚上20：05－20：50时间段通过班级群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是________．15．[2023·福建省漳州市高三质检]已知二项式(2x－)n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为________． 16.[2023·四川省眉山市仁寿一中高三模拟]太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示).其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．概率（16）1．B　由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.2．C　设事件A表示“甲部门攻克该技术难题”，事件B表示“乙部门攻克该技术难题”，P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为：P＝1－（1－P（A））（1－P（B））＝1－0.2×0.3＝0.94，故选C.3．A　二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx6－r＝（－a）rCx6－2r当r＝3时，为常数项．则C（－a）3＝－20⇒a＝1，令6－2r＝4，得r＝1，所以含x4项的系数C（－1）1＝－6.故选A.4．A　 方法一　如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为＝＝0.8，故选A.方法二　令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，P（AB）＝P（A）＋P（B）－0.7＝0.4，所以P（C）＝P（A|B）＝＝＝0.8，故选A.5．D　∵tanB＝＝＝2，∴tanB＝＝2，EF＝2FB＝2（BC－EF）＝2（2－EF），解得EF＝，∴S△ACB＝AC·BC＝×4×2＝4，S四边形DEFC＝×＝，根据几何概型P＝＝.故选D.6．B　先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有A种安排方式．所以不同的安排方式共有C·A＝60（种）.故选B.7．A　的二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝Cx8－r＝C（－a）rx8－r，令8－r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为C（－a）3＝7，解得a＝－，所以的二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝Cx8－r＝Cx 8－r，令8－r＝0，解得r＝6，所以展开式的常数项为C＝，故选A.8．C　从八卦中任取一卦，基本事件有C＝8种，其中恰有1根阳线和2根阴线，基本事件共有3种，∴从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为p＝.故选C.9．C　由题意可得，S正三角形＝4，内切圆的半径r内＝，S内切圆＝，则＝＝，π＝3.1518≈3.15.故选C.10．A　由已知得甲的成绩从小到大为84，86，91，98，98，其中位数为91，平均成绩甲＝＝，因为甲、乙两人5次综合测评的成绩的中位数相等，所以乙的成绩的中位数也是91，两个被污损的数字其中一个必为1，另一个不小于1，不妨设该数字为a（a∈N，1≤a≤9），当乙的平均成绩低于甲的平均成绩时，>，所以a<3，即1≤a<3（a∈N），所以乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率P＝，故选A.11．C　甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C＝6（种）情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有CC＝20（种）情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120（种）选法，故选C.12．B　由题可知，M（－2，2），N（2，2），∴SABNM＝2×4＝8，由阿基米德理论可知：弓形面积为S弓＝××4×2＝，S阴＝8－＝， ∴概率P＝＝＝.故选B.13．答案：150解析：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有CCA＝90种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有CCA＝60种结果，∴根据分类计数原理知共有90＋60＝150种．14．答案：解析：由题意可知，该学生在19：00至20：30之间加入群聊，其时间长度为90分钟．该学生等待直播的时间不超过30分钟，则应该在19：35至20：30之间的任意时刻加入，区间长度为55.由测度比为长度比，可知他等待直播的时间不超过30分钟的概率是＝.15．答案：112解析：二项式的展开式的二项式的系数和为256，可得2n＝256，解得n＝8，则＝展开式的通项为Tr＋1＝C＝（－1）rC28－r·x（8－r）－（r＝0，1，2，3，…，8），令（8－r）－＝0，解得r＝6，可得常数项为C22＝112.16．答案：解析：依题意，大圆的直径为y＝3sinx的最小正周期T＝＝8，所以大圆的面积S＝π＝16π.又一个小圆的面积S0＝π×12＝π. 故所求事件的概率P＝＝＝.