统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练4数列文（附解析）

数列(4)1．[2023·吉林长春模拟预测(文)]已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋2(n∈N*).(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；(2)设bn＝log3(an＋1)，求数列的前n项和Tn.2．[2023·江西宜春模拟预测(文)]已知公差不为0的等差数列{an}中，a2＝3且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{3nan}的前n项和Tn. 3．[2023·云南曲靖二模(文)]已知数列{an}满足a1＝5，an＋1＝4an－3n2＋2n＋1.(1)证明：数列{an－n2}为等比数列；(2)当n为偶数时，求数列{(－1)nan}的前n项和Sn.4．[2023·西藏日喀则模拟预测(文)]已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·log2an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn. 5．[2023·江西模拟预测(文)]在①S3＝a10－2，②Sn＝n2＋bn(b为常数)，③－＝1这三个条件中选择一个，补充在下面横线中，并给出解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝27＋S1，且________．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．6．[2023·陕西西安中学模拟预测(文)]记Sn为等比数列{an}的前n项和，且公比q>1，已知a2＝4，S3＝14.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋(λ－1)n，若{bn}是递增数列，求实数λ的取值范围． 数列（4）1．解析：（1）证明：因为a1＝2，an＋1＝3an＋2（n∈N*），所以an＋1＋1＝3an＋3＝3（an＋1），又a1＋1＝3，即＝3，所以{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）可得an＋1＝3n，所以bn＝log3（an＋1）＝log33n＝n，所以＝＝－，所以Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.2．解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意可知a＝a1a5.即（a1＋d）2＝a1（a1＋4d），又a2＝a1＋d＝3，得3d2－6d＝0，因为d≠0，所以d＝2，a1＝1.故通项公式an＝2n－1.（2）3nan＝（2n－1）3n，Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋（2n－1）×3n，3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋（2n－1）×3n＋1，－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－（2n－1）×3n＋1＝－3＋2（3＋32＋…＋3n）－（2n－1）×3n＋1＝－3＋2×－（2n－1）×3n＋1＝－6＋3n＋1－（2n－1）×3n＋1＝－6＋（2－2n）×3n＋1，所以Tn＝（n－1）×3n＋1＋3.3．解析：（1）证明：因为a1－12＝4，an＋1＝4an－3n2＋2n＋1，所以＝＝＝4，所以数列{an－n2}是首项为4，公比为4的等比数列．（2）由（1）可得an－n2＝4·4n－1，即an＝n2＋4n，则Sn＝－a1＋（－1）2a2＋（－1）3a3＋（－1）4a4＋…＋（－1）nan＝（－1－4）＋（22＋42）＋（－32－43）＋（42＋44）＋…＋（－1）n（n2＋4n）.当n为偶数时，（－1）nan＋（－1）n－1an－1＝n2＋4n－（n－1）2－4n－1＝2n－1＋3·4n－1，则Sn＝3＋3×4＋7＋3×43＋11＋3×45＋…＋2n－1＋3×4n－1 ＝3＋7＋11＋…＋2n－1＋3×（4＋43＋45＋…＋4n－1）＝＋3×＝＋.4．解析：（1）当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－（2an－1－2），即：＝2，∴数列{an}为以2为公比的等比数列，∴an＝2n.（2）bn＝2n·log22n＋1＝（n＋1）2n，Tn＝2×2＋3×22＋…＋n·2n－1＋（n＋1）2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n·2n＋（n＋1）2n＋1，两式相减，得－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－（n＋1）2n＋1＝－n·2n＋1，∴Tn＝n·2n＋1.5．解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，由S4＝27＋S1，得S4－S1＝a2＋a3＋a4＝3a3＝27，∴a3＝9.若选①，则由S3＝a10－2，得3a1＋3d＝a1＋9d－2，又a3＝a1＋2d＝9，解得a1＝5，d＝2，∴an＝a1＋（n－1）d＝2n＋3.若选②：由Sn＝n2＋bn（b为常数），得a3＝S3－S2＝9＋3b－4－2b＝9，∴b＝4，∴Sn＝n2＋4n，∴a1＝S1＝5，∴d＝＝2.∴an＝a1＋（n－1）d＝2n＋3.若选③：∵Sn＝na1＋，则＝a1＋，＝a1＋，由－＝1，得＝1，∴d＝2，∴an＝a3＋（n－3）d＝2n＋3.（2）令bn＝，则bn＝＝（－），所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝×（－＋－＋…＋－）＝×（－）＝.6．解析：（1）∵等比数列{an}中，a2＝4，S3＝14，q>1.∴＋4＋4q＝14，解得q＝2或（舍）， ∴an＝4·2n－2＝2n.（2）由bn＝an＋（λ－1）n＝2n＋（λ－1）n，得bn＋1＝2n＋1＋（λ－1）（n＋1），则bn＋1－bn＝2n＋1－2n＋λ－1＝2n＋λ－1，因为{bn}是递增数列，所以bn＋1－bn>0，故2n＋λ－1>0，即λ>1－2n，因为{1－2n}是递减数列，所以该数列的最大项是1－21＝－1，所以λ的取值范围是（－1，＋∞）.