统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练4数列理（附解析）

数列(4)1．[2023·新疆阿勒泰三模]已知数列{an}的前n项和为Sn，2＝an＋1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，数列{an}中第b1，b2，b3，…，bn，…项构成新的数列{cn}，且数列{cn}为等比数列，求数列{bn}前n项和Tn.2．[2023·青海西宁三模]设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2＋5n.(1)求证：数列{3an}为等比数列；(2)设bn＝2Sn－3n，求数列前n项和Tn. 3．[2023·黑龙江哈尔滨三中模拟]已知数列{an}，a1＝3，点(an，an＋1)在曲线y＝上，且bn＝.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)已知数列{cn}满足cn＝bn·2，记Sn为数列{cn}的前n项和，求Sn，并证明：当n≥2时，Sn>6.4．[2023·四川雅安三模]在①3Sn＋1＝Sn＋1，②2Sn＝1－3an＋1这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a2＝，________；又知正项等差数列{bn}满足b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)证明：ab1＋ab2＋…＋abn<.5．[2023·宁夏银川模拟]已知等差数列{an}满足an＋an＋1＝4n.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝ancosnπ，记{bn}的前n项和为Sn，求S2n. 6．[2023·江西模拟预测]各项都为正数的单调递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn＝a＋4n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)求Tn＝＋＋…＋；(3)设cn＝(－1)nan，数列{cn}的前n项和为Pn，求使Pn＞46成立的n的最小值．数列（4）1．解析：（1）∵2＝an＋1（n∈N*），∴2＝a1＋1，∴a1＝1.∴4Sn＝（an＋1）2，∴当n≥2时，4Sn－1＝（an－1＋1）2，4an＝4（Sn－Sn－1）＝a－a＋2an－2an－1.即a－a－2an－2an－1＝（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0.又an>0，∴an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2，∴an＝2n－1（n∈N*）.（2）由（1）知数列{an}中第b1，b2项为a2＝3，a5＝9，即等比数列{cn}为首项为3，公比为3的等比数列，∴cn＝3n，而cn＝abn＝2bn－1＝3n，∴bn＝.∴Tn＝[＋n]＝（3n＋1－3）＋（n∈N*）.2．解析：（1）证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n＋3，当n＝1时，a1＝S1＝7，也满足an＝4n＋3，故an＝4n＋3，∵an＋1－an＝4，∴q＝3an+13an＝3an+1-an＝34＝81（为定值），∴数列{3an}是公比为81的等比数列．（2）∵bn＝4n2＋7n，∴＝＝， ∴Tn＝＝＝.3．解析：（1）证明：因为点（an，an＋1）在曲线y＝上，所以an＋1＝，因为a1＝3，所以b1＝＝＝1，因为bn＋1－bn＝－＝－＝－＝2，所以数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）得bn＝b1＋（n－1）·2＝2n－1，所以cn＝bn·2＝（2n－1）·2n，所以Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋（2n－1）·2n，2Sn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋（2n－1）·2n＋1，所以Sn－2Sn＝2＋2（22＋23＋…＋2n）－（2n－1）·2n＋1，所以－Sn＝2＋2×－（2n－1）·2n＋1＝－6＋（3－2n）·2n＋1，所以Sn＝6＋（2n－3）·2n＋1，当n≥2时，2n－3>0，所以Sn>6.4．解析：（1）选择①时，根据题意可得：∵3Sn＋1＝Sn＋1，∴当n≥2时，有3Sn＝Sn－1＋1，两式相减得：3an＋1＝an，即＝.又当n＝1时，有3S2＝S1＋1＝3（a1＋a2），又∵a2＝，∴a1＝，＝也适合，∴数列{an}是首项、公比均为的等比数列，∴an＝n；设正项等差数列{bn}的公差为d，∵b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列，∴（b2－1）2＝b1b3，即（2＋d－1）2＝2（2＋2d），解得d＝3或d＝－1（舍），∴bn＝2＋3（n－1）＝3n－1，故an＝，bn＝3n－1.选择②时：根据题意可得：∵2Sn＝1－3an＋1， ∴当n≥2时，2Sn－1＝1－3an，两式相减得：2an＝－3an＋1＋3an，即＝.又当n＝1时，有2S1＝1－3a2＝2a1，又∵a2＝，∴a1＝，而＝也符合上式，∴数列{an}是首项、公比均为的等比数列，∴an＝；设正项等差数列{bn}的公差为d，∵b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列，∴（b2－1）2＝b1b3，即（2＋d－1）2＝2（2＋2d），解得d＝3或d＝－1（舍），∴bn＝2＋3（n－1）＝3n－1，故an＝，bn＝3n－1.（2）证明：由（1）可得an＝，bn＝3n－1，∴ab1＋ab2＋…＋abn＝a2＋a5＋…＋a3n－1＝＋＋…＋＝＝<.5．解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，所以an＝a1＋（n－1）d＝nd＋a1－d，所以an＋an＋1＝2dn＋2a1－d＝4n，所以，解得，则an＝2n－1.（2）因为an＝2n－1且bn＝ancosnπ，所以bn＝（2n－1）cosnπ＝，所以b2k－1＋b2k＝－（4k－3）＋（4k－1）＝2，所以S2n＝（b1＋b2）＋（b3＋b4）＋…＋（b2n－1＋b2n）＝2n.6．解析：（1）因为4Sn＝a＋4n（n∈N*）①，当n＝1时，解得a1＝2；当n≥2时，4Sn－1＝a＋4（n－1）②；①－②得：a－a＋4＝4an，整理得（an－an－1－2）（an＋an－1－2）＝0， 所以an－an－1＝2或an＋an－1＝2，因为数列{an}是单调递增数列，所以an＋an－1＝2舍去，所以an－an－1＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列；所以an＝2＋2（n－1）＝2n；（2）由于an＝2n，所以Sn＝2×＝n2＋n，故＝＝－，所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.（3）由（1）得：cn＝（－1）nan＝（－1）n·2n，所以当n为偶数时，Pn＝c1＋c2＋…＋cn－1＋cn＝×2＝n；n的最小值为48；当n为奇数时，Pn＝c1＋c2＋…＋cn－1＋cn＝×2－2n＝－n－1，不存在最小的n值．故当n为48时，满足条件．