统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练10解析几何理（附解析）

解析几何(10)1．[2023·全国甲卷(理)]已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4.(1)求p；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值．2．[2023·江西模拟预测]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，动直线l经过点(2，5)交C于A，B两点，O为坐标原点，当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10.(1)求C的方程；(2)C上是否存在定点P，使得P在以AB为直径的圆上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．[2023·贵州模拟预测]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P(－2，y0)为抛物线上一点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且△FPQ的面积为2.(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段AB的中垂线与y轴交于点M.证明：为定值．4．[2023·陕西模拟预测]已知椭圆＋＝1(a>b>0)，椭圆长轴长为4，离心率为，AB是经过右焦点F的任一弦，设直线AB与直线l：x＝4交于点M.(1)求椭圆C的标准方程；(2)试问在椭圆上是否存在一定点P使得k1，k2，k3成等差数列(其中k1，k2，k3分别为直线PA，PM，PB的斜率)，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 5．[2023·宁夏石嘴山市第一中学三模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1，m)(m>0)，焦点为F，PF＝2，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求抛物线C的方程；(2)求直线l的斜率的取值范围；(3)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．6．[2023·黑龙江哈师大附中三模]已知椭圆C：＋＝1，点E(－4，0)，过点E作斜率大于0的直线与椭圆C相切，切点为T.(1)求点T的坐标；(2)过线段ET的中点G作直线l交椭圆C于A，B两点，直线EA与椭圆C的另一个交点为M，直线EB与椭圆C的另一个交点为N，求证：MN∥ET；(3)请结合(2)的问题解决，运用类比推理，猜想写出抛物线中与之对应的一个相关结论(无需证明). 解析几何（10）1．解析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，由Δ1＝16p2－8p>0，得p>.由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－（舍去），故p＝2.（2）设M（x3，y3），N（x4，y4），由（1）知抛物线C：y2＝4x，则点F（1，0）.因为·＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝|MF||NF|＝（x3＋1）（x4＋1）＝（x3x4＋x3＋x4＋1）（*）.当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°，所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，由得x2－6x＋1＝0，得或代入（*）式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4（3－2）.当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m.由得k2x2－（4－2km）x＋m2＝0，Δ2＝（4－2km）2－4m2k2>0，则y3y4＝（kx3＋m）（kx4＋m）＝k2x3x4＋mk（x3＋x4）＋m2＝.又·＝（x3－1，y3）·（x4－1，y4）＝x3x4－（x3＋x4）＋1＋y3y4＝0， 所以－＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4.所以S△MFN＝（x3x4＋x3＋x4＋1）＝＝＝＋2＋1.令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，因为m2＋k2＋6km＝4，所以＋6＋1＝>0，即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2，从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4（3－2.故△MFN面积的最小值为4（3－2）.2．解析：（1）因为当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10，联立，得x＝±，y＝5.所以△OAB的面积为×2·5＝10，解得p＝2，所以C的方程为x2＝4y.（2）由题知l的斜率存在，设l的方程为y＝k（x－2）＋5，A（x1，），B（x2，），假设存在点P（x0，），使得·＝0，联立，得x2－4kx＋8k－20＝0，则Δ＝16k2－4（8k－20）＝16[（k－1）2＋4]>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝8k－20.又＝（x1－x0，－），＝（x2－x0，－），所以·＝（x1－x0）（x2－x0）＋（－）（－）＝（x1－x0）（x2－x0）[＋1]＝0，又x1≠x0且x2≠x0，所以（x1＋x0）（x2＋x0）＋16＝0，所以x1x2＋x0（x1＋x2）＋x＋16＝0，则x＋4kx0＋8k－4＝0，即（x0＋2）（x0＋4k－2）＝0， 所以当x0＝－2时，无论k取何值等式都成立，将x0＝－2代入x2＝4y，得y0＝1，所以存在定点P（－2，1）符合题意．3．解析：（1）由题意可知P（－2，），设抛物线C在点P处的切线方程为y－＝k（x＋2），联立得x2－2pkx－（4pk＋4）＝0，由Δ＝4p2k2＋4（4pk＋4）＝0解得k＝－，故切线方程为y－＝－（x＋2），令x＝0，得y＝－，即Q（0，－），又F（0，），所以S△FPQ＝×（＋）×2＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.（2）证明：由（1）可知F（0，1），显然直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2）.联立方程组，消去y得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2＝4k2＋2，得|AB|＝y1＋y2＋2＝4k2＋4，所以线段AB的中点为（，）＝（2k，2k2＋1），中垂线所在直线的斜率k′＝－，故线段AB中垂线所在的直线方程为y－2k2－1＝－（x－2k），令x＝0，得yM＝2k2＋3，所以|MF|＝2k2＋2，所以＝＝为定值，得证．4．解析：（1）由题意，得2a＝4，＝，所以a＝2，c＝1，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. （2）由（1）知，椭圆的方程为＋＝1，假设存在P（m，n）满足k1＋k3＝2k2，且＋＝1；因为椭圆右焦点坐标为F（1，0），显然直线AB斜率存在，设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k（x－1），当k＝0时，A（－2，0），B（2，0），M（4，0），则由k1＋k3＝2k2，得＋＝，即m＝1，则又由＋＝1，得P；联立方程组，得（4k2＋3）x2－8k2x＋4（k2－3）＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1＋x2＝，x1x2＝，由直线AB的方程为y＝k（x－1），得M（4，3k）；①当点P为P（1，）时，k1＝，k2＝＝k－，k3＝，又因为A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有＝＝k，所以k1＋k3＝＋＝＋－（＋）＝2k－×，将x1＋x2＝，x1x2＝，代入得k1＋k3＝2k－×＝2k－1，又由k2＝k－，所以k1＋k3＝2k2，即k1，k2，k3成等差数列；②当点P为P（1，－）时， k1＝，k2＝＝k＋，k3＝，又因为A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有＝＝k，所以k1＋k3＝＋＝＋＋（＋）＝2k＋×，将x1＋x2＝，x1x2＝，代入得k1＋k3＝2k＋×＝2k＋1，又由k2＝k＋，所以k1＋k3＝2k2，即k1，k2，k3成等差数列；综上所述，椭圆上存在定点P（1，±），使得k1，k2，k3成等差数列．5．解析：（1）抛物线C：y2＝2px经过点P（1，m），PF＝1＋＝2，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.（2）由题意，直线l的斜率存在且不为0，设过点（0，1）的直线l的方程为y＝kx＋1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组可得，消y可得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0，∴Δ＝（2k－4）2－4k2>0，且k≠0，解得k<1，且k≠0，则x1＋x2＝－，x1x2＝， 又∵PA、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，－2），即k≠－3，故直线l的斜率的取值范围是（－∞，－3）∪（－3，0）∪（0，1）.（3）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），则＝（0，yM－1），＝（0，－1），因为＝λ，所以yM－1＝－λ，故λ＝1－yM，同理μ＝1－yN，直线PA的方程为y－2＝（x－1）＝（x－1）＝（x－1），令x＝0，得yM＝，同理可得yN＝，因为＋＝＋＝＋＝＝＝＝＝＝2，∴＋＝2，∴＋为定值．6．解析：（1）设切线ET的方程为y＝k（x＋4），联立方程⇒（1＋4k2）x2＋32k2x＋64k2－8＝0　①，因为直线与椭圆C相切，所以Δ＝（32k2）2－4（1＋4k2）（64k2－8）＝0⇒4k2－1＝0，∵k>0，∴k＝.当k＝时，代入①式中得x2＋4x＋4＝0，解得x＝－2，进而代入直线ET方程可得y＝1， 故T（－2，1）.（2）证明：由题意知：直线EA，EB有斜率，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），N（xN，yN），EA，EB的斜率分别为k1，k2，k1＝，k2＝，联立方程⇒（1＋4k）x2＋32kx＋64k－8＝0，由根与系数的关系可知：x1＋xM＝，又＋＝1，从而xM＝－x1＝－x1＝，yM＝，同理可得：xN＝，yN＝，∵G（－3，），故设直线AB为y＝k（x＋3）＋.kMN＝＝＝＝＝＝＝kET，所以直线MN与ET平行．（3）由（2）可得：过x轴负半轴上一点E作抛物线C：y2＝2px（p>0）的切线ET，再过E，T的中点G作直线与抛物线交于A，B两点，直线EA与抛物线C的另一个交点为M，直线EB与抛物线C的另一个交点为N，则MN∥ET.