统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练9解析几何理（附解析）

解析几何(9)1．[2023·安徽马鞍山二中模拟预测]已知A，B分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点，F为C的右焦点，·＝4，点P(2，－1)在C上，且点P关于x轴的对称点为Q.(1)求C的方程；(2)设O为坐标原点，M，N是C上两动点，其中M在第四象限内且在点P的右侧，PQ平分∠MPN，求证∠MNP＝∠OPN.2．[2023·四川雅安三模]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，长轴长为4，离心率为.过点Q(4，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：为定值． 3．[2023·吉林长春模拟预测]已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线被E所截得的弦长为16.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点C为抛物线上的任意一点，以C为圆心的圆过点F，且与直线y＝－相交于A，B两点，求|FA|·|FB|·|FC|的取值范围．4．[2023·山西太原三模]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(，1)，离心率为e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足＝－λ，＝λ，求线段PN长的最小值． 5．[2023·全国乙卷(理)]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)过点的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．6．[2023·贵州模拟预测]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，P(－4，m)(m>p)是抛物线C上一点，且|PF|＝5.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线AB与抛物线C交于A，B两点，且直线PA，PB关于直线y＝4对称，当|AB|＝20时，求直线AB的方程．解析几何（9）1．解析：（1）由题意可知，A（0，b），B（0，－b），F（c，0），则＝（c，－b），＝（c，b），由·＝4，得c2－b2＝4.①由题意可知点P（2，－1）在C上， 所以＋＝1，②又a2＝b2＋c2，③由①②③得a2＝8，b2＝2，故C的方程为＋＝1.（2）证明：如图所示：由（1）可知PQ⊥x轴，因为PQ平分∠MPN，所以直线PM，PN关于直线x＝2对称，所以kPM＋kPN＝0，易知直线PM的斜率存在，且不为0，设直线PM的斜率为k，则直线PN的斜率为－k，则直线PM的方程为y＋1＝k（x－2），即y＝k（x－2）－1，直线PN的方程为y＋1＝－k（x－2），y＝－k（x－2）－1.联立，整理得（1＋4k2）x2－（16k2＋8k）x＋16k2＋16k－4＝0，设M（x1，y1），则2x1＝，所以x1＝，同理设N（x2，y2），则x2＝.所以直线MN的斜率为kMN＝＝，＝＝＝＝－.又知OP的斜率为kOP＝＝－，所以kMN＝kOP，所以MN∥OP，故∠MNP＝∠OPN. 2．解析：（1）由已知有，解得，故椭圆C的标准方程为＋＝1.（2）证明：由已知直线l斜率不为零，故设其方程为x＝my＋4，由消去x得（3m2＋4）y2＋24my＋36＝0，令Δ>0得m2>4.设A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1＋y2＝－，y1·y2＝，易知F（1，0），∴＝·＝·＝＝＝＝＝－1，所以为定值－1.3．解析：（1）由抛物线方程得：F（0，），可设过点F且倾斜角为的直线为y＝x＋，由得x2－2px－p2＝0，由抛物线焦点弦长公式可得y1＋y2＋p＝（x1＋x2）＋2p＝8p＝16，解得p＝2，∴抛物线E的方程为x2＝4y.（2）由（1）知：F（0，1），准线方程为y＝－1； 设∠AFB＝θ，圆C的半径为r，则∠ACB＝2θ，|FC|＝|CA|＝|CB|＝r，∴S△AFB＝|FA|·|FB|sinθ＝|AB|·＝|AB|，又|AB|＝2rsinθ，∴|FA|·|FB|＝3r；由抛物线定义可知：|CF|＝yc＋1≥1，即r≥1，∴|FA|·|FB|·|FC|＝3r3≥3，即|FA|·|FB|·|FC|的取值范围为[3，＋∞）.4．解析：（1）根据题意，解得a2＝4，b2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），由＝－λ，＝λ，得，，∴4x＝，y＝，又x＋2y＝4，x＋2y＝4，∴4x＋2y＝＝4，∴点N在直线2x＋y－2＝0上，∴PN最小＝＝＝.5．解析：（1）因为点A（－2，0）在C上，所以＝1，得b2＝4.因为椭圆的离心率e＝＝， 所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，故椭圆C的方程为＋＝1.（2）由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k（x＋2），P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（4k2＋9）x2＋（16k2＋24k）x＋16k2＋48k＝0，则Δ＝（16k2＋24k）2－4（4k2＋9）（16k2＋48k）＝－36×48k>0，故x1＋x2＝－，x1x2＝.直线AP：y＝（x＋2），令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝，则yM＋yN＝2＝2＝2＝2＝2×＝6.所以MN的中点的纵坐标为＝3，所以MN的中点为定点（0，3）.6．解析：（1）由题意知F（0，），抛物线C的准线方程为y＝－，由|PF|＝5，即42＋（m－）2＝25，又m＋＝5，解得或（舍去），所以抛物线C的方程为x2＝4y.（2）因为直线PA，PB关于直线y＝4对称，所以直线PA，PB的斜率互为相反数且不为 0，设直线PA：y－4＝k（x＋4），与C的方程联立，消去y得x2－4kx－16k－16＝0，由韦达定理得xA＝4（k＋1），则A（4（k＋1），4k（k＋2）＋4），设直线PB：y－4＝－k（x＋4），同理可得B（－4（k－1），4k（k－2）＋4），则直线AB的斜率kAB＝＝2，设直线AB：y＝2x＋n，与C的方程联立消去y得x2－8x－4n＝0，Δ＝82＋16n>0，n>－4，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＋x2＝8，x1x2＝－4n，|AB|＝|x1－x2|＝4，∵|AB|＝20，∴n＝1，∴直线AB的方程为2x－y＋1＝0.