统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练5立体几何理（附解析）

立体几何(5)1.[2023·陕西交大附中模拟预测]如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)求二面角APBM的正弦值．2.[2023·山西吕梁三模]如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DA⊥DB，侧面ADD1A1是矩形，AB＝2AD＝AA1，M为AA1的中点，D1A⊥BM. (1)证明：BD⊥平面ADD1A1；(2)点N在线段A1C1上，若A1C1＝4A1N，求二面角MDBN的余弦值．3．[2023·江西南昌三模]如图，正方形ABCD所在的平面与菱形ABEF所在的平面互相垂直，△AEF为等边三角形．(1)求证：AE⊥CF；(2)＝λ(0≤λ≤1)，是否存在λ，使得平面PAE⊥平面DCEF，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 4．[2023·全国乙卷(理)]如图，在三棱锥PABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝ PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD＝DO，点F在AC上，BF⊥AO.(1)证明：EF∥平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角DAOC的正弦值．5.[2023·安徽马鞍山三模]如图所示，四棱锥PABCD，底面在以AC为直径的圆O上，PO⊥圆O，△ABD为等边三角形，AC＝4，PO＝.(1)求证：平面PBD⊥平面PAB；(2)线段PB上是否存在一点M使得直线PA与平面AMC所成角的正弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 6．[2023·黑龙江哈九中模拟预测]图1是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝4，DC＝6，AD＝2，＝2，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝2，如图2.(1)求证：平面BC1E⊥平面ABED；(2)若点P为线段DC1上靠近点D的三等分点，求点C1到平面PBE的距离？立体几何（5）1．解析：（1）连接BD，交AM于E，PD⊥平面ABCD， AM⊂平面ABCD，则PD⊥AM，又PB⊥AM，PB∩PD＝P，则AM⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD，则有△ABM∽△DAB，则＝，又AB＝DC＝1，即＝，解之得AD＝，即BC＝，所以，SABCD＝1×＝，四棱锥PABCD的体积为VPABCD＝SABCD×PD＝××1＝.（2）以D为原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），A（，0，0），B（，1，0），M，＝（，0，－1），＝（，1，－1），＝，设平面PAB的法向量为n＝（x1，y1，z1），则，即，令x1＝1，则z1＝，y1＝0，即n＝（1，0，），设平面PMB的法向量为m＝（x2，y2，z2）， 则，即，则x2＝0，令z2＝1，则y2＝1，即m＝（0，1，1），则|cosθ|＝|cos〈n，m〉|＝＝＝，又θ∈[0，π]，则sinθ＝＝＝.2．解析：（1）证明：因为矩形ADD1A1中，AA1＝2AD，M为AA1的中点，所以tan∠MDA＝tan∠AD1D＝，所以∠MDA＝∠AD1D.因为∠AD1D＋∠D1AD＝，所以∠MDA＋∠D1AD＝，所以D1A⊥MD.因为D1A⊥BM，MD∩BM＝M，所以D1A⊥平面BDM.因为BD⊂平面BDM，所以D1A⊥BD，又DA⊥DB，D1A∩DA＝A，所以BD⊥平面ADD1A1.（2）由（1）知DA，DB，DD1两两相互垂直，所以以D为原点，DA，DB，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝2AD＝AA1，令AD＝1，连接DA1，则D（0，0，0），D1（0，0，），A（1，0，0），B（0，，0），C1（－1，，），A1（1，0，），所以＝（0，，0），＝＋＝＋＝.设平面BDN的一个法向量为n＝（x，y，z），则，得，所以y＝0，令z＝－1，得x＝2， 所以n＝（2，0，－1），由（1）知＝（1，0，－）是平面BDM的一个法向量，所以cos〈n，〉＝＝＝，故二面角MDBN的余弦值为.3．解析：（1）证明：连接BF交AE于O，因为四边形ABEF为菱形，所以AE⊥BF，又平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABEF，所以BC⊥AE，又BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCF，因为CF⊂平面BCF，所以AE⊥CF；（2）存在．以O为原点，，的方向为x轴，y轴，过点O作菱形ABEF所在的平面的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设正方形的边长为2，则A（0，－1，0），F（，0，0），E（0，1，0），D（0，－1，2），C（－，0，2），因为＝λ，设点P（x，y，z），则（x－，y，z）＝λ（－2，0，2），所以点P（－2λ，0，2λ），＝（－2λ，1，2λ），＝（0，2，0），设平面PAE的法向量为m＝（x，y，z），则有，可得m＝，λ≠，＝（，1，－2），＝（－，1，0）， 设平面DCEF的法向量为n＝（x，y，z），则有，可得n＝（，3，3），由m·n＝0可得λ＝.当λ＝时，＝（0，1，1），＝（0，2，0），m＝（x，y，z），则，令x＝1，则法向量m＝（1，0，0），此时m·n≠0，综上可知：λ＝成立．4．解析：（1）如图，因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，O是BC的中点，所以＝＝，所以△OBA∽△ABC.记BF与AO的交点为H，则∠BHA＝90°，又∠ABC＝90°，∠BAH＝∠OAB，所以△BHA∽△OBA，所以△BHA∽△ABC，所以∠HBA＝∠CAB，又∠C＋∠CAB＝90°，∠CBF＋∠HBA＝90°，所以∠C＝∠CBF，所以CF＝BF，同理可得BF＝FA，所以F是AC的中点．因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC，同理可得DO∥PC，所以EF∥DO.又DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO，所以EF∥平面ADO.（2）AO＝＝，OD＝PC＝，又AD＝OD＝，所以AD2＝AO2＋OD2，所以AO⊥OD.由于EF∥OD，所以AO⊥EF，又BF⊥AO，BF∩EF＝F，BF⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，所以AO⊥平面BEF.又AO⊂平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF.（3） 如图，以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（2，0，0），O（0，，0），＝（－2，，0）.因为PB＝PC，BC＝2，所以设P（x，，z），z>0，则＝＋＝＋＝（2，0，0）＋（x－2，，z）＝（，，），由（2）知AO⊥BE，所以·＝（－2，，0）·（，，）＝0，所以x＝－1，又PB＝，＝（x，，z），所以x2＋2＋z2＝6，所以z＝，则P（－1，，）.由D为BP的中点，得D（－，，），则＝（－，，）.设平面DAO的法向量为n1＝（a，b，c）.则，即，得b＝a，c＝a，取a＝1，则n1＝（1，，）.易知平面CAO的一个法向量为n2＝（0，0，1），设二面角DAOC的大小为θ，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，所以sinθ＝＝，故二面角DAOC的正弦值为.5．解析：证明：（1）证法一：设AC∩BD＝N，由题知△ABD为等边三角形，AC为直径，OA＝2，得AC⊥BD，∴∠NBC＝30°，AN＝3，CN＝1，得BC＝2，在Rt△ABC中，得AB＝2，在Rt△POA中OA＝2，PO＝，得PA＝.易知PA＝PB，则PA2＋PB2＝AB2，故PA⊥PB. 易知△PAB≌△PAD，则PA⊥PD，又PB∩PD＝P，∴PA⊥平面PBD，又PA⊂平面PAB，∴平面PBD⊥平面PAB.证法二：设AC∩BD＝N，连接PN，由PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，由题知AC⊥BD，又PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴BD⊥PA，∵OA＝2，PO＝，△ABD为等边三角形，∴AN＝3，ON＝1，BN＝2，得PA＝，PN＝，∴PA2＋PN2＝AN2，则PA⊥PN，又PN∩BD＝N，故PA⊥平面PBD，又PA⊂平面PAB，∴平面PBD⊥平面PAB.（2）以N为坐标原点，NA，NB所在直线分别为x轴，y轴，过点N且与直线OP平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，，0），C（－1，0，0），P（1，0，），∴＝（－4，0，0），＝（－2，0，），设＝λ（0≤λ≤1），∴＝（－λ，λ，－λ），则＝（－2－λ，λ，－λ），令平面ACM的法向量为n＝（x，y，z），则，取n＝（0，λ－，λ），令直线AP与平面ACM的所成角为θ，sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，解得λ＝，即PB上存在点M，使得＝.6．解析： 图1（1）证明：在图1中取CE中点F，连接BF，AE，∵＝2，CD＝6，AB＝4，∴CF＝2，EF＝2，∵DF＝AB＝4，DF∥AB，∠D＝90°，∴四边形ABFD为矩形，∴BF⊥CD，∴BE＝BC＝＝4，又CE＝4，∴△BCE为等边三角形；又AE＝＝4，∴△ABE为等边三角形；在图2中，取BE中点G，连接AG，C1G，图2∵△C1BE，△ABE为等边三角形，∴C1G⊥BE，AG⊥BE，∴C1G＝AG＝2，又AC1＝2，∴AG2＋C1G2＝AC，∴C1G⊥AG，又AG∩BE＝G，AG，BE⊂平面ABED，∴C1G⊥平面ABED，∵C1G⊂平面BC1E，∴平面BC1E⊥平面ABED.（2）以G为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（0，2，0），E（0，－2，0），A（2，0，0），C1（0，0，2），D（，－3， 0），∴＝，＝（0，4，0），＝，＝（，－1，0），∵＝，∴＝，＝＋＝，设平面PBE的法向量n＝（a，b，c），则，令a＝1，则，∴n＝（1，0，－1），∴C1到平面PBE的距离为d＝＝＝.