统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练7概率与统计理（附解析）

概率与统计(7)1．[2023·全国乙卷(理)]某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2.(1)求，s2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 2．[2023·内蒙古满洲里模拟预测]随着数字化信息技术的发展，网络成了人们生活的必需品，它一方面给人们的生活带来了极大的便利，节约了资源和成本，另一方面青少年沉迷网络现象也引起了整个社会的关注和担忧，为了解当前大学生每天上网情况，某调查机构对某高校男生、女生各50名学生进行了调查，其中每天上网的时间超过8小时的被称为“有网瘾”，否则被称为“无网瘾”．调查结果如下：有网瘾无网瘾合计女生10男生20合计100(1)将上面的2×2列联表补充完整，再判断是否有99.9%的把握认为“有网瘾”与性别有关，说明你的理由；(2)现从被调查的男生中按分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机选取3人参加座谈会，记这3人中“有网瘾”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：P(K2≥k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828 3．[2023·安徽合肥一中模拟预测]北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，合肥一中决定安排5名志愿者将两个吉祥物安装在合一广场，活动共分3批次进行，每次活动需要同时派送2名志愿者，且每次派送人员均从5人中随机抽选．已知这5名志愿者中，2人有安装经验，3人没有安装经验．(1)求5名志愿者中的“小明”，在这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率；(2)求第二次抽选时，选到没有安装经验志愿者的人数最有可能是几人？请说明理由；(3)现在需要2名志愿者完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位志愿者一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位志愿者．若有A、B两个志愿者可派，他们各自完成任务的概率分别为P1，P2，假设1>P1>P2，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，其中q1，q2是P1、P2的一个排列，试分析以怎样的顺序派出志愿者，可使所需派出志愿者的人员数目的数学期望达到最小． 4．[2023·山西吕梁三模]足球比赛淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢(例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2∶0，则不需要再踢第5轮了)；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出，若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；(2)现有甲、乙两队在半决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需进行“点球大战”来决定胜负，设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球时进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．(ⅰ)若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球(不含常规赛和加时赛进球)并胜出的概率；(ⅱ)求“点球大战”在第6轮结束，且乙队以5∶4(不含常规赛和加时赛得分)胜出的概率． 5．[2023·陕西汉台中学模拟预测]2022年，中国新能源汽车销售火爆，A省相关部门调查了该省2022年1月份至10月份的新能源汽车销量情况，得到一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，其中xi表示第i个月，yi表示第i个月A省新能源汽车的销量(单位：万辆)，由样本数据的散点图可知，y与x具有线性相关关系，并将这10个月的数据作了初步处理，得到下面一些统计量的值：(1)建立y关于x的线性回归方程；(2)为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查，A省汽车行业协会针对新能源汽车销售商开展抽奖活动，共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励2万元、1万元、5千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为、、. 现有甲、乙两家新能源汽车销售商参加了抽奖活动，假设他们所中奖项相互独立，求这两家汽车销售商所获奖金总额X(单位：万元)的分布列及数学期望．附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为＝，＝－.6．[2023·河南郑州三模] 据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，n，其中0<n<1.(1)若n＝，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求n的取值范围．概率与统计（7）1．解析：（1）由题意，求出zi的值如表所示，试验序号i12345678910zi968－8151119182012则z＝×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11，s2＝×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝61.（2）因为2＝2＝，＝11＝>，所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．2．解析：（1）根据题意，列联表如下：有网瘾无网瘾合计 女生401050男生203050合计6040100K2＝≈16.667>10.828，所以有99.9%的把握认为“有网瘾”与性别有关．（2）由题意，“有网瘾”中抽取20×＝2（人），“无网瘾”中抽取30×＝3（人），X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝，所以随机变量X的分布列为X012P故E（X）＝0×＋1×＋2×＝.3．解析：（1）5名志愿者中的“小明”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，则三次抽取中，“小明”恰有一次被抽取到的概率P＝C×＝；（2）第二次抽取到的没有安装经验志愿者人数最有可能是1人．设ω表示第一次抽取到的没有安装经验志愿者人数，ω可能的取值有0，1，2，则P（ω＝0）＝＝；P（ω＝1）＝＝；P（ω＝2）＝＝.设ξ表示第二次抽取到的没有安装经验志愿者的人数，ξ可能的取值有0，1，2，则p（ξ＝0）＝·＋·＋·＝，P（ξ＝1）＝·＋·＋·＝，P（ξ＝2）＝·＋·＋·＝，因为P（ξ＝1）>P（ξ＝2）>P（ξ＝0），故第二次抽取到的没有安装经验志愿者人数最有可能是1人．（3）按照先A后B的顺序所需人数期望最小：①设X表示先A后B完成任务所需人员数目，则 X12PP11－P1E（X）＝P1＋2（1－P1）＝2－P1，①设Y表示先B后A完成任务所需人员数目，则X12PP21－P2E（Y）＝P2＋2（1－P2）＝2－P2，E（Y）－E（X）＝P1－P2>0，故按照先A后B的顺序所需人数期望最小．4．解析：（1）依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为P＝××3×＝，门将在前三次扑出点球的个数X的可能取值为0，1，2，3.P（X＝0）＝C××＝，P（X＝1）＝C××＝，P（X＝2）＝C××＝，P（X＝3）＝C××＝，则X的分布列为X0123PX的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.或.（2）（ⅰ）记事件“甲队先踢点球，在第3轮结束时，甲队踢进了3个球（不含常规赛和加时赛进球）并胜出”为事件A，意味着甲队先踢点球，前三轮点球乙队没进球，甲队前三轮踢进3个点球，对应的概率为P（A）＝×＝.（ⅱ）记“点球大战在第6轮结束，且乙队以5∶4（不含常规赛和加时赛得分）胜出” 为事件B，意味着前5轮结束后比分为4∶4，第6轮乙队进球甲队没进球，其对应的概率为P（B）＝C×××C×＝.5．解析：（1）由题意得：＝＝5.5，又＝1.5，iyi＝89.1，＝385，∴＝＝＝0.08，＝1.5－0.08×5.5＝1.06，∴y关于x的线性回归方程为＝1.06＋0.08x.（2）奖金总额X的所有可能结果有4，3，2.5，2，1.5，1，P（X＝4）＝×＝，P（X＝3）＝2××＝，P（X＝2.5）＝2××＝，P（X＝2）＝×＝，P（X＝1.5）＝2××＝，P（X＝1）＝×＝，∴X的分布列如下：X432.521.51P数学期望E（X）＝4×＋3×＋2.5×＋2×＋1.5×＋1×＝.6．解析：（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件A，则P（A）＝C··＝； 该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件B，则P（B）＝××＋××＋××＝.（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为X，依题意，X～B，则E（X）＝3×＝1，该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为Y，随机变量Y的可能取值为0，1，2，3.P（Y＝0）＝×（1－n）＝，P（Y＝1）＝×（1－n）＋×（1－n）＋×n＝，P（Y＝2）＝×n＋×n＋×（1－n）＝，P（Y＝3）＝×n＝＝，随机变量Y的分布列：Y0123PE（Y）＝0×＋1×＋2×＋3×＝，因为该考生更希望进入甲大学的面试，则E（Y）<E（X），即<1，解得0<n<，所以n的取值范围为.