统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练6立体几何文（附解析）

立体几何(6)1．[2023·安徽合肥一中模拟预测(文)]如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，＝2，＝4，P是线段BE上一点，且AD⊥PQ.(1)证明：P是BE的中点；(2)若BC＝CD＝2，AD＝BD＝2，求几何体PCDEQ的体积．2．[2023·贵州贵阳模拟预测(文)]在棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，P为线段B1D1上一动点．(1)证明：AP∥平面C1BD；(2)若AA1⊥平面A1B1C1D1，∠ABC＝90°，AB＝AD＝1，AA1＝2，且P为线段B1D1的中点，求点D到平面BC1P的距离． 3．[2023·吉林模拟预测(文)]如图，在平面四边形APBC中，AC＝BC＝3，AP＝BP，∠ACB＝90°，∠APB＝60°.将△PAB沿AB折起得到三棱锥P′ABC，使得P′C⊥AC.(1)求证：P′C⊥平面ABC；(2)若点E在棱P′A上，P′E＝2EA，求三棱锥EABC的体积．4．[2023·陕西宝鸡中学模拟预测(文)]在梯形ABCD中，DC∥AB，E是线段AB上一点，AD＝2，AB＝5，AE＝CD＝1，∠DAB＝60°，把△BCE沿CE折起至△SCE，连接SA，SD，使得平面SCD⊥平面AECD. (1)证明：AE∥平面SCD；(2)求异面直线AE与SC所成的角． 5．[2023·江西南昌三模(文)]一个直三棱柱被平面所截得到如图所示的几何体ABCA1B1C1，其中A1A、B1B、C1C与平面ABC垂直．C1C＝2A1A＝4B1B＝4，若AC＝2AB＝4，∠BAC＝60°，M是线段AC上靠近点A的四等分点．(1)求证：A1C1⊥BM；(2)求此多面体的体积．6．[2023·全国乙卷(文)]如图，在三棱锥PABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝ PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.(1)求证：EF∥平面ADO；(2)若∠POF＝120°，求三棱锥PABC的体积．立体几何（6）1．解析：（1）证明：取ED的中点F，连接PF，QF，由＝2，得AD＝4FD，又＝4，所以QF∥CD，又AD⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AD⊥CD，所以QF⊥AD，又AD⊥PQ，PQ∩QF＝Q，所以AD⊥平面PQF，因为PF⊂平面PQF，所以PF⊥AD，所以PF∥BD，又F为ED的中点，所以P是BE的中点．（2）由BC＝CD＝2，AD＝BD＝2，故BC2＋CD2＝BD2，所以BC⊥CD，因为AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以AD⊥BC，又AD∩CD＝D，所以BC⊥平面ACD，P是BE的中点，所以P到平面ACD的距离为BC＝1， 由（1）得QF＝CD＝，S四边形CDEQ＝S△ACD－S△AQE＝×2×2－××＝，所以四棱锥PCDEQ的体积为×1×＝.2．解析：（1）连接AB1，AD1.∵ABCDA1B1C1D1为棱柱，∴B1B∥D1D且B1B＝D1D，∴四边形B1BDD1为平行四边形，∴B1D1∥BD，又B1D1⊂平面AB1D1，BD⊄平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.同理C1D∥平面AB1D1，又BD∩C1D＝D，且BD，C1D⊂平面C1BD，∴平面AB1D1∥平面C1BD，又AP⊂平面AB1D1，∴AP∥平面C1BD.（2）如图，在平面PBD内，过D作DE⊥PB于E.∵∠ABC＝90°，AB＝AD，∴ABCD为正方形．又P为B1D1中点，∴C1P⊥B1D1.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴C1P⊥BB1，又B1D1∩BB1＝B1，∴C1P⊥平面BB1D1D，∴C1P⊥DE.又PB⊥DE，PB∩C1P＝P，∴DE⊥平面BC1P，∴DE即为D到平面BC1P的距离． 在△PBD中，PD＝PB＝＝，BD边上的高h＝2，由等面积可得·PB·DE＝·BD·h，∴DE＝＝，所以D到平面BC1P的距离为.3．解析：（1）证明：∵AP＝BP，∴AP′＝BP′.又∵AC＝BC，CP′＝CP′，∴△ACP′≌△BCP′.即∠ACP′＝∠BCP′.∵P′C⊥AC，∴P′C⊥BC，∵AC∩BC＝C，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC∴P′C⊥平面ABC.（2）∵P′E＝2EA，∴VEABC＝VP′ABC，由（1）可知，P′C⊥平面ABC，所以P′C即为三棱锥P′ABC的高，∵AC＝BC＝3，∠ABC＝90°.∴AB＝P′B＝P′A＝3，∵P′C⊥平面ABC，∴在Rt△P′CB中，P′C＝3，所以VEABC＝VP′ABC＝×S△ABC·P′C＝×××3×3×3＝.即三棱椎EABC的体积为.4．解析：（1）证明：由题可知DC∥AE，又DC⊂平面SCD，AE⊄平面SCD，∴AE∥平面SCD.（2）∵AE∥CD，∴异面直线AE与SC所成的角就是直线CD与SC所成的角．∵AB＝5，AE＝CD＝1，∠DAB＝60°，DC∥AB，AD＝2，∴四边形AECD为平行四边形，BE＝4，EC＝2，∠CEB＝60°，∴BC2＝BE2＋EC2－2BE·ECcos∠CEB＝42＋22－2×4×2×＝12，∴BC2＋EC2＝BE2，即BC⊥EC，∴SC⊥EC，连接DE，又CD＝1，EC＝2，∠DCE＝60°， ∴DE2＝CD2＋EC2－2CD·ECcos∠DCE＝12＋22－2×1×2×＝3，∴CD2＋DE2＝EC2，即CD⊥DE，∵平面SCD⊥平面AECD，平面SCD∩平面AECD＝CD，∴DE⊥平面SCD，SC⊂平面SCD，∴DE⊥SC，又SC⊥EC，DE∩EC＝E，∴SC⊥平面AECD，CD⊂平面AECD，∴SC⊥CD，∴异面直线AE与SC所成的角为90°.5．解析：（1）证明：由题可知AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BM，∵∠BAC＝60°，AM＝1，AB＝2，∴BM2＝AM2＋AB2－2AM·AB·cos∠BAC＝1＋4－2×1×2×＝3，∴AB2＝BM2＋AM2，∴BM⊥AM，∵AM∩AA1＝A，BM⊥平面ACC1A1，∵A1C1⊂平面ACC1A1，∴A1C1⊥BM.（2）如图，取AA1中点为E，CC1靠近C的四等分点为D，连接B1E、B1D、DE，易知平面B1DE∥平面ABC，该几何体由直棱柱ABCEB1D和四棱锥B1A1EDC1构成，其中四棱锥B1A1EDC1的底面是直角梯形A1EDC1，由（1）知BM⊥平面ACC1A1，∴点B1到平面A1EDC1的距离为BM，∴几何体体积为S△ABC·BB1＋·SA1EDC1·BM＝×4××1＋××（1＋3）×4×＝.6．解析：（1）因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，O是BC的中点，所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB.记BF⊥AO的垂足为H，则△BHA∽△OBA，所以∠HBA＝∠AOB.所以∠HBA＝∠CAB，所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，所以CF＝BF， 故CF＝AF，F是AC的中点．因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC.因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC，所以EF∥DO.又DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO，所以EF∥平面ADO.（2）由（1）得FO∥AB，因为AB⊥BC，所以FO⊥BC.又PO⊥BC，所以∠POF是二面角PBCF的平面角，所以二面角PBCF的大小为120°.如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M，连接MO，MB，则∠POM是二面角PBCM的平面角，所以∠POM＝60°.在△PBC中，由PB＝PC＝，BC＝2，得PO＝2，所以PM＝.所以三棱锥PABC的体积VPABC＝S△ABC×PM＝××2×2×＝.