统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷五仿真模拟专练二理（附解析）

仿真模拟专练(二)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z＝1－2i，则z(＋2i)＝(　　)A．9－2iB．1－2iC．9＋2iD．1＋2i2．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2－6x＋8≥0}，则A∩∁RB＝(　　)A．{x|2<x≤3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|2<x<4}3．设D为△ABC所在平面内一点，＝2，E为BC的中点，则＝(　　)A．＋B．＋C．－D．－4．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是(　　)A．(－1，)B．(－1，)C．(－∞，－1)∪(，＋∞)D．(－∞，－1)∪(，＋∞)5．已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log88，则(　　)A．a<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．a<c<b6．已知函数f(x)＝，则下列图象错误的是(　　) A．y＝f(x)的图象：B．y＝f(x－1)的图象：C．y＝f(|x|)的图象：D．y＝f(－x)的图象：7．(3x－5)2(x－1)7的展开式中x6项的系数为(　　)A．140B．－1120C．－140D．11208．[2023·全国甲卷(理)]执行如图所示的程序框图，则输出的B＝(　　)A．21　　B．34C．55　　D．899．如图，函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象经过点(0，－1)和(，0)，则(　　) A.ω＝2，φ＝－B．ω＝2，φ＝－C．ω＝，φ＝－D．ω＝，φ＝－10.如图，在三棱锥ABCD的平面展开图中，四边形BCED是菱形，BC＝，BF＝2，则三棱锥ABCD外接球的表面积为(　　)A．B．2πC．4πD．8π11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与直线y＝kx交于A，B两点，点P为C上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，C的左、右焦点分别为F1，F2.若kPA·kPB＝，且C的焦点到渐近线的距离为1，则(　　)A．a＝4B．C的离心率为C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2D．若△PF1F2的面积为2，则△PF1F2为钝角三角形12．数列{an}满足an<an＋1，则下列说法错误的是(　　)A．存在数列{an}使得对任意正整数p，q都满足apq＝q2ap＋p2aqB．存在数列{an}使得对任意正整数p，q都满足apq＝paq＋qapC．存在数列{an}使得对任意正整数p，q都满足ap＋q＝paq＋qapD．存在数列{an}使得对任意正整数p，q都满足ap＋q＝(＋)apaq[答题区] 题号123456789101112答案二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知α∈(0，)，cos(α＋)＝－，则cosα＝________．14．已知x、y∈R＋，且＋2y＝3，则的最大值为________．15．若x2>logax(a>0且a≠1)恒成立，则实数a的取值范围为________．16．如图，在3×3的点阵中，依次随机地选出A、B、C三个点，则选出的三点满足·<0的概率是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)已知数列{bn}为等比数列，正项数列{an}满足4an＝a－a－4，且a1＝2，b1＝1，a4＝b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)若从{an}中去掉与数列{bn}中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，设T100＝c1＋c2＋c3＋…＋c100，求T100. 18．(12分)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PB＝PD＝2，E为AD的中点．(1)证明：平面PBC⊥平面PBE；(2)已知点F为PC上的点，PC＝4PF，求二面角ADFB的余弦值．19．(12分)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△OPF1的面积为.(1)求双曲线C的离心率；(2)动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8，是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由． 20．(12分)已知函数f(x)＝ex－2－x.(1)求函数f(x)的极值；(2)求证：f(x)>. 21．(12分)系统中每个元件正常工作的概率都是p(0<p<1)，各个元件是否正常工作相互独立．如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性．已知该系统配置有(2k－1)个元件，k为正整数．(1)求该系统正常工作的概率Pk的表达式；(2)现为改善系统的性能，拟增加2个元件，试讨论增加2个元件后，系统可靠性的变化． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为5ρ(cosθ＋sinθ)－7＝0.(1)求曲线C1的普通方程以及曲线C2的直角坐标方程；(2)若射线l：3x－4y＝0(x≥0)与C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|的值．23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]设M为不等式|x＋1|＋4≥|3x－1|的解集．(1)求M；(2)若a，b∈M，求|ab－a－b|的最大值．仿真模拟专练（二）1．C　由z＝1－2i⇒＝1＋2i，则＋2i＝1＋4i，z（＋2i）＝（1－2i）（1＋4i）＝9＋2i.故选C. 2．A　由题意A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥4或x≤2}，则∁RB＝{x|2<x<4}，故A∩（∁RB）＝{x|2<x≤3}．故选A.3．A　因为＝2，E为BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，故选A.4．D　设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k（x－1），直线在x轴上的截距为1－，令－3<1－<3，解不等式得k<－1或k>.故选D.5．B　因为a＝0.8－0.4>0.80＝1，b＝log53<log55＝1，c＝log88＝1，所以b<c<a，故选B.6．C　函数f（x）＝如图所示所以A正确，对于B，y＝f（x－1）的图象是由f（x）的图象向右平移一个单位得到的，所以B正确，对于C，当x>0时，y＝f（|x|）的图象与f（x）的图象相同，且y＝f（|x|）的图象关于y轴对称，所以C错误，对于D，y＝f（－x）的图象是由f（x）的图象关于y轴对称得到的，所以D正确，故选C.7．B　（3x－5）2（x－1）7＝（9x2－30x＋25）（x－1）7， （x－1）7的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx7－r（－1）r，r＝0，1，…，7，令7－r＝4，得r＝3，所以Cx4（－1）3＝－35x4；令7－r＝5，得r＝2，所以Cx5（－1）2＝21x5；令7－r＝6，得r＝1，所以Cx6（－1）＝－7x6；所以（3x－5）2（x－1）7的展开式中x6项的系数－35×9＋21×（－30）＋25×（－7）＝－1120.故选B.8．B　按程序框图执行程序如下：1≤3成立，则A＝1＋2＝3，B＝3＋2＝5，k＝2；2≤3成立，则A＝3＋5＝8，B＝8＋5＝13，k＝3；3≤3成立，则A＝8＋13＝21，B＝21＋13＝34，k＝4；4≤3不成立，则输出B＝34，故选B.9．B　依题意，由2sinφ＝－1及|φ|<π得：φ＝－或φ＝－，原函数的最小正周期T＝，由图象知T<<T，即×<<，解得<ω<，又2sin（ω×＋φ）＝0，当φ＝－时，－＝kπ（k∈Z），解得ω＝（k∈Z），则<k<，此不等式不成立，当φ＝－时，－＝kπ（k∈Z），解得ω＝（k∈Z），则<k<，此时，k＝1，ω＝2，所以φ＝－，ω＝2.故选B.10．C　三棱锥ABCD的直观图，如图所示，则BC＝BD＝AC＝AD＝，AB＝2， ∴BD2＋DA2＝AB2，BC2＋CA2＝AB2，则BD⊥AD，BC⊥AC.取AB的中点O，连接OD，OC，则OA＝OB＝OC＝OD，∴O为三棱锥ABCD外接球的球心，半径R＝1，故三棱锥ABCD外接球的表面积S＝4πR2＝4π.故选C.11．D　设点A（x1，y1），B（－x1，－y1），P（x0，y0），则－＝1，且－＝1，两式相减得＝，所以＝，因为kPA·kPB＝·＝，所以＝，＝，故双曲线C的渐近线方程y＝±x，因为焦点（c，0）到渐近线y＝x的距离为1，所以＝1，c＝，所以a＝2，b＝1，离心率为，故A，B错误．对于C，不妨设P在右支上，记|PF2|＝t,则|PF1|＝4＋t，因为PF1⊥PF2,所以（t＋4）2＋t2＝20，解得t＝－2或t＝－－2（舍去），所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝（－2）×（＋2）＝1，故C不正确；对于D，设P（x0，y0），因为SΔPF1F2＝·2c|y0|＝|y0|＝2，所以|y0|＝2，将|y0|＝2代入C：－y2＝1，得x＝20，即|x0|＝2，由于对称性，不妨取P的坐标为（2，2），则|PF2|＝＝3，|PF1|＝＝7，因为cos∠PF2F1＝＝<0，所以∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，故D正确．故选D.12．C　由apq＝q2ap＋p2aq，得＝＋，令＝logtn，an＝n2logtn，则当t>1时，数列{an}满足题设，所以A正确；由apq＝paq＋qap，得＝＋，令an＝nlogtn，则当t>1时，数列{an}满足题设，所以B正确；由ap＋q＝paq＋qap， 令q＝1，得ap＋1＝pa1＋ap，a2＝2a1，a3＝2a1＋a2＝4a1，a4＝3a1＋a3＝7a1，令p＝q，得a2p＝2pap，a2＝2a1，a4＝4a2＝8a1，则8a1＝7a1，a1＝0，从而a2＝a3＝a4＝0，与an<an＋1矛盾，所以C错误；由ap＋q＝（＋）apaq，得＝·，令an＝ntn，则当t>1时，数列{an}满足题设，所以D正确．故选C.13．答案：解析：∵cosα＝cos（α＋－）＝cos（α＋）·cos＋sin（α＋）·sin＝（－）·（）＋（）·＝，故答案为.14．答案：解析：因为x，y∈R＋且＋2y＝3，所以3＝＋2y≥2，即≤，当且仅当＝2y，即x＝且y＝时取等号，此时取最大值为.15．答案：（e，＋∞）解析：当0<a<1时，由y＝x2和y＝logax的图象可得，此时两个函数图象有一个交点，不等式x2>logax不可能恒成立； 当a>1时，lna>0，不等式x2>logax可化为x2>，由lna>，令f（x）＝，f′（x）＝，当0<x<时，f′（x）>0，f（x）递增，当x>时，f′（x）<0，f（x）递减，则f（x）max＝f（）＝＝，则lna>，可得a>e，故答案为：（e，＋∞）.16．答案：解析：由题意可知A、B、C三个点是有序的，讨论点A为主元，对点A分三种情况讨论，如下图所示：（1）第一类A为5号点．①若∠BAC＝180°，三点共线有4条直线，此时有4A＝8种；②若∠BAC＝135°，如点B在1号位，则点C在6号位或8号位，即确定第二号点有4种方法，确定第三号点有2种方法，此时有4×2A＝16种；（2）第二类A为1、3、7、9号点，此时，不存在这样的点；（3）第三类A为2、4、6、8号点，以2号点为例，有三种情况如下图所示：故有（1＋2＋2）×4A＝40种．综上所述，满足·<0共有8＋16＋40＝64种．因此，所求概率为P＝＝.故答案为.17．解析：（1）因为4an＝a－a－4， 所以a＝（an＋2）2，又an>0，所以an＋1＝an＋2.即an＋1－an＝2，又a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列．所以an＝a1＋（n－1）×2＝2n，即an＝2n.设{bn}的公比为q，又b4＝a4＝8，b1＝1，所以q3＝8，解得q＝2，所以bn＝2n－1.综上，数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝2n，bn＝2n－1；（2）由（1）知b1＝1，b2＝2＝a1，b3＝4＝a2，b4＝8＝a4，b5＝16＝a8，b6＝32＝a16，b7＝64＝a32，b8＝128＝a64，b9＝256＝a128.所以T100＝c1＋c2＋c3＋…＋c100＝（a1＋a2＋a3＋…＋a107）－（b2＋b3＋…＋b8）＝－＝11302.18．解析：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，∴△BAD、△BCD为等边三角形，∴AB＝AD＝BD，∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，∵PA＝PD，∴PE⊥AD，∵PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PBE，∵BC∥AD，∴BC⊥平面PBE，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBE；（2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝2，由（1）可得BE＝＝3，PA＝PB＝PD＝2，可得O为△BAD外心，因△BAD为等边三角形，O也为△BAD重心， ∴OB＝2OE＝2，PO＝＝4，OC＝4.以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则A（，－1，0），B（0，2，0），D（－，－1，0），P（0，0，4），C（－2，2，0），∵PC＝4PF，∴F（－，，3），∴＝（2，0，0），＝（，3，0），＝（，，3），设平面ADF的法向量为m＝（x，y，z），⇒，令y＝2，则x＝0，z＝－1，即m＝（0，2，－1），设平面BDF的法向量为n＝（a，b，c），⇒，令b＝1，则a＝－，c＝0，即n＝（－，1，0），cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角ADFB的余弦值为.19．解析：（1）由双曲线性质知，|PF2|＝b，|OP|＝a，由PF2⊥OP得，S△OPF2＝S△OPF1＝＝，解得b＝2a，c＝a，所以双曲线C的离心率e＝.（2）由（1）得渐近线l1：y＝2x，l2：y＝－2x，设双曲线的方程为－＝1，依题意得直线l的斜率不为零，因此设直线l的方程为x＝my＋t，－<m<，t>0， 设直线l交x轴于点C（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立得y1＝，同理得y2＝.由△OAB的面积S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得t|＋|＝8，即t2＝4|1－4m2|＝4（1－4m2）>0，①联立，得（4m2－1）y2＋8mty＋4（t2－a2）＝0，因为4m2－1<0，所以直线l与双曲线只有一个公共点当且仅当Δ＝0，即Δ＝64m2t2－16（4m2－1）（t2－a2）＝0，将①式代入可得a2＝4.因此双曲线的方程为－＝1，因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，双曲线C的方程为－＝1.20．解析：（1）∵f（x）＝ex－2－x，∴f′（x）＝ex－2－1，令f′（x）＝0可得x＝2，当x>2时，f′（x）>0，函数f（x）在（2，＋∞）上单调递增，当x<2时，f′（x）<0，函数f（x）在（－∞，2）上单调递减，∴当x＝2时，函数f（x）取极小值，极小值为－1，函数f（x）没有极大值；（2）设g（x）＝x－1－lnx，则g′（x）＝1－＝，当x>1时，g′（x）>0，函数g（x）在（1，＋∞）上单调递增，当0<x<1时，g′（x）<0，函数g（x）在（0，1）上单调递减，∴g（x）≥g（1）＝0，即x－1≥lnx，∴x（x－1）≥xlnx要证明f（x）>，只需证明4ex－2－x>xlnx，只需证明4ex－2－x≥x（x－1），只需证明ex≥，只需证明e≥，设h（x）＝ex－ex，则h′（x）＝ex－e，令h′（x）＝0可得x＝1，当x>1时，h′（x）>0，函数h（x）在（1，＋∞）上单调递增，当0<x<1时，h′（x）<0，函数h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）≥h（1）＝0，∴ex≥ex， ∴当x>0时e≥成立，∴f（x）>.21．解析：（1）（2k－1）个元件中，恰好有k个正常工作的概率为Cpk（1－p）k－1，恰好有（k＋1）个元件正常工作的概率为Cpk＋1（1－p）k－2，……恰好有（2k－1）个元件正常工作的概率为Cp2k－1，（2）若增加2个元件，此时共有（2k＋1）个元件．为使系统正常工作，前（2k－1）个元件中至少有（k－1）个元件正常工作．分三种情况讨论：①前（2k－1）个元件中恰好有（k－1）个元件正常工作的概率为Cpk－1（1－p）k，此时新增的2个元件必须同时正常工作，所以这种情况下系统正常工作的概率为Cpk－1（1－p）k·p2；②前（2k－1）个元件中恰好有k个元件正常工作的概率为Cpk（1－p）k－1，此时新增的2个元件至少有1个正常工作即可，所以这种情况下系统正常工作的概率为Cpk（1－p）k－1·[1－（1－p）2]；③前（2k－1）个元件中至少有（k＋1）个元件正常工作的概率为Pk－Cpk（1－p）k－1，此时不管新增的2个元件是否正常工作，系统都会正常工作．所以当有（2k＋1）个元件时，系统正常工作的概率为Pk＋1＝Cpk－1（1－p）k·p2＋Cpk（1－p）k－1·[1－（1－p）2]＋Pk－Cpk（1－p）k－1.所以Pk＋1－Pk＝Cpk－1（1－p）k·p2＋Cpk（1－p）k－1·[1－（1－p）2]－Cpk（1－p）k－1＝pk－1（1－p）k－1C[p2（1－p）＋p（2p－p2）－p]＝pk（1－p）k－1C（1－2p）（p－1）＝pk（1－p）k·C（2p－1）.故当p＝时，Pk＋1＝Pk，系统可靠性不变；当0<p<，Pk＋1<Pk，系统可靠性降低； 当<p<1，Pk＋1>Pk，系统可靠性提高．22．解析：（1）由，得，两式平方相加，得（x－1）2＋y2＝，所以曲线C1的普通方程为（x－1）2＋y2＝；由5ρ（cosθ＋sinθ）－7＝0，得5ρcosθ＋5ρsinθ－7＝0，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以5x＋5y－7＝0，所以曲线C2的直角坐标方程为5x＋5y－7＝0.（2）由，得，所以B（，）；由，消x得y2－y－＝0，即（y＋）（y－2）＝0，所以y＝－（舍）或y＝，所以x＝，所以A（，），所以|AB|＝＝1.23．解析：（1）由题设，|3x－1|－|x＋1|≤4，当x<－1时，1－3x＋x＋1＝2－2x≤4，无解；当－1≤x<时，1－3x－x－1＝－4x≤4，可得－1≤x<；当x≥时，3x－1－x－1＝2x－2≤4，可得≤x≤3.综上，M＝{x|－1≤x≤3}．（2）|ab－a－b|＝|（a－1）（b－1）－1|，又|a－1|，|b－1|∈[0，2]，∴|（a－1）（b－1）－1|≤|（a－1）（b－1）|＋1＝|a－1||b－1|＋1≤5，当且仅当a－1＝1－b＝±2时等号成立，∴|ab－a－b|max＝5.