统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷五仿真模拟专练三文（附解析）

仿真模拟专练(三)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－1，0，1，3}，B＝{0，2，3}，则A&cup;B＝(　　)A．{0，3}B．{－1，1，2}C．{0，1，3}D．{－1，0，1，2，3}2．已知复数(1＋i)(a＋i)为纯虚数，其中a为实数，i为虚数单位，则a＝(　　)A．1B．－1C．2D．－23．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)A．1B．2C．4D．84．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a&middot;b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)A．－B．－C．D．5．已知tan&alpha;＝，则sin2&alpha;＝(　　)A．B．C．D．6．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题&ldquo;今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？&rdquo;(一步＝1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(　　)A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米7．在等比数列{an}中，a4，a8是关于x的方程x2＋10x＋4＝0的两个实根，则a2a6a10＝(　　)A．8B．－8C．4D．8或－88．已知x，y满足约束条件，若使z＝ax－y取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a＝(　　)A．－1B．C．1D．29．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内，现将这100名学生的成绩按照[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(　　),A．频率分布直方图中a的值为0.040B．样本数据低于130分的频率为0.3C．总体的中位数(保留1位小数)估计为123.3分D．总体分布在[90，100)的频数一定与总体分布在[100，110)的频数相等10．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母&pi;表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年．生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计&pi;的值：在区间(0，1)内随机取2m个数，构成m个数对(x，y)，设x，y能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)有n对，则通过随机模拟的方法得到的&pi;的近似值为(　　)A．B．C．D．11．已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA&perp;平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，PB与平面PAC所成的角为30&deg;，则球O的表面积为(　　)A．6&pi;B．12&pi;C．16&pi;D．48&pi;12．已知直线y＝ax＋b(b&gt;0)与曲线y＝x3有且只有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1<x2，则2x1＋x2＝(>0).(1)求a＝1时，函数f(x)的单调区间及在点(1，f(1))处的切线方程；(2)函数g(x)＝xf(x)存在最大值，求a的最大值．,21．(12分)已知双曲线C：－＝1(a&gt;0，b&gt;0)经过点P(－2，1)，且C的右顶点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)过点P分别作两条直线l1，l2与C交于A，B两点(A，B两点均不与点P重合)，设直线l1，l2斜率分别为k1，k2.若k1＋k2＝1，试问直线AB是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．,(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为&rho;cos&theta;－m&rho;sin&theta;－1＝0(m&isin;R).(1)求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；(2)已知P(1，0)，曲线C1与直线C2交于M，N两点，若|PM|＋|PN|＝，求m的值．23．(10分)[选修4&mdash;5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|的最大值为M.,(1)求M的值；(2)设正数a，b，c满足a＋b＋c＝M，求证：a2＋b2＋c2&ge;.仿真模拟专练（三）1．D　∵A＝{－1，0，1，3}，B＝{0，2，3}，&there4;A&cup;B＝{－1，0，1，2，3}，故选D.2．A　∵（1＋i）（a＋i）＝a－1＋（a＋1）i为纯虚数，&there4;，解得a＝1.故选A.3．C　Sn为等差数列{an}的前n项和，设公差为d，∵a4＋a5＝24，S6＝48，&there4;，解得a1＝－2，d＝4，&there4;{an}的公差为4.故选C.4．D　∵|a|＝5，|b|＝6，a&middot;b＝－6，&there4;a&middot;（a＋b）＝|a|2＋a&middot;b＝52－6＝19，|a＋b|＝＝＝＝7，因此，cos〈a，a＋b〉＝＝＝.故选D.5．B　∵tan&alpha;＝，&there4;sin2&alpha;＝2sin&alpha;cos&alpha;＝＝＝＝＝.故选B.6．B　根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S＝lr＝&times;45&times;＝270（平方米）.故选B.7．B　a4，a8是关于x的方程x2＋10x＋4＝0的两实根，所以a4a8＝4＝a2a10＝a，由a4a8&gt;0，a4＋a8＝－10&lt;0得a4&lt;0，a8&lt;0，所以a6＝a4q2&lt;0，即a6＝－2，所以a2a6a10＝－8.故选B.8．B　由题意作出其平面区域，将z＝ax－y化为y＝ax－z，－z相当于直线y＝ax－z的纵截距，∵目标函数z＝ax－y取得最小值的最优解有无穷多个，&there4;y＝ax－z与x－2y＋4＝0平行，故a＝.故选B.,9．C　由频率分布直方图得：（0.005＋0.010＋0.010＋0.015＋a＋0.025＋0.005）&times;10＝1，解得a＝0.030，故A错误；样本数据低于130分的频率为：1－（0.025＋0.005）&times;10＝0.7，故B错误；[80，120）的频率为：（0.005＋0.010＋0.010＋0.015）&times;10＝0.4，[120，130）的频率为：0.030&times;10＝0.3.&there4;总体的中位数（保留1位小数）估计为：120＋&times;10&asymp;123.3分，故C正确；样本分布在[90，100）的频数一定与样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数不一定与总体分布在[100，110）的频数相等，故D错误．故选C.10．C　依题意试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1，x，y能与1构成钝角三角形时，由余弦定理及三角形知识，得，构成如图所示阴影部分，其面积为－，于是由几何概型概率计算公式，得＝.故&pi;＝.故选C.11．B　∵AB＝BC＝2，则△ABC为等腰三角形，取AC中点D，连接BD，则BD&perp;AC，∵PA&perp;平面ABC，BD&sub;平面ABC，&there4;BD&perp;PA，又因为PA&cap;AC＝A，PA，AC&sub;平面PAC，&there4;BD&perp;平面PAC，则&ang;BPD即为PB与平面PAC所成的角，则&ang;BPD＝30&deg;，又∵PA＝2，&there4;PB＝＝,2，则BD＝PB＝，则AC＝2＝2，则AB2＋BC2＝AC2，AB&perp;BC，则△ABC为等腰直角三角形，故三棱锥PABC外接球直径为PC＝＝2，&there4;球O的半径为，表面积为4&pi;R2＝12&pi;.故选B.12．B　依题意得，直线y＝ax＋b（b&gt;0）在点A（x1，y1）处与曲线y＝x3相切，&there4;a＝（x3）&prime;|x＝x1＝3x，直线y＝ax＋b（b&gt;0）与曲线y＝x3有且只有两个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），得，两式作差得，x－x＝a（x1－x2），（x1－x2）（x＋x1x2＋x）＝a（x1－x2）∵x1<x2∴x＋x1x2＋x＝a，∵a＝3x，∴x＋x1x2＋x＝3x，x＋x1x2－2x＝0，（x2＋2x1）（x2－x1）＝0，∵x1<x2，∴2x1＋x2＝0，故答案选b.13．答案：f（x）＝0解析：令f（x）＝0，则对任意实数a，b都有f（a＋b）＝f（a）f（b），故答案为f（x）＝0（答案不唯一）.14．答案：解析：∵tan（＋α）＝－2，∴＝－2，∴tanα＝3，∴＝＝＝＝.15．答案：解析：设m（x，y），因为＝，a（0，－1），p（t，t－2），所以＝2即x2＋（y－1）2＝2，所以m的轨迹是以（0，1）为圆心，以为半径的圆，点p在直线x－2＝y即x－y－2＝0上，所以圆心到直线的距离d＝＝，所以|mp|min＝－＝.,16．答案：4解析：函数f（x）＝，g（x）＝f（f（x））－2的零点即方程f（f（x））＝2的根，设t＝f（x），则f（t）＝2，先解方程f（t）＝2的根t，再计算t＝f（x）的解．t<2时|2t－1|＝2得t＝log23；t≥2时＝2得t＝.如图所示，函数f（x）＝的图象，方程f（x）＝log23∈（1，3）和方程f（x）＝∈（1，3）各有两个解，即方程f（f（x））＝2共有4个解，故g（x）＝f（f（x））－2的零点有4个．17．解析：（1）f（x）＝sinxcosx－cos2x，＝sin2x－＝sin（2x－）－，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈z，得f（x）的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]（k∈z）.（2）由f（b）＝，得sin（2b－）＝1.因为b∈（0，π），所以2b－∈（－，π），所以2b－＝，所以b＝.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosb，即a2＋c2＝ac＋3≤＋3，当且仅当a＝c取等号，所以a2＋c2≤6，又a2＋c2＝ac＋3>3，所以a2＋c2&isin;（3，6].18．解析：（1）由题意，xiyi＝1410，x＝55，又＝＝3，＝＝100，,则＝＝＝－9，故＝100＋3&times;9＝127，故＝－9x＋127，所以预测该运动品牌公司6月份获得&ldquo;运动达人&rdquo;称号的员工数为－9&times;6＋127＝73人；（2）由题意，m＝20，n＝40，所以K2＝&asymp;1.167&lt;3.841，故没有95%的把握认为获得&ldquo;运动达人&rdquo;称号与性别有关．19.解析：（1）存在PC的中点E，使得BE∥平面PAD，证明如下：分别取PC，PD的中点E，F，连接BE，EF，AF，则EF∥CD，又∵AB∥CD，&there4;AB∥EF，∵EF＝CD＝1，AB＝1，&there4;AB＝EF，&there4;四边形ABEF为平行四边形，&there4;BE∥AF，又∵BE&nsub;平面PAD，AF&sub;平面PAD，&there4;BE∥平面PAD.（2）取CD的中点O，连接PO，BO，∵PC＝PD，&there4;PO&perp;CD，又∵平面PCD&perp;平面ABCD，平面PCD&cap;平面ABCD＝CD，PO&sub;平面PCD，&there4;PO&perp;平面ABCD，设点A到平面PBC的距离为d，则VAPBC＝VPABC，,&there4;S△PBC&middot;d＝S△ABC&middot;PO，∵PO&perp;平面ABCD，&there4;PO&perp;OB，BC＝BD＝，CD＝2，&there4;OB＝1，易知PO＝，&there4;PB＝2，PC＝2，BC＝，&there4;S△PBC＝&middot;&middot;＝，S△ABC＝&times;1&times;1＝，&there4;&times;&times;d＝&times;&times;，&there4;d＝＝，即点A到平面PBC的距离为.20．解析：f（x）的定义域是（0，＋&infin;），（1）a＝1时，f（x）＝lnx－x－1，f&prime;（x）＝－1＝，令f&prime;（x）&gt;0，解得：0<x<1，令f′（x）<0，解得：x>1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，＋&infin;）递减，而f（1）＝－2，f&prime;（1）＝0，故切线方程是：y＝－2；（2）∵g（x）＝x（lnx－ax－1）＝xlnx－ax2－x（a&gt;0），&there4;g&prime;（x）＝lnx－2ax＝x（－2a），令t（x）＝，则t&prime;（x）＝，当x&isin;（0，e）时，t&prime;（x）&gt;0，函数t（x）单调递增；当x&isin;（e，＋&infin;）时，t&prime;（x）&lt;0，函数t（x）单调递减，&there4;t（x）max＝t（e）＝.①若2a&ge;时，g&prime;（x）&le;0，函数g（x）在（0，＋&infin;）单调递减，不存在最大值；②若0&lt;2a&lt;时，t（x）＝＝2a有两根，记为x1，x2，令1<x1<e<x2，当x∈（0，x1）时，g′（x）<0，函数y＝g（x）递减；x∈（x1，x2）时，g′（x）>0，函数y＝g（x）递增；x&isin;（x2，＋&infin;）时，g&prime;（x）&lt;0，函数y＝g（x）递减．∵x&isin;（0，1）时，g（x）&lt;0，当x&isin;（0，x1）时，g（x）&lt;0，&there4;只要g（x2）&ge;0，函数g（x）就存在最大值，即g（x2）＝x2lnx2－ax－x2&ge;0，即lnx2－ax2&ge;1，又lnx2＝2ax2，&there4;ax2&ge;1.&there4;x2&ge;&gt;2e，&there4;t（x2）&le;t，&there4;2a&le;aln.得a&le;，又a&gt;0，&there4;0</x1<e<x2，当x∈（0，x1）时，g′（x）<0，函数y＝g（x）递减；x∈（x1，x2）时，g′（x）></x<1，令f′（x）<0，解得：x></x2∴x＋x1x2＋x＝a，∵a＝3x，∴x＋x1x2＋x＝3x，x＋x1x2－2x＝0，（x2＋2x1）（x2－x1）＝0，∵x1<x2，∴2x1＋x2＝0，故答案选b.13．答案：f（x）＝0解析：令f（x）＝0，则对任意实数a，b都有f（a＋b）＝f（a）f（b），故答案为f（x）＝0（答案不唯一）.14．答案：解析：∵tan（＋α）＝－2，∴＝－2，∴tanα＝3，∴＝＝＝＝.15．答案：解析：设m（x，y），因为＝，a（0，－1），p（t，t－2），所以＝2即x2＋（y－1）2＝2，所以m的轨迹是以（0，1）为圆心，以为半径的圆，点p在直线x－2＝y即x－y－2＝0上，所以圆心到直线的距离d＝＝，所以|mp|min＝－＝.,16．答案：4解析：函数f（x）＝，g（x）＝f（f（x））－2的零点即方程f（f（x））＝2的根，设t＝f（x），则f（t）＝2，先解方程f（t）＝2的根t，再计算t＝f（x）的解．t<2时|2t－1|＝2得t＝log23；t≥2时＝2得t＝.如图所示，函数f（x）＝的图象，方程f（x）＝log23∈（1，3）和方程f（x）＝∈（1，3）各有两个解，即方程f（f（x））＝2共有4个解，故g（x）＝f（f（x））－2的零点有4个．17．解析：（1）f（x）＝sinxcosx－cos2x，＝sin2x－＝sin（2x－）－，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈z，得f（x）的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]（k∈z）.（2）由f（b）＝，得sin（2b－）＝1.因为b∈（0，π），所以2b－∈（－，π），所以2b－＝，所以b＝.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosb，即a2＋c2＝ac＋3≤＋3，当且仅当a＝c取等号，所以a2＋c2≤6，又a2＋c2＝ac＋3></x2，则2x1＋x2＝(>