统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷三方法技巧专练五理（附解析）

专练(五)技法14　数形结合思想1．[2023·河南高二期末]设x，y满足约束条件，则z＝3x＋2y的最大值为(　　)A．5B．6C．7D．82．在△ABC中，＝2，且E为AC的中点，则＝(　　)A．－＋B．－C．－－D．＋3．函数f(x)＝的部分图象大致是(　　)　4．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为(　　)A．B．C．2D．5．已知函数f(x)＝sin的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)的图象，若g(x)＋k＝0在x∈有且只有一个实数根，则k的取值范围是(　　)A．k≤B．－1≤k<－C．－<k≤D．－<k≤或k＝－1 6．[2023·北京丰台区高三一模]已知函数f(x)＝，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m的取值范围是(　　)A．(0，2)B．(－∞，－2)∪(0，2)C．(－2，0)D．(－2，0)∪(2，＋∞)[答题区]题号123456答案7.过圆O：x2＋y2＝4外一点P(2，1)作两条互相垂直的直线AB和CD分别交圆O于A，B点和C，D点，则四边形ABCD面积的最大值为________．8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x)＋f(2－x)＝0，且当x∈(0，1)时，f(x)＝x2，则f(1)＝________，g(x)＝f(x)－|lgx|，则函数g(x)的零点共有________个．9．已知函数f(x)＝2sin2＋cos2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈[0，]上有两个不同的解，求实数m的取值范围． 10．如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，L分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．(1)求证：AC⊥QL；(2)求点A到平面PQL的距离．专练（五）1．D　由题意，作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z＝3x＋2y，可化为直线y＝－x＋，当直线y＝－x＋过点B时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，即B（2，1），代入可得zmax＝3×2＋1×2＝8.故选D.2．A　方法一　如图1，连接AD.＝－＝－（＋）＝－－（－）＝－＋. 方法二　＝＋＋＝－＋＝（＋）－＋＝－＋.方法三　如图2，作＝，以，为基底将分解，＝＋＝x＋y，则＝x＋y，易知x<0，y>0，排除B，C，D选项，故选A.方法四　不妨令△ABC为直角三角形，C＝90°，AC＝2，BC＝3，以C为坐标原点建立直角坐标系，如图3所示，则C（0，0），A（2，0），B（0，3），D（0，2），E（1，0），所以＝（－2，3），＝（－2，0），＝（1，－2），易得＝－＋，故选A.3．D　因为f（－x）＝＝－f（x），所以f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，当x∈（0，1）时，f（x）＝<0，当x∈（1，＋∞）时，f（x）>0.故选D.4.D　如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2，又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a，又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a，在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2⇒4a2＋16a2＝20a2＝4c2⇒e＝＝.5．D　因为f（x）相邻两条对称轴之间的距离为，结合三角函数的图象可知＝. 又因为T＝＝＝，所以ω＝2，f（x）＝sin，将f（x）的图象向右平移个单位得到f（x）＝sin＝sin，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g（x）＝sin.所以方程为sin＋k＝0.令2x－＝t，因为x∈，所以－≤t≤.若g（x）＋k＝0在x∈上有且只有一个实数根，即g（t）＝sint与y＝－k在上有且只有一个交点．－≤－k<或－k＝1，即－<k≤或k＝－1.6．B　分情况讨论，当m>0时，要使f（x）＝b有三个不同的根，则⇒0<m<2；当m<0时，要使f（x）＝b有三个不同的根，同理可知，需要⇒m<－2.当m＝0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．∴m的取值范围是（－∞，－2）∪（0，2），故选B.7．答案：解析： 如图所示，S四边形ABCD＝（PA·PD－PB·PC），取AB，CD的中点分别为E，F，连接OE，OF，OP，则S四边形ABCD＝[（PE＋AE）·（PF＋DF）－（PE－AE）·（PF－DF）]＝PE·DF＋AE·PF，由题意知四边形OEPF为矩形，则OE＝PF，OF＝PE，结合柯西不等式有S四边形ABCD＝OF·DF＋AE·OE≤，其中OF2＋OE2＝OP2，DF2＋AE2＝4－OF2＋4－OE2＝8－OP2，据此可得S四边形ABCD≤＝＝，综上，四边形ABCD面积的最大值为.8．答案：0　6解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，因为f（x）＋f（2－x）＝0，所以令x＝1得f（1）＋f（1）＝0，即f（1）＝0.由f（x）＋f（2－x）＝0得f（x）＝－f（2－x），又f（x）是奇函数，所以－f（2－x）＝f（x－2），即f（x）＝f（x－2），则f（x）是以2为周期的周期函数，则f（0）＝f（2）＝0，f（1）＝f（3）＝0，即f（n）＝0（n∈Z）.注意到f（x）的值域为（－1，1），由g（x）＝0得f（x）＝|lgx|<1，<x<10，因此只需关心函数y＝f（x）与y＝|lgx|的图象在区间内的公共点个数．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f（x）与y＝|lgx|的图象，如图所示，由图可知，y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象共有6个交点，因此函数g（x）的零点共有6个．9．解析：（1）由f（x）＝2sin2＋cos2x＝1－cos＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋2sin，则由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函数的单调递增区间为，k∈Z.（2）由f（x）－m＝2，得f（x）＝m＋2，当x∈时，2x＋∈，∵f（0）＝1＋2sin＝1＋，函数f（x）的最大值为1＋2＝3，∴要使方程f（x）－m＝2在x∈上有两个不同的解，则f（x）＝m＋2在x∈上有两个不同的解，即函数f（x）和y＝m＋2在x∈上有两个不同的交点，即1＋≤m＋2<3，即－1≤m<1.所以实数m的取值范围为[－1，1）.10．解析：（1）如图，取DC的中点H，连接QH，HL，BD.在正方体ABCDA1B1C1D1中，H，Q分别为DC，C1D1的中点，则QH⊥CD，从而QH⊥平面ABCD，所以QH⊥AC.在正方形ABCD中，H，L分别为CD，BC的中点，所以BD∥HL，又AC⊥BD，所以HL⊥AC.又QH∩HL＝H，所以AC⊥平面QHL，所以AC⊥QL.（2）取AB的中点M，连接ML，MP，因为M，L分别为AB，BC的中点，所以ML∥AC.又AC⊥QL，所以ML⊥QL，易证PQ∥ML且PQ＝ML，所以四边形PQLM为矩形，则点A到平面PQL的距离即点A到平面PML的距离，设其值为h. 连接PA，AL，在四面体PAML中，S△AML＝AM·BL＝··＝a2，S△PML＝·ML·PM＝·a·＝a2，由等体积法可知V三棱锥PAML＝V三棱锥APML，即·a2·a＝·a2·h，解得h＝a，故点A到平面PQL的距离为a.