统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷三方法技巧专练四理（附解析）

专练(四)技法13　函数方程思想1．[2023·江西高三模拟]已知等比数列{an}中，a1＋a5＝10，a1a5＝16且a1<a5，则a7＝(　　)A．±16B．16C．±4D．42．[2023·湖北高三二模]在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝5，点O为△ABC的外心，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)A．B．C．D．3．已知函数f(x)＝x2＋4x＋4，若存在实数t，当x∈[1，t]时，f(x－a)≤4x(a>0)恒成立，则实数t的最大值是(　　)A．4B．7C．8D．9[答题区]题号123答案4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．5．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b(a>1)的定义域和值域都为[1，a]，则b＝________．6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，若直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，则双曲线的离心率为________．7．已知函数f(x)＝lg，其中a为常数，若当x∈(－∞，1]，f(x)有意义，则实数a的取值范围为________．8．[2023·浙江宁波市高三期末]已知a，b∈R，满足e2x＋≥2ex－a对任意x∈R恒成立，当2a＋b取到最小值时，a2＋b＝________．9．已知二次函数g(x)＝mx2－2mx＋n＋1(m>0)在区间[0，3]上有最大值4，最小值0.求函数g(x)的解析式． 10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.求l的方程．专练（四）1．B　已知，且a1<a5解得，又因为{an}是等比数列，所以a5＝a1q4＝8，所以q4＝＝4，可得q2＝2，所以a7＝a5q2＝8×2＝16.故选B.2．C　由题得·＝·（λ＋μ）＝16λ＋μ·＝16λ＋24μcosA，由余弦定理得cosA＝＝，所以·＝16λ＋24μ×＝16λ＋μ，因为点O为△ABC的外心，所以·＝4·||cos∠BAO＝4·||·＝8，所以16λ＋μ＝8，①同理·＝λ·＋μ2＝λ＋36μ＝18，②解①②得λ＝，μ＝，∴λ＋μ＝.故选C. 3．D　作函数f（x）＝x2＋4x＋4＝（x＋2）2的简图如图所示．由图象可知，当函数y＝f（x－a）的图象经过点（1，4）时，有x∈[1，t]，f（x－a）≤4x（a>0）恒成立，此时t取得最大值，由（1－a）2＋4（1－a）＋4＝4，得a＝5或a＝1（舍），所以4t＝（t－5＋2）2，所以t＝1（舍）或t＝9，故t＝9.4．答案：解析：∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC＞0，∴sinA＝.由余弦定理得cosA＝＝＝＞0，∴cosA＝，bc＝＝，∴S△ABC＝bcsinA＝××＝.5．答案：5解析：函数f（x）＝x2－2ax＋b（a>1）图象的对称轴方程为x＝－＝a>1，所以函数f（x）＝x2－2ax＋b在[1，a]上为减函数，又函数在[1，a]上的值域也为[1，a]，∴即由①得b＝3a－1，代入②得a2－3a＋2＝0，解得a＝1（舍）或a＝2.把a＝2代入b＝3a－1得b＝5.6．答案： 解析：取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，∴|AF2|＝2a，∵|PA|＝|PF1|＝a＋c，∴4c2＝（a＋c）2＋4a2，化简得（3c－5a）（a＋c）＝0，则双曲线的离心率为.7．答案：解析：由>0，且a2－a＋1＝＋>0，得1＋2x＋4x·a>0，故a>－.当x∈（－∞，1]时，y＝与y＝都是减函数，因此，函数y＝－在（－∞，1]上是增函数，所以＝－，所以a>－.故实数a的取值范围是.8．答案：24解析：令t＝ex，则t＞0，所以t2＋≥2t－a，即t3－2t2＋at＋b≥0对于t＞0恒成立，令f（t）＝t3－2t2＋at＋b（t＞0），因为f（2）＝8－8＋2a＋b＝2a＋b，因为对于t＞0时f（t）≥0恒成立，所以2a＋b≥0，当2a＋b取最小值时，即2a＋b＝0，此时在t＝2时f（t）有最小值，因为函数f（t）的定义域为（0，＋∞），2∈（0，＋∞），t＝2不是区间端点值，又在f（2）处取得最小值，所以f（2）也是函数的一个极小值，且f′（t）＝3t2－4t＋a，所以f′（2）＝3×4－8＋a＝0，得a＝－4，从而b＝8，故a2＋b＝24.9．解析：g（x）＝mx2－2mx＋n＋1（m>0），易知g（x）图象开口向上，对称轴方程为x＝1，∵x∈[0，3]，∴当x＝1时，g（x）取得最小值－m＋n＋1＝0，　① 当x＝3时，g（x）取得最大值3m＋n＋1＝4，　②由①②解得m＝1，n＝0，∴函数g（x）的解析式为g（x）＝x2－2x＋1.10．解析：由题意得F（1，0），l的方程为y＝k（x－1）（k>0）.设A（x1，y1），B（x2，y2），由得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝（x1＋1）＋（x2＋1）＝.由题设知＝8，解得k＝－1（舍去）或k＝1.因此l的方程为y＝x－1.