统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷五仿真模拟专练四文（附解析）

仿真模拟专练(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|－10<x<5}，b＝{x|－6<x<8}，则a∩b＝(>106．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，E、F分别是棱CC1、A1B1的中点，则异面直线AC与EF所成角的余弦值为(　　)A.B．C．D．7．已知tan&alpha;＝4，tan&beta;＝－，则tan2&alpha;－tan2&beta;＝(　　)A.－B．0C．D．－,8．已知圆M：x2＋y2－6y＋8＝0，以圆M的圆心为焦点F的抛物线E：x2＝2py(p&gt;0)，过F的直线l与M交于A，B两点(A在B的上方)，l与E交于P，Q两点(P在Q的上方)，则|AP|＋|BQ|的最小值为(　　)A.7B．C．6D．9．在正四棱锥SABCD中，SO&perp;平面ABCD于O，SO＝2，底面的边长为，点P，Q分别在线段BD，SC上移动，则P，Q两点的最短的距离为(　　)A.B．C．2D．110．已知a&gt;0，b&gt;0，两直线l1：(a－1)x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝0，且l1&perp;l2，则＋的最小值为(　　)A.2B．4C．8D．911．已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是(　　)A.(5，6)B．(6，7)C．(7，8)D．(8，9)12．已知a－4＝ln，b－3＝ln，c－2＝ln，其中a&ne;4，b&ne;3，c&ne;2，则(　　)A.c<b<ab．c<a<bc．a<b<cd．a<c<b[答题区]题号123456789101112答案二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某公司的班车分别在7：30，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过15分钟的概率是________．14．已知双曲线c：－＝1(a>0，b&gt;0)的渐近线与圆M：(x－2)2＋y2＝3相切，该双曲线的离心率e为__________．15．若sin(－&alpha;)＝，则cos(＋2&alpha;)＝________．,16．钻石是以矿物金刚石为材料的宝石，&ldquo;钻石恒久远，一颗永流传&rdquo;也早已深入人心，这么多年来，钻石依然是很多美好场合的见证者．天然钻石原矿，最基本的单晶结晶形态之一是等轴晶系里的八面体．为了研究结构特点，我校某兴趣小组研制了一个教具，由六个黑点代表顶点，十二条黄棍代表棱，制作成了正八面体模型，若该正八面体的棱长为2，则该正八面体的外接球体积是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)已知数列{an}，a1＝1，且an＋1＝2an＋1.(1)求证：{an＋1}是等比数列；(2)设bn＝2nan，求{bn}的前n项和．18．(12分)《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称&ldquo;礼让斑马线&rdquo;．下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不&ldquo;礼让斑马线&rdquo;行为的统计数据：月份x12345违章驾驶员人数y1201051009085(1)请利用所给数据求违章驾驶员人数y与月份x之间的回归直线方程＝x＋，并预测该路口7月份的不&ldquo;礼让斑马线&rdquo;违章驾驶员人数；(,2)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员&ldquo;礼让斑马线&rdquo;行为与驾龄的关系，得到如下2&times;2列联表：不礼让斑马线礼让斑马线合计驾龄不超过1年22830驾龄1年以上81220合计302050能否有97.5%的把握认为&ldquo;礼让斑马线&rdquo;行为与驾龄有关？附：＝，＝－，K2＝，n＝a＋b＋c＋d.P(K2&ge;k0)0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635,,19.(12分)已知函数f(x)＝ax2＋x－lnx(a&ge;0).(1)若a＝0，证明：f(x)&ge;1；(2)讨论f(x)的单调性．,20．(12分)如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为直角三角形，C是底面圆周上异于A，B的任一点，D是线段AC的中点，E为母线PA上的一点，且PE＝2EA.(1)证明：平面POD&perp;平面PAC；(2)若AC＝2，BC＝2，求三棱锥PODE的体积．,21．(12分)&ldquo;工艺折纸&rdquo;是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)步骤1:设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2:把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3:把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4:不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．(1)以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；(2)直线l过椭圆C的右焦点F2，交该椭圆于A，B两点，AB中点为Q，射线OQ(O为坐标原点)交椭圆于P，若＝3，求直线l的方程．,(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4&mdash;4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，直线C2的参数方程为(m为参数).以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与直线C2交于A，B两点，点P的坐标为(3，0)，求|PA||PB|的值．23．(10分)[选修4&mdash;5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|.(1)求不等式f(x)&lt;6的解集；(2)记f(x)最小值为M，若a，b均为正数，a＋2b＝M，求证：a2＋4b2&ge;8.,仿真模拟专练（四）1．A　∵A＝{x|－10<x<5}，b＝{x|－6<x<8}，∴a∩b＝{x|－6<x<5}．故选a.2．b z="">0，b&gt;0，l1：（a－1）x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝0，则k1＝1－a，k2＝－，∵l1&perp;l2，则k1&middot;k2＝－1，即（1－a）&middot;＝－1，&there4;a＋2b＝1，∵a&gt;0，b&gt;0，&there4;＋＝（＋）&middot;（a＋2b）＝5＋＋&ge;5＋4＝9，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为9.故选D.11.,D　模式A：y＝－300t＋3000，模式B：y＝p&middot;，其中p为初始电量．A模式用了m小时，电量为3000－300m，m小时后B模式用了10－m小时，&there4;（－300m＋3000）&middot;&gt;3000&middot;5%.2m－10（10－m）&gt;，令10－m＝x，&there4;&gt;，&there4;2x－1－x&lt;0，设f（x）＝2x－1－x，作出函数y＝2x－1与y＝x的图象，如图所示，由图可知，函数f（x）＝2x－1－x有2个零点，f（1）＝0，f（2）＝0，当1<x<2时，f（x）<0，∴1<10－m<2，∴8<m<9，故选d.12.c>0，x&gt;1，&there4;f（x）在（0，1）上单调递减，（1，＋&infin;）单调递增，所以f（4）&gt;f（3）&gt;f（2），即可得f（a）&gt;f（b）&gt;f（c），又a&ne;4，b&ne;3，c&ne;2，由图象的对称性可知，a<b<c.故选c.13．答案：解析：设小明到达时间为y，当y,在8：15至8：30时，小明等车时间不超过15分钟，故p＝＝.14．答案：2解析：由题可知双曲线其中一条渐近线方程y＝x，因为其与圆m：（x－2）2＋y2＝3相切，故可得：＝，解得＝，则离心率e＝＝2.15．答案：－解析：cos（＋2α）＝cos＝－cos（－2α）＝2sin2－1＝2×－1＝－.16.答案：解析：如图：正八面体中，连接ef，ac，设ac∩ef＝o，则o为ef和ac的中点，且ef⊥平面abcd，可得oa＝ob＝oc＝od＝，在rt△aoe中，oe＝＝＝，所以oe＝of＝oa＝ob＝oc＝od＝，所以点o为正八面体外接球的球心，且外接球的半径为，所以正八面体的外接球体积是π（）3＝π.17．解析：（1）证明：依题意，由an＋1＝2an＋1两边同时加1，可得an＋1＋1＝2an＋1＋1＝2（an＋1），∵a1＋1＝1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1），可知an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1，∴bn＝2nan＝2n·（2n－1）＝4n－2n，,设数列{bn}的前n项和为sn，则sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（41－21）＋（42－22）＋…＋（4n－2n）＝（41＋42＋…＋4n）－（21＋22＋…＋2n）＝－＝－2n＋1.18．解析：（1）＝×（1＋2＋3＋4＋5）＝3，＝×（120＋105＋100＋90＋85）＝100，＝＝＝－8.5，＝－＝100－（－8.5）×3＝125.5.所以y与x之间的回归直线方程为＝－8.5x＋125.5.当x＝7时，＝－8.5×7＋125.5＝66，即预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为66.（2）由列联表中数据，得k2＝≈5.556>5.024，所以有97.5%的把握认为&ldquo;礼让斑马线&rdquo;行为与驾龄有关．19．解析：（1）证明：当a＝0时，f（x）＝x－lnx，f&prime;（x）＝，由f&prime;（x）&gt;0得x&gt;1；由f&prime;（x）&lt;0，得0<x<1.所以f（x）min＝f（1）＝1，故f（x）≥1.（2）f′（x）＝2ax＋1－＝（x>0），当a＝0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋&infin;）上单调递增．当a&gt;0时，令f&prime;（x）＝0，得x＝（x＝&lt;0舍去），则f（x）在（0，）上单调递减，在上单调递增．20．解析：（1）证明：由圆锥的性质可知，PO&perp;底面圆，,又AC在底面圆O上，所以AC&perp;PO，又因为C在圆O上，AB为直径，所以AC&perp;BC，又点O，D分别为AB，AC的中点，所以OD∥BC，所以OD&perp;AC，又OD&cap;PO＝O，且OD，PO&sub;平面POD，所以AC&perp;平面POD，又AC&sub;平面PAC，所以平面POD&perp;平面PAC.（2）由题可知，AC＝2，BC＝2，则AD＝AC＝，如图，在PD上取点F，使得PF＝2FD，连接EF，由题知PE＝2EA，所以EF∥AC，所以EF＝AD＝，又因为AC&perp;平面POD，所以EF&perp;平面POD，所以EF为三棱锥EPOD的高，又AC＝2，BC＝2，所以AB＝＝4，又因为△PAB为等腰直角三角形，所以PO＝AB＝2，又PO&perp;OD，所以S△POD＝&middot;PO&middot;OD＝&times;2&times;1＝1，而VPODE＝VEPOD＝&middot;EF&middot;S△POD＝&times;&times;1＝，所以三棱锥PODE的体积为.21.解析：（1）如图，以FE所在的直线为x轴，FE的中点O为原点建立平面直角坐标系．,设M（x，y）为椭圆上一点，由题意可知|MF|＋|ME|＝|AE|＝4&gt;|EF|＝2，所以M点轨迹是以F，E为左右焦点，长轴长2a＝4的椭圆，因为2c＝2，2a＝4，所以c＝1，a＝2，则b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；（2）因为＝3，所以＝4，当AB斜率不存在时，＝2，不合题意；当AB斜率存在时，设直线方程为y＝k（x－1），点A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式作差得&middot;＝－，即kAB&middot;kOP＝－，故直线OP的方程为y＝－x，联立，解得x＝，联立，解得xQ＝，因为＝4，所以xP＝4xQ，即＝4&times;，则k2＝，解得k＝&plusmn;，所以直线AB的方程为y＝&plusmn;（x－1）.即x&plusmn;2y－1＝0.22．解析：（1）由曲线C1平方相减，消去参数t，得x2－y2＝4（x&ge;2）.∵&rho;cos&theta;＝x，&rho;sin&theta;＝y，&there4;&rho;2cos2&theta;－&rho;2sin2&theta;＝4&rArr;&rho;2cos2&theta;＝4，&theta;&isin;（－，）.直线C2消去m，得y＝2（x－3），即2x－y－6＝0.（2）把代入x2－y2＝4（x&ge;2），得3m2－6m－25＝0（m&ge;－）.∵&Delta;&gt;0，设A，B对应的参数值为m1，m2，&there4;m1m2＝－.∵P（3，0）在直线C2上，,&there4;|PA||PB|＝|m1||m2|＝|m1m2|＝.23．解析：（1）当x&le;－2时，f（x）＝－2x，由－2x&lt;6，得x&gt;－3，所以－3<x≤－2；当－2<x<2时，f（x）＝4<6，所以－2<x<2；当x≥2时，f（x）＝2x，由2x<6，得x<3，所以2≤x<3.所以不等式f（x）<6的解集为（－3，3）.（2）证明：因为|x－2|＋|x＋2|≥|（x－2）－（x＋2）|＝4，所以f（x）最小值为4.因为a>0，b&gt;0，a＋2b＝4，所以a＋2b&ge;2，所以0</x≤－2；当－2<x<2时，f（x）＝4<6，所以－2<x<2；当x≥2时，f（x）＝2x，由2x<6，得x<3，所以2≤x<3.所以不等式f（x）<6的解集为（－3，3）.（2）证明：因为|x－2|＋|x＋2|≥|（x－2）－（x＋2）|＝4，所以f（x）最小值为4.因为a></x<1.所以f（x）min＝f（1）＝1，故f（x）≥1.（2）f′（x）＝2ax＋1－＝（x></b<c.故选c.13．答案：解析：设小明到达时间为y，当y,在8：15至8：30时，小明等车时间不超过15分钟，故p＝＝.14．答案：2解析：由题可知双曲线其中一条渐近线方程y＝x，因为其与圆m：（x－2）2＋y2＝3相切，故可得：＝，解得＝，则离心率e＝＝2.15．答案：－解析：cos（＋2α）＝cos＝－cos（－2α）＝2sin2－1＝2×－1＝－.16.答案：解析：如图：正八面体中，连接ef，ac，设ac∩ef＝o，则o为ef和ac的中点，且ef⊥平面abcd，可得oa＝ob＝oc＝od＝，在rt△aoe中，oe＝＝＝，所以oe＝of＝oa＝ob＝oc＝od＝，所以点o为正八面体外接球的球心，且外接球的半径为，所以正八面体的外接球体积是π（）3＝π.17．解析：（1）证明：依题意，由an＋1＝2an＋1两边同时加1，可得an＋1＋1＝2an＋1＋1＝2（an＋1），∵a1＋1＝1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1），可知an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1，∴bn＝2nan＝2n·（2n－1）＝4n－2n，,设数列{bn}的前n项和为sn，则sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（41－21）＋（42－22）＋…＋（4n－2n）＝（41＋42＋…＋4n）－（21＋22＋…＋2n）＝－＝－2n＋1.18．解析：（1）＝×（1＋2＋3＋4＋5）＝3，＝×（120＋105＋100＋90＋85）＝100，＝＝＝－8.5，＝－＝100－（－8.5）×3＝125.5.所以y与x之间的回归直线方程为＝－8.5x＋125.5.当x＝7时，＝－8.5×7＋125.5＝66，即预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为66.（2）由列联表中数据，得k2＝≈5.556></x<2时，f（x）<0，∴1<10－m<2，∴8<m<9，故选d.12.c></x<5}，b＝{x|－6<x<8}，∴a∩b＝{x|－6<x<5}．故选a.2．b></b<ab．c<a<bc．a<b<cd．a<c<b[答题区]题号123456789101112答案二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某公司的班车分别在7：30，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过15分钟的概率是________．14．已知双曲线c：－＝1(a></x<5}，b＝{x|－6<x<8}，则a∩b＝(>