统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷五仿真模拟专练四理（附解析）
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仿真模拟专练(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|－10<x<5}，b＝{x|－6<x<8}，则a∩b＝(>106.投壸是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，，每人每次投壸相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为( )A．B．C．D．7．已知数列{an}为等比数列，且a5a6＝2，数列{bn}满足b1＝1，且＝an，则b11＝( )A．16B．32C．64D．1288．已知圆M：x2＋y2－6y＋8＝0，以圆M的圆心为焦点F的抛物线E：x2＝2py(p>0)，过F的直线l与M交于A，B两点(A在B的上方)，l与E交于P，Q两点(P在Q的上方)，则|AP|＋|BQ|的最小值为( )A．7B．C．6D．9．已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B,：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是( )A．(5，6)B．(6，7)C．(7，8)D．(8，9)10．已知函数f(x)＝|cos2x|＋cosx，下列四个结论中正确的是( )A．函数f(x)在(0，π)上恰有一个零点B．函数f(x)在上单调递减C．f(π)＝2D．函数f(x)的图象关于点(，0)对称11．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，G为AA1的中点，则直线BD与平面GB1D1的距离为( )A．B．C．D．12．已知函数f(x)＝xln(lnx)－xln(kx)－lnx恒有零点，则实数k的取值范围是( )A．(0，]B．[e－1－，1)C．D．(0，e－1－][答题区]题号123456789101112答案二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋2x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________．14．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，若|MF|＝6，则M的横坐标为________．15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，且x＝－是一个极小值点．若把函数f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度后，所得函数的图象关于直线x＝对称，则实数t的最小值为________．16．下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图．,说明：(1)在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2020年2月相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与2020年3月相比较．(2)同比增长率＝×100%，环比增长率＝×100%.给出下列四个结论：①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；③2020年3月的消费价格低于2020年4月的消费价格；④2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a2a3＝8，试从下列两个条件：①S2n＝3(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)(n∈N*)，②Sn＋m＝Sn＋2nSm(n，m∈N*)中选取一个条件解答下列问题：(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n－1(an＋log2a2n)(n∈N*)，求数列{bn}的前2n项和T2n.,18．(12分)学习强国平台开展了两项答题活动，一项为“争上游答题”，另一项为“双人对战”．“争上游答题”项目的规则如下：在一天内参与“争上游答题”活动，仅前两局比赛有积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分，每局比赛相互独立．“双人对战”项目的规则如下：在一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛有积分，获胜得2分，失败得1分，每局比赛相互独立．已知甲参加“争上游答题”活动，每局比赛获胜的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为.(1)若甲连续4天参加“双人对战”活动，求甲这4天参加“双人对战”项目的总得分不低于6分的概率；(2)记甲某天参加两项活动(其中“争上游答题”项目参与两局以上)的总得分为X，求X的分布列和数学期望．,19．(12分)如图，在圆柱OO1中，AB是底面圆O1的直径，CD是底面圆O的直径，已知圆O的半径为，圆柱OO1的母线CC1＝DD1＝2，E为DD1的中点．(1)若AB⊥C1D1，证明：OE⊥平面ABE；(2)若AC1＝，求二面角CABE的余弦值．,20．(12分)已知点P在圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0上运动，点Q(3，0)，线段PQ的中点M的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)过点N(2，3)是否存在直线l与曲线Γ有且只有一个交点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．(12分)已知函数f(x)＝aex＋bcosx＋x2＋1(其中a，b为实数)的图象在点(0，f(0)),处的切线方程为y＝x＋1.(1)求实数a，b的值；(2)求函数g(x)＝f′(x)－3x的单调区间；(3)若对任意的x∈R，不等式xf(x)≥x3＋2λx2＋x恒成立，求实数λ的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，直线C2的参数方程为(m为参数).以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；,(2)若曲线C1与直线C2交于A，B两点，点P的坐标为(3，0)，求|PA||PB|的值．23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|.(1)求不等式f(x)<6的解集．(2)记f(x)最小值为M，若a，b均为正数，a＋2b＝M，证明：a2＋4b2≥8.仿真模拟专练（四）1．A ∵A＝{x|－10<x<5}，b＝{x|－6<x<8}，∴a∩b＝{x|－6<x<5}．故选a.2．b z="">3000·5%，即2m－10（10－m）>，令10－m＝x，∴>，∴2x－1－x<0，令f（x）＝2x－1－x，由y＝2x－1和y＝x的图像如图可知，f（1）＝0，f（2）＝0，∴2x－1－x<0的解为1<x<2，∴1<10－m<2，∴8<m<9.故选d.10．a x="">0，则x＝et，∴etlnt－et（lnk＋t）－t＝0，即lnt－lnk－t－＝0，∴lnt－t－＝lnk，令g（t）＝lnt－t－（t>0），则g′（t）＝－1－＝，由et>t恒成立知，当0<t<1时，g′（t）>0,g（t）单调递增，,当t>1时，g′（t）<0,g（t）单调递减，∴t＝1时，g（t）max＝g（1）＝－1－，∴lnk≤－1－时方程恒有根，即0<k≤e－1－，故选d.13．答案：x－y＋1＝0解析：当x>0时，－x<0，所以f（－x）＝lnx－2x，又因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝lnx－2x，即f（x）＝－lnx＋2x，所以f′（x）＝－＋2，所以f′（1）＝－1＋2＝1，所以曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是y－2＝x－1，即x－y＋1＝0故答案为x－y＋1＝0.14．答案：5解析：设M（x0，y0），则|MF|＝x0＋1＝6，所以x0＝5.故答案为5.15．答案：解析：相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，∴＝，∴T＝π，∴最小值点x＝－右侧最近的一个最大值点为x＝－＋＝，第二个最值点为最小值点，即x＝－＋π＝是第一个超过x＝的最值点，即x＝右侧第一条对称轴为x＝，∴把函数f（x）的图象向左平移t（t>0）个单位长度后，所得函数的图象关于直线x＝对称，则实数t的最小值为－＝，故答案为.16．答案：①④解析：①：由全国居民消费价格涨跌幅折线图可知：同比增长率为－0.5%，由题中说明所给同比增长率定义可知：2020年11月居民消费价格低于2019年同期，故本结论正确；②：由全国居民消费价格涨跌幅折线图可知：2020年3月至6月环比增长率为负值，由题中所给的环比增长率定义可知：2020年3月至6月居民的,消费价格持续下降，所以本结论不正确；③：设2020年3月的消费价格为a3，2020年4月的消费价格为a4，根据题中所给的环比增长率公式可得：×100%＝－0.9%⇒a4≈0.991a3，所以a4<a3，因此本结论不正确；④：设2020年5月的消费价格为a5，2020年6月的消费价格为a6，2020年7月的消费价格为a7，根据题中所给的环比增长率公式可得：×100%＝－0.8%⇒a5≈0.983a3，×100%＝－0.1%⇒a6≈0.982a3，×100%＝0.6%⇒a7≈0.988a3，所以a7<a3，因此本结论正确；故答案为①④.17．解析：（1）因为a1a2a3＝8，{an}是等比数列，所以a＝8，解得：a2＝2，若选择条件①，由s2n＝3（a1＋a3＋…＋a2n－1），可得s2＝3a1，则a2＝2a1，所以a1＝1，公比q＝＝2，所以an＝2n－1；若选择条件②，由sn＋m＝sn＋2nsm，可得s2＝a1＋2a1，则a2＝2a1，所以a1＝1，公比q＝＝2，所以an＝2n－1.（2）由（1）得an＝2n－1，∵bn＝（－1）n－1（an＋log2a2n）（n∈n*），∴bn＝（－1）n－1（2n－1＋log222n－1）＝（－2）n－1＋（－1）n－1·（2n－1），所以t2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝[（－2）0＋（－2）1＋…＋（－2）2n－1]＋[（－1）0×1＋（－1）1×3＋…＋（－1）2n－2×（4n－3）＋（－1）2n－1×（4n－1）]＝＋[（1－3）＋…＋（4n－3－4n＋1）]＝－2n＝（1－4n－6n），所以数列{bn}的前2n项和tn＝（1－4n－6n）.18．解析：（1）设甲这4天参加“双人对战”项目的总得分为ξ，则ξ的可能取值为4，5，6，7，8，且p（ξ＝4）＝（）4＝，p（ξ＝5）＝c××（）3＝，p（ξ＝6）＝c×（）2×（）2＝，,p（ξ＝7）＝c×（）3×＝，p（ξ＝8）＝（）4＝，所以甲这4天参加“双人对战”项目的总得分不低于6分的概率为p（ξ≥6）＝＋＋＝＝；（2）由题意可知，x的可能取值为3，4，5，6，7，且p（x＝3）＝××＝，p（x＝4）＝××＋××＝＋＝，p（x＝5）＝××＋××＝＋＝，p（x＝6）＝××＋××＝＋＝，p（x＝7）＝××＝，所以x的分布列为x34567p数学期望为e（x）＝3×＋4×＋5×＋6×＋7×＝＝.19．解析：（1）连接o1e，由题易知ab⊥dd1，又ab⊥c1d1，dd1∩c1d1＝d1，所以ab⊥平面cdd1c1，因为oe⊂平面cdd1c1，故ab⊥oe.由d1e＝ed＝，且o1d1＝od＝，可得oe＝o1e＝，连接oo1，则oe2＋o1e2＝o1o2，即oe⊥o1e.,结合ab⊥oe，且ab∩o1e＝o1，∴oe⊥平面abe.（2）以o为坐标原点，oc，oo1所在直线分别为x，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知△ac1o1为等边三角形，因此a（，，2），又c（，0，0），o1（0，0，2），e（－，0，），所以＝（，，0），＝（－，，2），＝（，0，）.设平面cab的法向量为m＝（x，y，z），令x＝2，则y＝－2，z＝，所以m＝（2，－2，）.设平面eab的法向量为n＝（x1，y1，z1），令x1＝，则y1＝－1，z1＝－，所以n＝（，－1，－），则|cos〈m，n〉|＝＝＝，易知二面角cabe为锐二面角，因此二面角cabe的余弦值为.20．解析：（1）设m（x，y），则p（2x－3，2y），∵p在圆c上，∴（2x－3）2＋4y2＋2（2x－3）－8y＋1＝0，整理得：（x－1）2＋（y－1）2＝1，∴曲线γ的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1.（2）当l斜率不存在时，l：x＝2符合条件；当l斜率存在时，设直线l方程为y＝k（x－2）＋3，即kx－y－2k＋3＝0，因为直线l,与圆有且仅有一个交点，则直线l与圆相切，则＝1，解得k＝.∴满足条件的直线l存在，直线l的方程为：x＝2或y＝x＋.21．解析：（1）因为f（x）＝aex＋bcosx＋x2＋1，所以f′（x）＝aex－bsinx＋x，由题意得解得.（2）由（1）知f（x）＝ex－cosx＋x2＋1，g（x）＝ex＋sinx－2x.所以g′（x）＝ex＋cosx－2，令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝ex－sinx①当x<0时，由ex－2<－1，－1≤cosx≤1，得g′（x）＝ex＋cosx－2<0，所以g（x）在（－∞，0）上单调递减．②当x≥0时，由ex≥1，－1≤－sinx≤1，得h′（x）＝ex－sinx>0，所以g′（x）在[0，＋∞）上单调递增，故g′（x）≥g′（0）＝0，所以g（x）在[0，＋∞）上单调递增．综上所述，g（x）在（－∞，0）上单调递减；在[0，＋∞）上单调递增．（3）对x分情况讨论如下：①当x＝0时，对任意的λ∈R，不等式xf（x）≥x3＋2λx2＋x恒成立．②当x>0时，不等式xf（x）≥x3＋2λx2＋x等价于ex－cosx＋x2＋1≥x2＋2λx＋1，即ex－x2－2λx－cosx≥0.令G（x）＝ex－x2－2λx－cosx，则G′（x）＝ex－2x＋sinx－2λ＝g（x）－2λ.当λ≤时，由（2）知G′（x）＝g（x）－2λ>g（0）－2λ＝1－2λ≥0，所以G（x）单调递增，从而G（x）>G（0）＝0，满足题意．当λ>时．由（2）知G′（x）＝g（x）－2λ＝ex－2x＋sinx－2λ＝g（x）－2λ在（0，＋∞）上单调递增，设y＝ex－ex，则y′＝ex－e，令y′>0，可得ex>e，解得x>1；令y′≤0，可得ex≤e，解得0<x≤1；所以函数y＝ex－ex在（0，1]单调递减；在区间（1，＋∞）单调递增，,所以y＝ex－ex≥e－e＝0，即ex≥ex，故g′（x）＝ex－2x＋sinx－2λ>（e－2）x－1－2λ，从而G′（）>（e－2）×－1－2λ＝0.又G′（0）＝1－2λ<0，所以存在唯一实数x0∈（0，），使得G′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，G′（x）≤0，G（x）单调递减，所以当x∈（0，x0）时，G（x）<g（0）＝0，不满足题意．③当x<0时，不等式xf（x）≥x3＋2λx2＋x等价于ex－x2－2λx－cosx≤0，同上，令g（x）＝ex－x2－2λx－cosx，则g′（x）＝ex－2x＋sinx－2λ≤0.当λ≤时，由（2）可知g′（x）>0，所以G（x）单调递增，故G（x）<g（0）＝0，满足题意．综上，可得λ的取值范围是（－∞，].22．解析：（1）曲线c1平方相减，消去参数t点，得x2－y2＝4（x≥2）.∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4⇒ρ2cos2θ＝4，θ∈（－，）.直线c2消去m，得y＝2（x－3），即2x－y－6＝0.（2）把代入x2－y2＝4（x≥2），得3m2－6m－25＝0（m≥－）.∵δ>0，设A，B对应的参数值为m1，m2，∴m1m2＝－.∵P（3，0）在直线C2上，∴|PA||PB|＝|m1||m2|＝|m1m2|＝.23．解析：（1）当x≤－2时，f（x）＝－2x，由－2x<6，得x>－3，所以－3<x≤－2；当－2<x<2时，f（x）＝4<6，所以－2<x<2；当x≥2时，f（x）＝2x，由2x<6，得x<3，所以2≤x<3.所以不等式f（x）<6的解集为（－3，3）.（2）证明：因为|x－2|＋|x＋2|≥|（x－2）－（x＋2）|＝4，所以f（x）最小值为4.,因为a>0，b>0，a＋2b＝4，所以a＋2b≥2，所以0</x≤－2；当－2<x<2时，f（x）＝4<6，所以－2<x<2；当x≥2时，f（x）＝2x，由2x<6，得x<3，所以2≤x<3.所以不等式f（x）<6的解集为（－3，3）.（2）证明：因为|x－2|＋|x＋2|≥|（x－2）－（x＋2）|＝4，所以f（x）最小值为4.,因为a></g（0）＝0，满足题意．综上，可得λ的取值范围是（－∞，].22．解析：（1）曲线c1平方相减，消去参数t点，得x2－y2＝4（x≥2）.∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4⇒ρ2cos2θ＝4，θ∈（－，）.直线c2消去m，得y＝2（x－3），即2x－y－6＝0.（2）把代入x2－y2＝4（x≥2），得3m2－6m－25＝0（m≥－）.∵δ></g（0）＝0，不满足题意．③当x<0时，不等式xf（x）≥x3＋2λx2＋x等价于ex－x2－2λx－cosx≤0，同上，令g（x）＝ex－x2－2λx－cosx，则g′（x）＝ex－2x＋sinx－2λ≤0.当λ≤时，由（2）可知g′（x）></x≤1；所以函数y＝ex－ex在（0，1]单调递减；在区间（1，＋∞）单调递增，,所以y＝ex－ex≥e－e＝0，即ex≥ex，故g′（x）＝ex－2x＋sinx－2λ></a3，因此本结论不正确；④：设2020年5月的消费价格为a5，2020年6月的消费价格为a6，2020年7月的消费价格为a7，根据题中所给的环比增长率公式可得：×100%＝－0.8%⇒a5≈0.983a3，×100%＝－0.1%⇒a6≈0.982a3，×100%＝0.6%⇒a7≈0.988a3，所以a7<a3，因此本结论正确；故答案为①④.17．解析：（1）因为a1a2a3＝8，{an}是等比数列，所以a＝8，解得：a2＝2，若选择条件①，由s2n＝3（a1＋a3＋…＋a2n－1），可得s2＝3a1，则a2＝2a1，所以a1＝1，公比q＝＝2，所以an＝2n－1；若选择条件②，由sn＋m＝sn＋2nsm，可得s2＝a1＋2a1，则a2＝2a1，所以a1＝1，公比q＝＝2，所以an＝2n－1.（2）由（1）得an＝2n－1，∵bn＝（－1）n－1（an＋log2a2n）（n∈n*），∴bn＝（－1）n－1（2n－1＋log222n－1）＝（－2）n－1＋（－1）n－1·（2n－1），所以t2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝[（－2）0＋（－2）1＋…＋（－2）2n－1]＋[（－1）0×1＋（－1）1×3＋…＋（－1）2n－2×（4n－3）＋（－1）2n－1×（4n－1）]＝＋[（1－3）＋…＋（4n－3－4n＋1）]＝－2n＝（1－4n－6n），所以数列{bn}的前2n项和tn＝（1－4n－6n）.18．解析：（1）设甲这4天参加“双人对战”项目的总得分为ξ，则ξ的可能取值为4，5，6，7，8，且p（ξ＝4）＝（）4＝，p（ξ＝5）＝c××（）3＝，p（ξ＝6）＝c×（）2×（）2＝，,p（ξ＝7）＝c×（）3×＝，p（ξ＝8）＝（）4＝，所以甲这4天参加“双人对战”项目的总得分不低于6分的概率为p（ξ≥6）＝＋＋＝＝；（2）由题意可知，x的可能取值为3，4，5，6，7，且p（x＝3）＝××＝，p（x＝4）＝××＋××＝＋＝，p（x＝5）＝××＋××＝＋＝，p（x＝6）＝××＋××＝＋＝，p（x＝7）＝××＝，所以x的分布列为x34567p数学期望为e（x）＝3×＋4×＋5×＋6×＋7×＝＝.19．解析：（1）连接o1e，由题易知ab⊥dd1，又ab⊥c1d1，dd1∩c1d1＝d1，所以ab⊥平面cdd1c1，因为oe⊂平面cdd1c1，故ab⊥oe.由d1e＝ed＝，且o1d1＝od＝，可得oe＝o1e＝，连接oo1，则oe2＋o1e2＝o1o2，即oe⊥o1e.,结合ab⊥oe，且ab∩o1e＝o1，∴oe⊥平面abe.（2）以o为坐标原点，oc，oo1所在直线分别为x，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知△ac1o1为等边三角形，因此a（，，2），又c（，0，0），o1（0，0，2），e（－，0，），所以＝（，，0），＝（－，，2），＝（，0，）.设平面cab的法向量为m＝（x，y，z），令x＝2，则y＝－2，z＝，所以m＝（2，－2，）.设平面eab的法向量为n＝（x1，y1，z1），令x1＝，则y1＝－1，z1＝－，所以n＝（，－1，－），则|cos〈m，n〉|＝＝＝，易知二面角cabe为锐二面角，因此二面角cabe的余弦值为.20．解析：（1）设m（x，y），则p（2x－3，2y），∵p在圆c上，∴（2x－3）2＋4y2＋2（2x－3）－8y＋1＝0，整理得：（x－1）2＋（y－1）2＝1，∴曲线γ的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1.（2）当l斜率不存在时，l：x＝2符合条件；当l斜率存在时，设直线l方程为y＝k（x－2）＋3，即kx－y－2k＋3＝0，因为直线l,与圆有且仅有一个交点，则直线l与圆相切，则＝1，解得k＝.∴满足条件的直线l存在，直线l的方程为：x＝2或y＝x＋.21．解析：（1）因为f（x）＝aex＋bcosx＋x2＋1，所以f′（x）＝aex－bsinx＋x，由题意得解得.（2）由（1）知f（x）＝ex－cosx＋x2＋1，g（x）＝ex＋sinx－2x.所以g′（x）＝ex＋cosx－2，令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝ex－sinx①当x<0时，由ex－2<－1，－1≤cosx≤1，得g′（x）＝ex＋cosx－2<0，所以g（x）在（－∞，0）上单调递减．②当x≥0时，由ex≥1，－1≤－sinx≤1，得h′（x）＝ex－sinx></k≤e－1－，故选d.13．答案：x－y＋1＝0解析：当x></t<1时，g′（t）></x<2，∴1<10－m<2，∴8<m<9.故选d.10．a></x<5}，b＝{x|－6<x<8}，∴a∩b＝{x|－6<x<5}．故选a.2．b></x<5}，b＝{x|－6<x<8}，则a∩b＝(>
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