统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点九球理（附解析）

热点(九)　球1．(正方体外接球)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为(　　)A．4πB．8πC．12πD．6π2．(四棱柱外接球体积)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)A．B．4πC．2πD．3．[2023·山西临汾摸底](三棱柱外接球)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝1，E为AB1上任意一点，BC1⊥CE，则三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为(　　)A．3πB．3πC．2πD．2π4．(球与三视图)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为(　　)A．B．4πC．3D．以上都不对5．(球体＋体积)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，现将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　) A．cm3B．cm3C．cm3D．cm36．(三视图＋球)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球的表面积为(　　)A．B．32πC．36πD．48π7．(圆锥＋外接球的表面积)已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为(　　)A．B．C．D．8．(三棱锥外接球＋最值)在三棱锥PABC中，AB＝2，AC⊥BC，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为(　　)A．5πB．C．D．9．[2023·广西南宁模拟](三棱锥＋球)在三棱锥ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝，BD＝2，二面角ABDC的平面角是钝角．若三棱锥ABCD的体积为2，则三棱锥ABCD的外接球的表面积是(　　)A．12πB．πC．13πD．π10.(三棱锥＋球)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为AB，A1B1的中点，则三棱锥FECD的外接球的体积为(　　)A．πB．πC．πD．π 11．(正方体内切球＋体积)设球O是正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球O的半径为(　　)A．B．3C．D．12．[2023·郑州市第二次质量预测](三棱锥外接球＋表面积)已知三棱锥PABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AB上一点，且AD＝5DB.过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为(　　)A．128πB．132πC．144πD．156π[答题区]题号123456789101112答案13.[2023·昆明市“三诊一模”教学质量检测](三棱台外接球＋表面积)由正三棱锥PABC截得的三棱台ABCA1B1C1的高为，AB＝6，A1B1＝3.若三棱台ABCA1B1C1的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为________．14．(三棱柱＋外接球＋内切球)已知底面边长为a的正三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点均在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，则球O1与球O2的半径之比为________，表面积之比为________．15．(四面体外接球＋半径)在四面体ABCD中，AD＝DB＝AC＝CB＝1，则当四面体的体积最大时，它的外接球半径R＝________．16．(三棱锥＋外接球＋最值)在三棱锥ABCD中，底面BCD是直角三角形且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥ABCD体积的最大值为________．热点（九）　球1．A　由正方体的体积为8，可知其棱长为2，且正方体的体对角线为其外接球的直径，所以其外接球的半径R＝＝，则外接球的体积V＝R3＝4π.故选A. 2．D　因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝＝1，所以V球＝×13＝，故选D.3．B　因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以CC1⊥AC.因为E为AB1上任意一点，BC1⊥CE，所以BC1⊥AC.又CC1∩BC1＝C1，所以AC⊥平面BB1C1C.又AC＝BC＝1，所以直三棱柱的底面为等腰直角三角形．又AA1＝1，故可构造一个正方体，即把直三棱柱ABCA1B1C1放入正方体中，则三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径R＝×＝，所以三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为4π×＝3π.故选B.4．A　由题意可知该几何体是轴截面为正三角形的圆锥，底面圆的直径为2，高为，∴外接球的半径r＝＝，∴外接球的表面积为4×π×＝π，故选A.5．A　设球半径为Rcm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面的距离为（R－2）cm，所以由42＋（R－2）2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝πR3＝π×53＝cm3，故选A.6．D　由三视图可知该四面体为PBCD，如图，将它补成棱长为4的正方体，则正方体的体对角线PC就是该四面体的外接球的直径，所以外接球的直径2R＝，所以R＝2，则该四面体的外接球的表面积为4πR2＝4×π×（2）2＝48π，故选D.7．B　设圆锥底面圆的半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，如图所示，所以r＝R，S球＝4πr2＝4π·＝R2，S圆锥＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球与圆锥的表面积之比＝ ＝，故选B.8．D　如图，由于AC⊥BC，所以Rt△ABC的外心O1是AB的中点，因此三棱锥PABC外接球的球心O在过O1且与底面ABC垂直的直线上，设AC＝b，BC＝a，三棱锥的高为h，则有·abh＝，所以abh＝4.设过点P且与底面ABC平行的平面为α，直线OO1与平面α交于点M，连接PM，设外接球半径为R，OO1＝x，连接OA，OP，求外接球表面积的最小值时，球心O应在底面ABC的上方，O1A＝O1B＝1，所以OA2＝OP2＝R2＝1＋x2＝（h－x）2＋PM2，因此x＝.要使R最小，应使x最小，因此PM应最小．当P与M重合时，PM＝0，此时x＝＝，易知y＝在（0，＋∞）上单调递增．由于abh＝4，所以h＝，因为a2＋b2＝4≥2ab，所以ab≤2，于是h＝≥2，因此x的最小值为＝，R2的最小值为＋1＝，所以外接球的表面积的最小值为4π·＝.故选D.9．C　如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.因为AB＝BC＝CD＝DA，所以AO⊥BD，CO⊥BD，所以∠AOC为二面角ABDC的平面角． 又AO∩CO＝O，所以BD⊥平面AOC.取AC的中点E，连接OE，设AC＝2a，在△AOC中，AO＝OC＝＝2，所以OE⊥AC，则OE＝，所以VABCD＝S△AOC·BD＝××AC×OE×BD＝×2a××2＝2，化简得a4－4a2＋3＝0，解得a＝或a＝1.当a＝1时，∠AOC＝60°，不合题意，所以a＝，AC＝2，如图所示，构造长方体BMDGHCFA，把三棱锥ABCD放在长方体中，使三棱锥ABCD的各条棱分别是长方体的面对角线，则三棱锥ABCD的外接球即为长方体BMDGHCFA的外接球．设BM＝x，BG＝y，BH＝z，则解得连接AM，所以三棱锥ABCD的外接球的直径为AM＝＝，所以三棱锥ABCD的外接球的表面积为S＝4π×＝13π.故选C.10．D　如图所示，连接FC1，FD1.三棱锥FECD的外接球为三棱柱FC1D1ECD的外接球．在三角形ECD中，取CD的中点H，连接EH，则EH垂直平分CD，所以△ECD的外心在EH上，设△ECD的外心为点M.同理可得△FC1D1的外心N.连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点，设为点O.连接CM，易得EM2＝CM2＝CH2＋MH2.又MH＝2－EM，CH＝1，所以EM＝CM＝， 连接OC，则OC2＝MO2＋CM2＝1＋，解得OC＝，即三棱锥FECD的外接球的半径R＝.所以三棱锥FECD的外接球的体积V＝πR3＝π＝π.故选D.11．B　如图，易知直线B1D过球心O，且B1D⊥平面ACD1，不妨设垂足为点M，正方体棱长为a，则球半径R＝，易知DM＝DB1，所以OM＝DB1＝a，所以截面圆半径r＝＝a，由截面圆面积S＝πr2＝6π，得r＝a＝，即a＝6，所以球O的半径R＝＝3，故选B.12．B　因为AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10，设平面ABC截球O所得的截面圆的圆心为O′，则O′为BC的中点，如图，连接O′A，O′D，则O′A＝O′B＝O′C＝BC＝5，连接OA，OD，OO′，则OO′⊥平面ABC，取AB的中点E，连接O′E，则O′E⊥AB且O′E＝4，又AD＝5BD，AB＝6，所以BD＝AB＝1，DE＝BE－BD＝AB－BD＝3－1＝2，在Rt△O′DE中，O′D＝＝2，设OO′＝x，则OD2＝O′D2＋OO′2＝20＋x2，设球O的半径为R，则R2＝OA2＝O′A2＋x2＝25＋x2，又与OD垂直的截面圆的半径r＝＝＝，所以所得截面圆面积的最小值为πr2＝5π，截面圆的面积的最大值为πR2，由题意可知πR2－πr2＝πR2－5π＝28π，解得R2＝33，所以球O的表面积S＝4πR2＝132π.故选B. 13．答案：60π解析：如图，易知三棱台的上、下底面均是正三角形，球心在三棱台上、下底面中心的连线段O1O2所在的直线上，因为AB＝6，A1B1＝3，所以AO1＝2，A1O2＝.在Rt△OAO1和Rt△OA1O2中，球的半径R＝OA＝，R＝OA1＝，验证知O在O2O1的延长线上，设OO1＝x，则OO2＝x＋，所以x2＋（2）2＝（x＋）2＋（）2，解得x＝，所以R＝OA＝＝，所以S球＝4πR2＝60π.14．答案：∶1　5∶1解析：设球O1、球O2的半径分别为R，r，由于正三棱柱的六个顶点均在同一个球面上，所以球心O1在上、下底面中心连线段的中点处，又球O2与正三棱柱的5个面都相切，所以点O2与O1重合．如图，取上、下底面的中心分别为F，E，BC的中点为D，EF的中点为O1，连接EF，AD，O1A，则E在AD上，O1A＝R，O1E＝r，在△O1EA中，AE＝×a＝a，O1E＝r＝×a＝a，由于O1A2＝O1E2＋AE2，所以R2＝a2，r2＝a2，则球O1与球O2的半径之比为∶1，所以球O1与球O2的表面积之比为＝＝＝5∶1.15．答案： 解析：当平面ADC与平面BCD垂直时，四面体ABCD的体积最大，因为AD＝AC＝1，所以可设等腰三角形ACD的底边CD＝2x，高为h，则x2＋h2＝1，此时四面体的体积V＝××2x×h2＝x（1－x2），则V′＝－x2，令V′＝0，得x＝，从而h＝，则CD＝AB＝，故可将四面体ABCD放入长、宽、高分别为a，b，c的长方体中，如图，则解得a2＝c2＝，b2＝，则长方体的体对角线即四面体ABCD的外接球直径，（2R）2＝a2＋b2＋c2＝，R＝.16．答案：解析：如图所示，过点C作CH⊥BD于点H.由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则AB＝4.因为AB为外接球的直径，所以∠BDA＝90°，∠BCA＝90°，即BD⊥AD，BC⊥CA.又BC⊥CD，CA∩CD＝C，所以BC⊥平面ACD，则BC⊥AD.又BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD，因为AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CH⊥平面ABD.设AD＝x（0<x<4），则BD＝.在△BCD中，因为BD边上的高CH＝1，所以V三棱锥ABCD＝V三棱锥CABD＝××x××1＝＝，当x2＝8时，V三棱锥ABCD有最大值，且三棱锥ABCD体积的最大值为.