统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点十四新定义新背景新情境理（附解析）

热点(十四)　新定义，新背景，新情境1．定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B＝(　　)A．{1，2，3，4，5}B．{2，3，4，5}C．{2，3，4}D．{1，3，4，5}2．在R上定义运算：xy＝x(1－y).若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．B．C．D．3．[2023·湖北省襄阳市高三联考]定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3则＝(　　)A．4×20152－1B．4×20142－1C．4×20132－1D．4×201324．科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体，称之为“扭曲棱柱”．对于空间中的凸多面体，数学家欧拉发现了它的顶点数、棱数与面数存在一定的数量关系(如下表).凸多面体顶点数棱数面数三棱柱695四棱柱8126五棱锥6106六棱锥7127根据上表所体现的数量关系可得，有12个顶点、8个面的扭曲棱柱的棱数是(　　)A．14B．16C．18D．205．定义一种运算：＝ad－bc.已知函数f(x)＝，为了得到函数y＝sinx的图象，只需要把函数y＝f(x)的图象上所有的点(　　)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向上平移个单位长度D．向下平移个单位长度 6．定义d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)A．a⊥bB．a⊥(a－b)C．b⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)7．[2023·山东日照第一次校际联考]对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得ak<ak－1，ak<ak＋1，则称ak是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”．在数列{an}中，若an＝|n＋－8|，则数列{an}的“谷值点”为(　　)A．2B．7C．2，7D．2，3，78．设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x1∈D，存在x2∈D，使得f(x1)＝－f(x2)成立，则称函数f(x)为“H函数”．下列为“H函数”的是(　　)A．f(x)＝sinxcosx＋cos2xB．f(x)＝lnx＋exC．f(x)＝2xD．f(x)＝x2－2x9．若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ伴随函数”．下列是关于“λ伴随函数”的结论：①f(x)＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f(x)＝x是“λ伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ伴随函数”；④“伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是(　　)A．1B．2C．3D．410．[2023·河北石家庄市高三一模]若f(x)图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f(x)的“友情点对”(点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”)若f(x)＝恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是(　　)A．B．C．(0，1)D．11．若函数f(x)满足：对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，均有f(x1)＋f(x2)>2f()，则称函数f(x)具有H性质．下列函数不具有H性质的是(　　)A．f(x)＝B．f(x)＝lnxC．f(x)＝x2(x≥0)D．f(x)＝tanx(0≤x<)[答题区] 题号1234567891011答案12.[2023·晋南联合体阶段检测]对任意两实数a，b，定义运算“*”：a*b＝，则函数f(x)＝sinx*cosx的值域为________．13．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝(m∈R且m≠0)为其定义域上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________．14．[2023·浙江省杭州高级中学期中]定义a⊗b＝，若x，y>0，则μ＝⊗的最小值为________．15.中国传统文化中的很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋)可以是某个圆的“优美函数”；③函数y＝1＋sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y＝2x＋1可以同时是无数个圆的“优美函数”；⑤函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．其中所有正确命题的序号是________．热点（十四）　新定义，新背景，新情境1．B　当x1＝1时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝2或3；当x1＝2时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝3或4；当x1＝3时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝4或5.∴A*B＝{2，3，4，5}．故选B.2．A　由题意知，（x－a）（x＋a）<1可化为x2－x－a2＋a＋1>0，则不等式x2－x－a2＋a＋1>0对任意的x∈R恒成立．令f（x）＝x2－x－a2＋a＋1＝0，则Δ＝1＋4a2－4a －4<0，即4a2－4a－3<0，解得－<a<.所以实数a的取值范围为.3．C　∵a1＝a2＝1，a3＝3，∴－＝2，∴是以1为首项，2为公差的等差数列，∴＝2n－1，∴＝·＝（2×2014－1）（2×2013－1）＝4027×4025＝（4026＋1）（4026－1）＝40262－1＝4×20132－1.故选C.4．C　由题中的表易知同一凸多面体顶点数、棱数与面数间的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2.所以有12个顶点、8个面的扭曲棱柱的棱数为12＋8－2＝18.故选C.5．A　由题设知，f（x）＝sinxcos－cosxsin＝sin，所以为了得到函数y＝sinx的图象，只需要把函数f（x）＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度．故选A.6．C　由题意知d（a，tb）≥d（a，b）⇔|a－tb|≥|a－b|，即（a－tb）2≥（a－b）2，又|b|＝1，所以展开整理得t2－2a·bt＋2a·b－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4（a·b）2－4（2a·b－1）≤0，即（a·b－1）2≤0，所以a·b＝1.于是，b·（a－b）＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥（a－b）.故选C.7．C　因为an＝，所以a1＝2，a2＝，a3＝2，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，a8＝.当n≥7，n∈N*时，n＋－8>0，所以an＝＝n＋－8，此时数列{an}递增，不存在“谷值”．因为a2<a1，a2<a3，a7<a6，a7<a8，所以数列{an}的“谷值点”为2，7.故选C.8．B　由题意知，“H函数”的值域关于原点对称．因为f（x）＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋＝sin＋， 所以函数f（x）的值域为，该函数的值域不关于原点对称，故选项A中的函数不是“H函数”；函数f（x）＝lnx＋ex在（0，＋∞）上单调递增，函数f（x）的值域为R，关于原点对称，故选项B中的函数是“H函数”；函数f（x）＝2x的值域为（0，＋∞），不关于原点对称，故选项C中的函数不是“H函数”；因为f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，所以该函数的值域为[－1，＋∞），不关于原点对称，故选项D中的函数不是“H函数”．综上，选B.9．B　由题意得，①正确，如f（x）＝c≠0，取λ＝－1，则f（x－1）－f（x）＝c－c＝0，即f（x）＝c≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f（x）＝x是一个“λ伴随函数”，则x＋λ＋λx＝x（1＋λ）＋λ＝0，对任意实数x成立，所以1＋λ＝λ＝0，而找不到λ使此式成立，所以f（x）＝x不是一个“λ伴随函数”；③不正确，若f（x）＝x2是一个“λ伴随函数”，则（x＋λ）2＋λx2＝（1＋λ）x2＋2λx＋λ2＝0对任意实数x成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而找不到λ使此式成立，所以f（x）＝x2不是一个“λ伴随函数”；④正确，若f（x）是“伴随函数”，则f＋f（x）＝0，取x＝0，则f＋f（0）＝0，若f（0），f任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0），f均不为0，则f（0），f异号，由零点存在性定理知，在区间内存在零点．因此①，④的结论正确．10．A　根据题意，若要求“友情点对”，可把x<0时的函数图象关于原点对称，研究对称过去的图象和x≥0时的图象有两交点即可，y＝ax2（x<0）关于原点对称的解析式为y＝－ax2（x>0），考查y＝的图象和y＝－ax2（x>0）的交点，可得＝－ax2，a＝－，令g（x）＝－g′（x）＝＝0，则x＝1，所以x∈（0，1），g′（x）<0，g（x）为减函数，x∈（1，＋∞），g′（x）>0，g（x）为增函数，g（1）＝－，其图象为 故若要a＝－有两解，只要－<a<0即可，故选A.11．B　若对定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），均有f（x1）＋f（x2）>2f，则点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））所连线段的中点在点的上方，作出示意图如图所示（其中a＝，b＝f）.根据函数f（x）＝，f（x）＝lnx，f（x）＝x2（x≥0），f（x）＝tanx（0≤x<）的图象可知，函数f（x）＝，f（x）＝x2（x≥0），f（x）＝tanx具有H性质，函数f（x）＝lnx不具有H性质，故选B.12．答案：[0，2]解析：由题知a*b＝2|a－b|，则f（x）＝sinx*cosx＝2|sinx－cosx|＝2|sin|∈[0，2].13．答案：∪解析：由函数f（x）为“倒戈函数”的定义可得：f（x）＝3在[2，＋∞）上有解．即log2（x2－2mx＋1）＝3在[2，＋∞）上有解，则x2－2mx＋1＝8在[2，＋∞）上有解，且x2－2mx＋1>0在[2，＋∞）上恒成立． 即2m＝x－在[2，＋∞）上有解，且2m<x＋在[2，＋∞）上恒成立，记g（x）＝x－，则g（x）在[2，＋∞）上单调递增，且g（2）＝2－＝－，所以g（x）∈，所以2m∈，即2m≥－，解得m≥－，又2m<x＋在[2，＋∞）上恒成立，则2m<＝2＋＝，解得m<.综上所述：实数m的取值范围是－≤m<且m≠0.14．答案：解析：令t＝，则＝4t＋t2，函数y＝4t＋t2在（0，＋∞）为增函数，＝＋，函数y＝＋在（0，＋∞）上为减函数，且y＝4t＋t2的图象与y＝＋的图象在t∈（0，＋∞）时有交点，故当4t＋t2＝＋时μ取得最小值，从而μ≥≥，当且仅当t＝时取等号．15．答案：①③④解析：①对于任意一个圆O，其对称轴有无数条，所以其“优美函数”有无数个，①正确；②函数f（x）＝ln（x2＋）的定义域为R，值域为[0，＋∞），其图象关于y轴对称，且在x轴及其上方，故不可以是某个圆的“优美函数”，②错误；③根据y＝sinx的图象可知函数y＝1＋sinx的图象可以将圆的周长和面积平分，又y＝1＋sinx的图象可以延伸，所以可以同时是无数个圆的“优美函数”，③正确；④函数y＝2x＋1的图象只要过圆心，就可以同时是无数个圆的“优美函数”，④正确；有些中心对称图形对应的函数不一定是圆的“优美函数”，比如“双曲线”，⑤错误．