统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点十直线与圆理（附解析）

热点(十)　直线与圆1．(点与圆的位置关系)已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则ax＋by＝r2与C的位置关系是(　　)A．相切B．相离C．内含D．相交2．(圆的切线)过点(3，1)的圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝03．(中点弦)若点P(1，1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为(　　)A．2x＋y－3＝0B．x＋2y－3＝0C．2x－y－1＝0D．x－2y＋1＝04．(圆的切线)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)A．y＝－B．y＝－C．y＝－D．y＝－5．[2023·山东大联考](点到直线的距离＋对称问题)已知圆C：x2＋y2＋4x－2y－4＝0关于直线l：x－2ay＋4＝0对称，则原点O到直线l的距离为(　　)A．B．1C．D．6．(对称问题)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为(　　)A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝4B．(x＋4)2＋(y－6)2＝4C．(x－4)2＋(y－6)2＝4D．(x＋6)2＋(y＋4)2＝47．(公共点问题)若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是(　　)A．[－3，＋∞)B．(－∞，－3]C．(0，＋∞)D．(－∞，＋∞)8．(弦长问题)已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦AB的长为(　　)A．2B．3C．4D．59．(对称问题)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)A．－或－B．－或－C．－或－D．－或－10．[2023·长春市高三质量监测(三)](圆与不等式的综合)已知直线l：ax＋2by＋4＝0被圆C：x2＋y2＝5截得的弦长为2，则ab的最大值为(　　) A．B．2C．D．111．(最值问题)已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值为(　　)A．B．4C．D．912．(点的存在性问题)在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2＋y2＝4，直线l的方程为y＝k(x＋2)，若在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1，则实数k的取值范围是(　　)A．B．C．D．[答题区]题号123456789101112答案13.(弦长公式)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．14．(点的存在性问题)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点(0，1)的距离为2，则实数a的取值范围是________．15．(距离最值问题)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．16．(最值＋求参数)已知P是直线l：kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB的面积的最小值为2，则k的值为________．热点（十）　直线与圆1．D　由已知得a2＋b2>r2，所以圆心到直线ax＋by＝r2的距离d＝<r，故直线ax＋by＝r2与C的位置关系是相交，故选D.2．B　由题意知点（3，1）在圆上，代入圆的方程可得r2＝5，圆的方程为（x－1）2＋y2＝5，则过点（3，1）的切线方程为（x－1）×（3－1）＋y×（1－0）＝5，即2x＋y－7＝0.故选B. 3．C　圆x2＋y2－6x＝0的标准方程为（x－3）2＋y2＝9，又因为点P（1，1）为圆x2＋y2－6x＝0的弦AB的中点，圆心与点P确定的直线的斜率为＝－，所以弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的直线方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.4．B　圆（x－1）2＋y2＝1的圆心为（1，0），半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选B.5．C　圆C的标准方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝9，则圆心C（－2，1），因为圆C关于直线l：x－2ay＋4＝0对称，所以圆心C（－2，1）在直线l上，则－2－2a＋4＝0，解得a＝1，即直线l的方程为x－2y＋4＝0，所以原点O到直线l的距离d＝＝，故选C.6．C　圆关于直线的对称图形仍然是圆，只不过圆心位置发生了变化，半径不变，因此只需求出圆心（－2，12）关于直线x－y＋8＝0的对称点．设对称的圆的圆心为（m，n），则，解得，所以所求圆的圆心为（4，6），故所求圆的方程为（x－4）2＋（y－6）2＝4，故选C.7．D　通解　由消去y并化简得（1＋k2）x2＋（2－2k）x－2＝0，判别式Δ＝（2－2k）2＋8（1＋k2）>0，所以直线与圆必有公共点，所以k的取值范围是（－∞，＋∞）.故选D.优解　直线kx－y＋1＝0过定点（0，1），由于02＋12＋2×0－4×1＋1＝－2<0，所以点（0，1）在圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0内，所以直线与圆必有公共点，所以k的取值范围是（－∞，＋∞）.故选D.8．A　将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0整理，得其标准方程为（x－3）2＋y2＝4，∴圆C的圆心坐标为（3，0），半径为2.∵线段AB的中点坐标为D（2，），∴|CD|＝＝，∴|AB|＝2＝2.9．D　点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直 线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得圆心到直线的距离d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故选D.10．D　圆心到直线的距离d＝，圆的半径为，由勾股定理可得（）2＝d2＋12，整理得a2＋4b2＝4，所以4＝a2＋4b2≥2＝4|ab|，当且仅当a2＝4b2＝2时等号成立，所以ab≤|ab|≤1，故选D.11．C　x2＋y2－2x－4y＝0化成标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝（）2，因为直线ax＋by－6＝0（a>0，b>0）被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，故直线ax＋by－6＝0（a>0，b>0）经过圆心（1，2），即a＋2b＝6.又6＝a＋2b≥2，即ab≤，当且仅当a＝2b＝3时取等号，故ab的最大值为，故选C.12．B　根据直线与圆的位置关系可知，若圆O：x2＋y2＝4上至少存在三点到直线l：y＝k（x＋2）的距离为1，则圆心（0，0）到直线kx－y＋2k＝0的距离d应满足d≤1，即≤1，解得k2≤，即－≤k≤.13．答案：2解析：由题意得，圆x2＋（y－2）2＝4的圆心为（0，2），半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝.设截得的弦长为l，则由＋（）2＝22，得l＝2.14．答案：∪解析：根据题意，C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0，即（x－a）2＋（y－a）2＝1，其圆心C（a，a），半径r＝1，以点（0，1）为圆心，半径为2的圆的方程为x2＋（y－1）2＝4，若圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点（0，1）的距离为2，则圆C与圆x2＋（y－1）2＝4有交点，则有2－1≤≤2＋1，变形可得：0≤a2－a≤4，解得≤a≤0或1≤a≤，即a的取值范围为∪.15．答案：3－5解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得 （x－4）2＋（y－2）2＝9，（x＋2）2＋（y＋1）2＝4.圆C1的圆心坐标是（4，2），半径长是3；圆C2的圆心坐标是（－2，－1），半径是2.圆心距d＝＝3.所以|PQ|的最小值是3－5.16．答案：3解析：圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝1，则圆心为C（1，－2），半径为1，则直线与圆相离，如图，S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC，而S△PAC＝|PA|·|CA|＝|PA|，S△PBC＝|PB|·|CB|＝|PB|，又|PA|＝|PB|＝，所以当|PC|取最小值时，|PA|＝|PB|取最小值，即S△PAC＝S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，四边形PACB面积的最小值为2，S△PAC＝S△PBC＝，所以|PA|＝2，则|CP|＝3，得＝3.因为k>0，所以k＝3.