统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点十一离心率理（附解析）

热点(十一)　离心率1．(椭圆离心率)若一个椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)A．B．C．D．2．(双曲线离心率)已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)A．B．C．或D．或3．(双曲线渐近线)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x4．(椭圆的离心率)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为(　　)A．－1B．C．D．＋15．[2023·江西省七校联考(一)](双曲线的离心率)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋y2－2x＋＝0相切，则双曲线C的离心率为(　　)A．B．C．D．6．(椭圆性质)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为(　　)A．2－B．－C．－1D．－7．(双曲线离心率的取值范围)已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，点O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)A．(1，]B．[，＋∞)C．D． 8．[2023·石家庄教学质量检测(一)](双曲线离心率)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2(O为坐标原点)的中点，则双曲线的离心率为(　　)A．B．C．D．9．[2023·大庆实验中学调研](椭圆离心率的取值范围)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆过右焦点F，若∠FAB＝α，α∈，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)A．B．C．(0，]D．[，1)10．[2023·昆明市“三诊一模”教学质量检测](椭圆离心率)已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若MF1＝3NF2，则椭圆E的离心率为(　　)A．B．C．D．11．[2023·福建龙岩调研](双曲线离心率的取值范围)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐标为，且满足|F2Q|>|F2A|，若双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|＋|PQ|<|F1F2|成立，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)A．(1,)B．C．(，)D．12．(综合运用)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作x轴的垂线l交两条渐近线于A，B两点，l与双曲线的一个交点为P.设O为坐标原点，若＝m＋n(m，n∈R)，且mn＝，则该双曲线的离心率为(　　)A．B．C．D．[答题区] 题号123456789101112答案13.(双曲线离心率)已知M为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支上一点，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，线段FA的垂直平分线过点M，∠MFA＝60°，则C的离心率为________．14．(椭圆离心率)已知点P(m，4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为________．15．[2023·长春市高三质量监测(三)](双曲线离心率)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且tan∠PF2O＝，则双曲线的离心率为________．16．(椭圆、双曲线离心率综合)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．热点（十一）　离心率1．B　由题意得2b＝a＋c，所以4（a2－c2）＝a2＋c2＋2ac，3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2得到3－2e－5e2＝0，因为0<e<1，所以e＝.故选B.2．C　由已知得m＝±6，当m＝6时，圆锥曲线是椭圆，a＝，b＝1，c＝，离心率e＝＝；当m＝－6时，圆锥曲线是双曲线，a＝1，b＝，c＝，离心率e＝＝，故选C.3．A　双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0. 又∵离心率＝＝，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.故选A.4．A　不妨设椭圆E的方程为＋＝1（a>b>0），如图所示，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝－1.故选A.5．C　不妨取双曲线C：－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，化圆x2＋y2－2x＋＝0的方程为标准方程，得（x－1）2＋y2＝，则圆心坐标为（1，0），半径为.由题意可得＝，即＝，即＝，所以c2＝5a2，所以双曲线C的离心率e＝＝，故选C.6．D　设|PF1|＝|PQ|＝m（m>0），则|PF2|＝2a－m，|QF2|＝2m－2a，|QF1|＝4a－2m.由题意知△PQF1为等腰直角三角形，所以|QF1|＝|PF1|，故m＝4a－2a.因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以（4a－2a）2＋[2a－（4a－2a）]2＝4c2，整理得4·＝36－24，即＝＝－，故选D.7．A　∵|F1F2|＝2|OP|，∴F1P⊥F2P.记|PF1|＝x，|PF2|＝y，则x2＋y2＝（2c）2＝4c2.又x－y＝2a，∴2xy＝4c2－4a2，∴（x＋y）2＝4c2＋4c2－4a2＝8c2－4a2，∴x＋y＝2.联立，解得∵tan∠PF2F1＝≥4，∴＋a≥4（－a），解得e2≤.又e>1，∴1<e≤.故选A. 8．B　不妨设点A在第一象限，OF2的中点为M，则M，由角平分线分线段成比例得，＝＝＝3，即|AF1|＝3|AF2|，由双曲线的定义得|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a．在△AF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos60°，即4c2＝9a2＋a2－2×3a×a×，即4c2＝7a2，所以e2＝，又e>1，所以e＝，故选B.9．B　设椭圆的另一个焦点为F′，连接AF′，BF，BF′，如图所示，则四边形AFBF′是矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c，|FA|＝2c·cosα，|FB|＝2c·sinα，由椭圆的定义可知，|FA|＋|AF′|＝|FA|＋|FB|＝2a，即2c·cosα＋2c·sinα＝2a.所以离心率e＝＝＝.因为α∈，所以＋α∈，sin∈，所以e∈.故选B.10．C　不妨设M（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），N（x，y），因为＝3，所以（－c，－b）＝3（c－x，－y），所以，代入椭圆方程得e2＋＝1，得e＝，故选C.11．C　将x＝c代入双曲线的方程可得y＝±b＝±，由|F2Q|>|F2A|，可得>，则3a2>2b2＝2（c2－a2）， 所以离心率e＝<.①又存在点P，使得|PF1|＋|PQ|<|F1F2|成立，所以由双曲线的定义可得存在点P，使得2a＋|PF2|＋|PQ|<c成立，即（2a＋|PF2|＋|PQ|）min<c.当F2，P，Q共线且P在第一象限时，|PF2|＋|PQ|取得最小值，最小值为|F2Q|＝a，所以c>2a＋a，所以e＝>.②由e>1及①②可得，e的取值范围是.故选C.12．C　如图所示，设双曲线的右焦点F的坐标为（c，0），易知A，B，P.由＝m＋n，得＝＋，所以m＋n＝1，mc－cn＝b.又mn＝，解得m＝，n＝，c＝3b.因为a＝＝＝2b，所以双曲线的离心率e＝＝＝.故选C.13．答案：4解析：如图所示，设双曲线C的左焦点为F1，连接MF1，由题意知|MF|＝a＋c，|MF1|＝3a＋c，在△MF1F中，由余弦定理得|MF1|2＝|F1F|2＋|MF|2－2|F1F||MF|cos60°，所以（3a ＋c）2＝（2c）2＋（a＋c）2－2×2c（a＋c）·，整理得4a2＋3ac－c2＝0，因为e＝，所以e2－3e－4＝0，因为e>1，所以e＝4.14．答案：解析：因为△PF1F2的内切圆的半径为，所以△PF1F2的面积S＝（|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|）r，其中r为△PF1F2的内切圆的半径，即S＝（a＋c）r＝（a＋c），又△PF1F2的面积S＝·|F1F2|·4＝4c，所以（a＋c）＝4c，所以e＝＝.15．答案：解析：由题意可知，焦点到渐近线的距离等于虚半轴长，在Rt△OPF2中，|PF2|＝b，|OF2|＝c，则|OP|＝a，又tan∠PF2O＝＝＝，所以e＝＝.16．答案：－1　2解析：方法一　如图，∵双曲线N的渐近线方程为y＝±，∴＝tan60°＝，∴双曲线N的离心率e1满足e＝1＋＝4，∴e1＝2.由得x2＝.设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.∴＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，∴3－－＝0，解得＝2－3.∴椭圆M的离心率e＝1－＝4－2.∴e2＝－1. 方法二　∵双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan60°＝，又c1＝＝2m，∴双曲线N的离心率为＝2.如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1，|EF|＝1，又△EFC为直角三角形，|EC|＝＝.又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋＝2a，a＝.∴椭圆M的离心率为＝＝－1.