统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练10解析几何文（附解析）

解析几何(10)1．[2023·内蒙古赤峰模拟预测(文)]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－，0)，且离心率e＝.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若点P(2，1)，直线l(不经过点P)与椭圆E相交于C，D两点，与x＝3交于点M，设直线PC，PD，PM的斜率分别为k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3.证明：直线l过定点，并求出该点的坐标．2．[2023·吉林长春模拟预测(文)]已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线被E所截得的弦长为16.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点C为抛物线上的任意一点，以C为圆心的圆过点F，且与直线y＝－相交于A、B两点，求|FA|·|FB|的取值范围． 3．[2023·吉林长春三模(文)]已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为A(－2，0)，B(2，0).(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1，0)的直线与椭圆C交于M、N(不与A、B重合)两点，直线AM与直线x＝4交于点Q，求证：B、N、Q三点共线．4．[2023·黑龙江哈尔滨三中模拟预测(文)]已知圆C1：(x＋)2＋y2＝1，圆C2：(x－)2＋y2＝49，动圆E与圆C1外切并且与圆C2内切．(1)求动圆圆心E的轨迹方程；(2)过点M(0，2)的直线与动圆圆心E的轨迹相交于A，B两点，在平面直角坐标系xOy中，是否存在与M不同的定点N，使得|NA|·|MB|＝|NB|·|MA|恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．[2023·贵州遵义三模(文)]已知F1，F2为双曲线C：－＝1的左右焦点，|F1F2|＝2，且该双曲线一条渐近线的斜率为，点M和N是双曲线上关于x轴对称的两个点，A1，A2为双曲线左、右顶点．(1)求该双曲线的标准方程；(2)设NA1和MA2交点为P，则△PF1F2的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．6．[2023·全国乙卷(文)]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 解析几何（10）1．解析：（1）由题设，＝，又a2＝b2＋c2，c＝，可得a2＝6，b2＝3，则椭圆E的方程为＋＝1.（2）证明：由题意，设直线CD为y＝kx＋s，C（x3，y3），D（x4，y4），则M（3，3k＋s），所以k1＝，k2＝，k3＝3k＋s－1.联立直线与椭圆有，整理得（1＋2k2）x2＋4ksx＋2s2－6＝0，由Δ>0得：s2<3＋6k2，x3＋x4＝－，x3x4＝.而k1＋k2＝＋＝＝＝，又k1＋k2＝2k3，则＝2（3k＋s－1），整理得（3k＋s）（2k＋s）＝0，当3k＋s＝0时，y＝kx＋s＝kx－3k，过定点（3，0），此时k2<1才满足题设，不符合；当2k＋s＝0时，y＝kx＋s＝kx－2k，过定点（2，0），符合．故直线l过定点（2，0）.2．解析：（1）由题意F（0，），直线l的方程为y＝x＋，联立，消去y整理得x2－2px－p2＝0.设直线l与抛物线E的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1＋x2＝2p，则y1＋y2＝（x1＋x2）＋p＝6p＋p＝7p，故直线l被抛物线E截得的线段长为y1＋y2＋p＝7p＋p＝8p＝16，得p＝2，∴抛物线E的方程为x2＝4y.（2）由（1）知，F（0，1），设C（x0，y0），则圆C的方程是（x－x0）2＋（y－y0）2＝（y0－1）2＋x.令y＝－，得x2－2x0x＋3y0－＝0. 又∵x＝4y0，∴Δ＝4x－12y0＋3＝x＋3>0恒成立．设A（x3，－），B（x4，－），则x3＋x4＝2x0，x3x4＝3y0－.∴|FA|·|FB|＝·＝＝＝＝3|y0＋1|.由y0≥0，则|FA|·|FB|∈[3，＋∞），∴|FA|·|FB|的取值范围是[3，＋∞）.3．解析：（1）由长轴的两个端点分别为A（－2，0），B（2，0），可得a＝2，由离心率为，可得＝，∴c＝，又a2＝b2＋c2，解得b＝1，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.（2）证明：由题可知直线l斜率不为零，故设l的方程为x＝my＋1，设M（x1，y1），N（x2，y2），由得，（m2＋4）y2＋2my－3＝0，则y1＋y2＝－，y1y2＝，所以2my1y2＝3（y1＋y2），∴kAM＝，直线AM的方程为y＝（x＋2），∴Q（4，），∴kNB＝＝，kBQ＝＝＝，∴kNB－kBQ＝－＝＝＝＝0，即kNB＝kBQ，∴N、B、Q三点共线．4．解析：（1）由题意，圆C1：（x＋）2＋y2＝1，圆C2：（x－）2＋y2＝49，可得圆心坐标分别为C1（－，0），C2（，0），半径分别为r＝1，R＝7，设动圆E的半径为r1，因为动圆E与圆C1外切并且与圆C2内切，可得，两式相加|EC1|＋|EC2|＝8>|C1C2|＝2， 根据椭圆的定义可得，动圆圆心E的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝2，即a＝4，c＝，则b＝＝9，所以动圆圆心E的轨迹方程为＋＝1.（2）由题意，设过点M（0，2）的直线l的方程为y＝kx＋2，当k＝0时，可得直线l的方程为y＝2，可得点A，B关于y轴对称，可得|MA|＝|MB|，要使得|NA|·|MB|＝|NB|·|MA|成立，即＝＝1成立，此时点N在y轴上，可设点N（0，m）且m≠2，当k≠0时，联立方程组，整理得（9＋16k2）x2＋64kx－80＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝，要使得|NA|·|MB|＝|NB|·|MA|成立，即＝成立，则只需使得y轴为∠ANM的平分线，只需kNA＋kNB＝0，即＋＝0，即x2（y1－m）＋x1（y2－m）＝0成立，所以x2（kx1＋2－m）＋x1（kx2＋2－m）＝0，即2kx1x2＋（2－m）（x1＋x2）＝0，则2k·＋（2－m）·＝0，整理得36－8m＝0，解得m＝，综上可得，存在与M不同的定点N（0，），使得|NA|·|MB|＝|NB|·|MA|恒成立．5．解析：（1）依题意得2c＝2，c＝，，解得a＝2，b＝，所以双曲线的标准方程为－＝1.（2）△PF1F2的面积不存在最大值，理由如下：设M（x0，y0），则N（x0，－y0）， 因为M在双曲线上，所以－＝1，A1（－2，0），A2（2，0），所以NA1所在直线的斜率为kNA1＝－（x0≠－2），直线NA1的方程为y＝－（x＋2），　①同理可求得直线MA2的方程为y＝（x－2），　②①×②得y2＝－（x＋2）（x－2），　③将－＝1代入③得y2＝－（x2－4），化简得＋＝1，令①＝②，化简得x0x＝4，经检验，当x＝±2时，上式也满足．故点P的轨迹为椭圆去掉上下两个顶点．因为|F1F2|＝2，当点P到x轴的距离最大时，三角形PF1F2的面积最大，因为x≠0，故三角形PF1F2的面积最大值不存在．6．解析：（1）因为点A（－2，0）在C上，所以＝1，得b2＝4.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，故椭圆C的方程为＋＝1.（2）由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k（x＋2），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得（4k2＋9）x2＋（16k2＋24k）x＋16k2＋48k＝0，则Δ＝（16k2＋24k）2－4（4k2＋9）（16k2＋48k）＝－36×48k>0，故x1＋x2＝－，x1x2＝.直线AP：y＝（x＋2）， 令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝，则yM＋yN＝2＝2＝2＝2＝2×＝6.所以MN的中点的纵坐标为＝3，所以MN的中点为定点（0，3）.