统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练7概率与统计文（附解析）

概率与统计(7)1．[2023·安徽省芜湖市模拟(文)]当顾客在超市排队结账时，“传统排队法”中顾客会选他们认为最短的队伍结账离开，某数学兴趣小组却认为最好的办法是如图1所示地排成一条长队，然后排头的人依次进入空闲的收银台结账，从而让所有的人都能快速离开，该兴趣小组称这种方法为“长队法”．为了检验他们的想法，该兴趣小组在相同条件下做了两种不同排队方法的实验．“传统排队法”的顾客等待平均时间为5分39秒，图2为“长队法”顾客等待时间柱状图．　(1)根据柱状图估算使用“长队法”的100名顾客平均等待时间，并说明选择哪种排队法更适合；(2)为进一步分析“长队法”的可行性，对使用“长队法”的顾客进行满意度问卷调查，发现等待时间为[8，10)的顾客中有5人满意，等待时间为[10，12]的顾客中仅有1人满意，在这6人中随机选2人发放安慰奖，求获得安慰奖的都是等待时间在[8，10)顾客的概率． 2．[2023·内蒙古呼和浩特二模(文)]我国是世界上严重缺水的国家，尤其是华北和西北地区．华北地区某巿政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(单位：吨)，若一位居民的月用水量不超过x的部分按第一阶梯平价收费，超出x的部分按议价收费．为此首先需要了解居民用水情况，通过抽样，获得了过去一年100位居民每人的月平均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有300万居民，估计全市居民中月平均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府确定的月用水量标准x＝2.9(吨)，根据频率分布直方图，估计该市居民每月按第一阶梯平价收费的人数所占的百分比，并说明理由． 3．[2023·山西太原三模(文)]在学业测试中，客观题难度的计算公式为Pi＝，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度Pi0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下题号12345实测答对人数161614148(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)定义统计量S＝[(P′1－P1)2＋(P′2－P2)2＋…＋(P′n－Pn)2]，其中P′i为第i题的实测难度，Pi为第i题的预估难度(i＝1，2，…，n).规定：若S<0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．试据此判断本次测试的难度预估是否合理． 4．[2023·内蒙古满洲里模拟预测(文)]随着数字化信息技术的发展，网络成了人们生活的必需品，它一方面给人们的生活带来了极大的便利，节约了资源和成本，另一方面青少年沉迷网络现象也引起了整个社会的关注和担忧，为了解当前大学生每天上网情况，某调查机构对某高校男生、女生各50名学生进行了调查，其中每天上网时间超过8小时的被称为“有网瘾”，否则被称为“无网瘾”，调查结果如下：有网瘾无网瘾合计女生10男生20合计100(1)将上面的2×2列联表补充完整，再判断是否有99.9%的把握认为“有网瘾”与性别有关，说明你的理由； (2)现从被调查的男生中按分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机选取2人参加座谈会，求这2个人恰有1人“有网瘾”的概率．参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：P(K2≥k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.8285．[2023·河南郑州三模(文)]新郑大枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑的特产，其以皮薄、肉厚、核小、味甜备受人们青睐，素有“新郑大枣甜似蜜”的盛赞，大枣根据颗粒、质地、色泽、甜度等评分指标打分，得分在区间[0，25]，(25，50]，(50，75]，(75，100]内分别被评定为四级大枣、三级大枣、二级大枣、一级大枣．某经销商从新郑市大枣种植户中收购一批大枣，共400袋(每袋2.5kg)，并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：(1)求a的值，并用样本估计，该经销商采购的这批大枣中，一级大枣和二级大枣的总量能否达到采购总量一半以上； (2)该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：方案1：将采购的400袋大枣不经检测，统一按每袋60元直接售出；方案2：将采购的400袋大枣逐袋检测分级，并将每袋大枣重新包装成5包(每包0.5kg)，检测分级所需费用和人工费共1600元，各等级大枣每包的售价和包装材料成本如下表所示：大枣等级四级三级二级一级售价(元/包)1113.61721.6包装材料成本(元/包)2234该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由．6．[2023·全国甲卷(文)]一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.132.6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.219.8　20.2　21.6　22.8　23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5(1)计算试验组的样本平均数；(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表<m≥m 对照组试验组(ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K2＝P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635概率与统计（7）1．解析：（1）＝6（分钟），因为使用“长队法”顾客的平均等待时间长于使用“传统排队法”的顾客平均等待时间，所以选择“传统排队法”更适合．（2）记事件A＝“获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）的顾客”，用1，2，3，4，5表示等待时间在[8，10）的满意顾客，用a表示等待时间在[10，12]的满意顾客，Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，a），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a），（3，4），（3，5），（3，a），（4，5），（4，a），（5，a）}，n（Ω）＝15，事件A包含的样本点为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），n（A）＝10，p（A）＝＝＝.2．解析：（1）由频率分布直方图可得：（0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04）×0.5＝1，解得a＝0.30.（2）由频率直方图可知，100位居民每人月平均用水量不低于3吨的频率为（0.12＋0.08＋0.04）×0.5＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市300万居民中月平均用水量不低于3吨的概率约为0.12，故人数为300×0.12＝36（万人），（3）前5组的频率之和为（0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52）×0.5＝0.73，在第6组中，（2.9－2.5）×0.30＝0.12. 所以，估计月平均用水量为2.9吨时，85%的居民每月用水按第一阶梯平价收费．3．解析：（1）因为第5题的实测难度为＝0.4所以估计这240名学生中第5题的实测答对人数为240×0.4＝96（人）.（2）根据题干中数据可得：P′1＝P′2＝＝0.8，P′3＝P′4＝＝0.7，P′5＝＝0.4，故S＝[（0.8－0.9）2＋（0.8－0.8）2＋（0.7－0.7）2＋（0.7－0.6）2＋（0.4－0.4）2]＝（0.01＋0.01）＝0.004<0.05.故本次测试的难度所估合理．4．解析：（1）根据题意，列联表如下：有网瘾无网瘾合计女生401050男生203050合计6040100K2＝≈16.667>10.828，所以有99.9%的把握认为“有网瘾”与性别有关．（2）依题意，在“有网瘾”的男生中抽取20×＝2（人），在“无网瘾”的男生中抽取30×＝3（人），记“有网瘾”的2名男生为A，B，“无网瘾”的3名男生为a，b，c，则从中取出2人的情况有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），共10种，其中，这2个人中恰有1人“有网瘾”的情况有：（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），共6种，所以这2个人中恰有1人“有网瘾”的概率P＝＝.5．解析：（1）∵（0.004＋0.012＋0.014＋a）×25＝1，∴a＝0.010. ∵（0.014＋0.010）×25＝0.6>0.5，∴估计经销商采购的这批大枣中，一级大枣和二级大枣的总量能够达到采购总量的一半以上．（2）若经销商采用方案1，则收入为400×60＝24000元．若经销商采用方案2，400袋大枣中四级大枣约400×0.004×25＝40袋，40×5＝200包，三级大枣约400×0.012×25＝120袋，120×5＝600包，二级大枣约400×0.014×25＝140袋，140×5＝700包，一级大枣约400×0.010×25＝100袋，100×5＝500包，400袋大枣共卖200×11＋600×13.6＋700×17＋500×21.6＝33060元，400袋大枣的包装袋成本为200×2＋600×2＋700×3＋500×4＝5700元，∴收入为33060－5700－1600＝25760元.∵25760>24000，且400袋大枣成本相同，∴该经销商采用方案2所得利润更大．6．解析：（1）试验组的样本平均数为×（7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5）＝19.8.（2）（ⅰ）将40个数据按照从小到大的顺序依次排列，得最中间的两个数据即第20个和第21个数据分别为23.2和23.6，则40只小白鼠体重的增加量的中位数m＝＝23.4.列联表如下：＜m≥m对照组614试验组146（ⅱ）K2＝＝＝6.4＞3.841.故有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．