人教九上数学教材习题课件-习题24.1

九（上）数学教材习题习题24.1人教版 求证：直径是圆中最长的弦.1.已知：如图，在⊙O中，AB为直径，CD为⊙O的任意一条非直径的弦.求证：AB＞CD.证明：连接OC，OD．在△OCD中，OC+OD＞CD，即AB＞CD. 如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB长50mm.求：（1）∠AOB的度数；2.解：∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA=OB=50mm．又∵AB=50mm，∴OA=OB=AB，即△AOB是等边三角形.∴∠AOB=60°. 如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB长50mm.求：（2）点O到AB的距离.2.C解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，则∠OCA=90°．由垂径定理得，AC=BC=AB=25mm，∴OC===25(mm)，即点O到AB的距离为25mm． 如图，⊙O中，，∠C=75°.求∠A的度数.3.解：∵，∴AB=AC．∴∠B=∠C=75°．∴∠A=180°–75°–75°=30°，即∠A的度数是30°. 如图，AD=BC，比较与的长度，并证明你的结论.4.解：，证明如下：∵AD=BC，∴．∴，即. 如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=50°，求∠ADC的度数.5.解：如图，连接OC.∵OA⊥BC，∴．∴∠AOC=∠AOB=50°．∴∠ADC=∠AOC=25°． 如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？6.解：第二个（即中间的）工件是合格的，因为90°的圆周角所对的弦是直径. 求证：圆内接平行四边形是矩形.7.已知：如图，四边形ABCD为⊙O内接平行四边形．求证：四边形ABCD为矩形．证明：∵□ABCD内接于⊙O，∴∠A=∠C，且∠A+∠C=180°．∴∠A=∠C=90°．∴□ABCD为矩形． 解：如图，连接OD，设⊙O的半径为rm．∵M为CD的中点，∴OM⊥CD．∵CD=4m，EM=6m，OD=OE=rm，∴MD=2m，OM=(6–r)m．如下页图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4m，EM=6m．求⊙O的半径．8. 在Rt△OMD中，OM2+MD2=OD2，即(6–r)2+22=r2，解得r=．∴⊙O的半径为m． 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC=BD．9.解：如图，过点O作OP⊥AB于点P．由垂径定理可知PA=PB，PC=PD，∴PA–PC=PB–PD，即AC=BD．P ⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．求AB和CD之间的距离．10.解：过点O作EF⊥AB，垂足为G，交⊙O于点E、F，交CD于点H．分两种情况讨论：（1）当AB、CD在点O的同侧时，如图①所示． ∵CD∥AB，EF⊥AB，∴EF⊥CD．由垂径定理得AG=AB=12cm，CH=CD=5cm.由勾股定理得OG===5(cm)，OH===12(cm)．∴HG=OH–OE=12–5=7(cm)． （2）当AB、CD在点O的异侧时，如图②所示．同（1）可得OG=5(cm)，OH=12(cm)．∴HG=OH+OE=12+5=17(cm)．综上可知，AB与CD之间的距离为7cm或17cm． 如图，AB，CD是⊙O的两条平行弦，MN是AB的垂直平分线．求证：MN垂直平分CD．11.证明：∵MN是AB的垂直平分线，∴MN过⊙O的圆心O，即MN是⊙O的直径.∵AB∥CD.∴MN⊥CD．∴MN平分CD．即MN垂直平分CD． 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心．AB=300m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=45m，求这段弯路的半径.12.解：∵OC⊥AB，AB=300m，∴AD=BD=AB=150m．∵OA=OC，CD=45m，∴OD=OC–CD=OA–45（m）． 在Rt△AOD中，AD2+OD2=OA2，即1502+(OA–45)2=OA2，解得OA=272.5m．答：这段弯路的半径是272.5m． 如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点，求证：四边形OACB是菱形．13.证明：连接OC．∵C是的中点，即=，∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°．又∵OA=OC=OB，∴△AOC与△BDC均为等边三角形．∴OA=AC=OC=OB=BC，∴四边形OACB是菱形． 如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．判断△ABC的形状，并证明你的结论．14.解：△ABC是等边三角形．证明如下：∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°．∴∠ACB=180°–∠ABC–∠BAC=60°．∴∠ABC=∠BAC=∠ACB．∴△ABC是等边三角形． 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？15.解：OM＜ON．理由如下：如图，连接OA，OC，则OA=OC．∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴CN=CD，AM=AB．又∵AB＞CD，∴AM＞CN，故AM2＞CN2． 在Rt△OAM和Rt△OCN中，OM2=OA2–AM2，ON2=OC2–CN2，∴OM2＜ON2．∴OM＜ON． 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为72km/h，居民楼受噪声影响的时间约为多少秒（结果保留小数点后一位）？16. 解：如图，过点A作AB⊥ON于点B．∵∠AOB=30°，AO=200m，∴AB=AO=100m＜200m．∴居民楼会受到噪声影响．在MN上找一个不同于O的点C，使AC=200m.则火车在铁路MN上沿ON方向行驶到点O处时，居民楼开始受到火车噪音的影响；行驶过点C处时，结束噪音的影响.BC BC由勾股定理，得OB==100(m)．∵AO=AC，AB⊥ON，∴BC=OB．∴OC=2OB=200(m)．200÷(72×1000÷3600)≈17.3（s）．答：居民楼受噪音影响的时间约为17.3s. 如图，一个海港在范围内是浅滩，为了使深水船只不进入浅滩，需要测量船所在的位置与两个灯塔的视角∠XPY，并把它与已知的危险角∠XZY（上任意一点Z与两个灯塔所成的角）相比较，航行中保持∠XPY＜∠XZY．你知道这样做的道理吗？17.解：同弧所对的圆外角小于相应地圆周角，因此只要航行中保持∠XPY＜∠XZY，就能保证点P在所在的圆外，也就保证了船只不进入浅滩．