上海市杨浦区上海理工大学附属中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

上海理工大学附属中学2021学年第二学期高一年级数学期末考试1.若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是___________【答案】相交或异面【解析】【分析】根据空间两直线的位置关系判断.【详解】如图所示：设，当时，c与b相交；当时，c与b异面；所以若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是相交或异面.故答案为：相交或异面2.若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位），则z＝___________.【答案】【解析】【详解】试题分析：直接化简出z，然后化简表达式为a+bi（a、b∈R）即可．解：由．故答案为1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题． 3.若角的终边落在第三象限内，且，则___________.【答案】【解析】【分析】首先利用诱导公式得到，再利用余弦二倍角公式求解即可.【详解】因为，所以.所以.故答案为：4.已知向量，，向量与垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：因为所以由向量与垂直得：考点：向量垂直坐标表示5.已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．【答案】【解析】【分析】先求得向量，的坐标，再根据数量投影的定义即可求得答案.【详解】，所以向量在方向上的数量投影为. 故答案为：.6.若是实系数方程的一个虚根，且，则_________．【答案】4【解析】【详解】设,则方程的另一个根为,且，由韦达定理直线所以7.的三个内角，，所对的边分别是，，，设，，若，则角________.【答案】【解析】【分析】先根据向量平行得到，再根据余弦定理，即可求出角．【详解】解：，，，，即，根据余弦定理，，的三个内角，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了向量平行的坐标运算和余弦定理，属于基础题．8.在正方体中，E，F分别是与的中点，则直线ED与所成的角的大小为______． 【答案】【解析】【分析】根据平行线的传递性，找到直线ED的平行线，确定为异面直线ED与所成的角（或其补角），再利用余弦定理求解即可.【详解】取中点G，连接，如图所示，∵E，G分别是与的中点，∴，，所以为平行四边形，∴，又∵，，∴为平行四边形，∴，，∴为异面直线ED与所成的角（或其补角），设是正方体棱长为2，则，，由余弦定理可得所以，故答案为：9.已知函数，其中x∈R，给出下面四个结论：①函数是最小正周期为的奇函数； ②函数的图象的一条对称轴是；③函数的图象的一个对称中心是；④函数的递增区间为(k∈Z)，则正确结论的序号为________.【答案】②③④【解析】详解】，，，所以函数的最小正周期为，函数不是奇函数．命题①错误；，函数图象的一条对称轴是．命题②正确；，函数图象的一个对称中心为．命题③正确；，，，∴函数的递增区间为．命题④正确．故其中正确的结论序号为②③④．【易错】本题考查了型函数的性质，考查了复合函数的单调性的求法，关键是对教材基础知识的记忆，是中档题．三角综合问题的解题思路面对正弦、余弦型曲线，正确地获得所需要的信息，这是一个数学基本能力；面对复杂函数的性质研究，应具有对复杂关系式化简的意识与能力，化简的目标要明确，即所谓合一思想．10.如图，定圆的半径为3，A，B为圆上的两点，且的最小值为2，则______． 【答案】【解析】【分析】结合图形，根据向量线性运算的法则分别讨论t＝0、t＞0、t＜0时的最小值情况，据此即可求出．【详解】当t＝0时，不满足题意；当t＞0时，设t＝，延长EA到F，使AF＝AE，则t＝，则，取AB中点为D，则CD⊥AB，则在Rt△CDF中，，此时无最小值不满足题意；当t＜0时，设t＝， 则，取AB中点为D，则CD⊥AB，由图可知，，∵的最小值为2，∴＝2，∴．故答案为：．11.已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：①若垂直于内的两条相交直线，则⊥；②若∥，则平行于内的所有直线；③若，且⊥，则⊥；④若，，则⊥；⑤若，且∥，则∥；其中正确命题的序号是__________________．（把你认为正确命题的序号都填上）【答案】①④【解析】【分析】利用线面平行和垂直以及面面平行和垂直的性质和判定定理对命题分别进行分析，从而得到正确命题．【详解】①由直线与平面垂直的判定定理知l⊥α，故①正确；②若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故②不正确；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α与β不一定垂直．故③不正确；④若l⊂β，l⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故④正确；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l或m与l异面，故⑤不正确．故答案为①④．【点睛】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12.如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点， 且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】由题可得，将化为，利用的范围可求解.【详解】等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，，则，，所以故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查数量积的取值范围，解题的关键是利用向量关系将化为，则容易求出.二、选择题：（每题3分）13.在中，若，则的形状是A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【答案】A【解析】【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到 ，即可得到答案.【详解】因为在中，满足，由正弦定理知，代入上式得，又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，所以为钝角三角形，故选A.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.给定空间中的直线l及平面a，条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的（）条件A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要【答案】C【解析】【详解】直线与平面a内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面a垂直，即充分性不成立.直线l与平面a垂直，则直线l与平面a内任意直线都垂直，所以直线l与平面a内无数条直线都垂直，必要性成立，选C.15.已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为.A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】，即点的纵坐标 为考点：复数几何意义16.给定方程：，给出下列4个结论：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且只有一个实数根；④若是方程的实数根，则.其中正确结论的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【详解】试题分析：作函数和的图像，显然是增函数，且当时，，而是周期函数，且，，因此与的图像有无数个交点，即方程有无数个实数解，②正确；当时，，方程无解，也不是方程的解，④正确；从图像上看，时，两图像有一个交点，即方程有一解，因此①错，③正确．故选C．考点：函数的的零点，方程的解．【名师点睛】本题考查函数图像的综合应用，考查数形结合思想．在解决方程的根的个数问题时，通常把方程根的个数与函数图像交点个数问题进行转化，转化时要注意简单化原则， 本题直接作函数图像几乎不可能，可把方程的解转化为函数和的图像的交点问题，通过作出函数图像，观察结论，得出图像交点变化规律．三、解答题：（8+10+10+12+12）17.在棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点为的中点．（1）求异面直线AP与所成的角的大小；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接，由可得异面直线AP与所成的角即为直线AP与所成的或其补角，由余弦定理可得答案；（2）连接交于点，利用线面垂直的判定定理可得平面，取的中点，由得平面，计算出可得答案.【小问1详解】 连接，在正方体中，，所以异面直线AP与所成的角即为直线AP与所成的或其补角，，，由余弦定理得，所以异面直线AP与所成的角的大小为.【小问2详解】连接交于点，在正方体中，，因为平面，平面，所以，且，所以平面，取的中点，连接，因为是的中点，所以，所以平面，且.点到平面的距离为.18.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．【答案】（1）；（2） 【解析】【分析】（1）利用降次公式化简，然后利用三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.（2）由求得，用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.【详解】（1）依题意，由得，令得.所以的单调递增区间.（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.由余弦定理得，，解得或.当时，，则为钝角，与已知三角形为锐角三角形矛盾.所以.所以三角形的面积为.【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.19.已知复数，，其中为虚数单位，.（1）当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求、的值.（2）求的值域.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由于、是方程的两个虚根，得出，求出的值，再根据根与系数的关系可求出、； （2）直接求出的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可.【详解】（1）已知复数，，、是方程的两个虚根，所以，即，所以，所以，，由韦达定理可得，；（2）【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：①利用和的最值直接求；②把形如的三角函数化为的形式求最值；③利用和的关系转换成二次函数求最值；④形如或转换成二次函数求最值.20.如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，ACBC,且AC=BC. (1)求证：AM平面EBC；(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小，(3)求二面角A-BE-C的大小.【答案】（1）见解析（2）30°（3）60°【解析】【分析】(1)以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,利用向量法能证明平面(2)求出平面EBC的法向量，利用线面角公式求解(3)求平面EAB的法向量，根据向量法求出二面角A-BE-C的大小.【详解】（1）如图所示：建立空间直角坐标系A-xy，设，则所以∴，，∴，∴平面.（2）∵平面，∴为平面的一个法向量，∵，∴，∴，∴直线与平面所成的角的大小为30°.（3）面的法向量为，面的法向量为，∴故二面角的大小为60°【点睛】本题主要考查了向量法证明线面垂直，向量法求线面角，二面角，属于中档题. 21.在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足，（其中表示正整数）的点称为函数的“正格点”．（1）写出当时，函数，图像上所有正格点的坐标；（2）若函数，，与函数的图像有正格点交点，求的值，并写出两个图像所有交点个数，需说明理由．（3）对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2），4；（3）．【解析】【分析】(1)由，得，即可求相应正格点的坐标；(2)作出两个函数图像，根据图像可得正格点交点只有一个点为，从而有，求得，得出交点的个数；(3)结合(2)的图像，分类讨论的情况.【小问1详解】解因，所以，所以函数的正格点为，…，，…【小问2详解】作出两个函数图像．如图， 可知函数，与函数的图像只有一个“正格点”交点．∴，又可得．根据图像可知，两个函数图像的所有交点个数为4个．小问3详解】由（2）知，所以，所以，故；当时，不等式不能恒成立；当时，由下图可知，由，解得.