上海市浦东中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

上海市浦东中学2021-2022学年高一下期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分，本大题共有12题）1.是虚数单位，复数_______．【答案】【解析】【分析】根据复数除法的运算公式进行求解即可.【详解】，故答案：2.已知扇形的圆心角大小为，半径为2，则扇形的弧长为___________.【答案】【解析】【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可．【详解】故答案为：3.已知向量，，且，则_____．【答案】【解析】【分析】根据向量垂直与坐标间关系计算即可.【详解】因为，所以，解得故答案为：4.已知复数满足，则_____．【答案】3 【解析】【分析】设复数，根据复数的乘方以及复数相等的概念，可得方程组，求得，根据复数模的计算可得答案.【详解】设复数，由可得，故，即得或，故或，故或，即，故答案为：35.命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题）【答案】假命题【解析】【分析】根据向量和，两种情况进行判定，即可求解.【详解】当向量时，若，可得；当向量时，若，则与不一定共线，所以命题为假命题.故答案为：假命题6.已知向量的夹角为，，，则______．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积定义以及向量模的定义即可求出结果. 【详解】解：因为向量的夹角为，，，所以，因此，，故答案为：.7.已知，方向上的单位向量为，则向量在方向上的投影向量为_____．【答案】【解析】【分析】根据投影向量的定义求解即可得解.【详解】由已知得，故在上的投影向量为.故答案为：8.若关于的实系数一元二次方程的一个根为（为虚数单位），则_____．【答案】【解析】【分析】根据根与系数关系求得，从而求得.【详解】依题意可知：关于的实系数一元二次方程的两个根为，所以，，所以，即，所以. 故答案为：9.在中，若，则的长为_____．【答案】【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理可得：，即，所以，即故答案为：.10.已知，，点是线段的一个三等分点且靠近点，则点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】设，根据即可求出P的坐标.【详解】由题可知，设，则，，，∴，即故答案为：.11.函数（）的部分图象如图所示，若将图象上 的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则函数__．【答案】【解析】【分析】根据函数图象求得和最小正周期，继而求得，利用点带入解析式求得，即得函数解析式，根据三角函数图象的平移变换可得答案.【详解】由函数图象可知，，将代入函数解析式得，则，由于，所以，即，将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则，故答案为：12.下列说法中正确的个数是__．（1）；（2）若一个复数是纯虚数，则其实部不存在；（3）虚轴上的点表示的数都是纯虚数；（4）设（为虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模长为2；（5）若，则对应的点在复平面内的第四象限．【答案】1 【解析】【分析】(1)利用虚数不能比较大小，可判断正误；(2)由纯虚数实部为0可判断正误；(3)利用虚轴上的点表示的数除原点外都是纯虚数，可判断正误；(4)化简复数，求其模，再可判断正误；（5）化简复数，再判断对应的点在复平面内的象限.【详解】当复数不是实数时，不能比较大小，与为虚数，不能比较大小，故(1)错误；若一个复数是纯虚数，则其实部为0，并非不存在，故(2)错误；虚轴上的点表示的数并非都是纯虚数，虚轴上原点表示的数是实数，故(3)错误；，复数，在复平面内对应的向量的模长为2，故（4）正确；若，则在复平面内对应的点为（1,1），在复平面内的第一象限．故（5）错误．正确的只有1个.故答案为：1．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.“复数为纯虚数”是“”的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】根据纯虚数的概念分析可知.【详解】由纯虚数的概念可知，若复数为纯虚数，则且，故“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：B14.若则所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式可得，；根据各象限内三角函数的符号可确定角所处的象限.【详解】由知：，在第三象限故选：【点睛】本题考查三角函数在各象限内的符号，属于基础题.15.在中，已知为上的一点，且满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；【详解】因为，所以,所以.故选：C.16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）．A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】 【分析】可根据图象得出，然后将转化为，最后根据棱长为及即可得出结果.【详解】由图象可知，，则，因为棱长为，，所以，，即的不同值的个数为，故选：A三、解答题（本大题共5题，满分52分）17.平面内给定两个向量.（1）求；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量线性运算法则与模的计算公式即可求解；（2）根据平面向量共线的坐标运算即可.【小问1详解】解：因为，所以.【小问2详解】解：因为，所以，若，则，解得：. 18.已知复数.（1）若是纯虚数，求的值；（2）若是方程的一个根，求的实部.【答案】（1）；（2）8【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值；（2）求出方程的虚根，根据复数相等可求得实数的值，可得出复数，即可求得复数的实部.【小问1详解】解：由已知可得，解得.【小问2详解】解：由可得，解得，若，可得，解得；若，可得，无实数解.综上所述，，则，所以，复数的实部为.19.已知复数，存在实数，使成立.（1）求证：；（2）求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)根据复数相等充要条件即可求解；(2)根据复数的模长公式结合二次函数性质求解. 【小问1详解】因为,所以,消去得.【小问2详解】由得，所以.故的取值范围为20.设，是两个不共线的非零向量，.（1）记，那么当实数为何值时，三点共线；（2）若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小?【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由三点共线，则满足，建立关于的方程即可解决.(2)由题设条件，可以把表示为关于的函数，根据函数求出取得最小值时的的值.【小问1详解】，，因三点共线，所以，所以，， 则解得.【小问2详解】因为且与夹角为°，所以所以当时，的值最小.21.已知，，（，）.（1）求关于的表达式，并求的最小正周期；（2）若当时，求的单调递增区间；（3）若当时，最小值为7，求的值.【答案】（1）；（2）和，.（3）【解析】【分析】(1)首先化简函数，根据公式求周期；(2)由（1）可知，令，解之，结合即可求解；(3)根据（1）可知先求的范围，求出函数的最小值，进而求出结果.【小问1详解】因为，，所以，所以函数的最小正周期,【小问2详解】由（1）知：， 令，解得：，又因为，所以和，，得到：和，，所以函数在区间的单调增区间为和，.【小问3详解】当时，，所以，所以，因为函数的最小值为7，所以，则，所以的值为.