上海市陆行中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

上海市陆行中学2021-2022学年高一下期末数学试卷一､填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.函数的最小正周期为___________.【答案】【解析】【分析】先由二倍角公式将化简，再由，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以函数的最小正周期为.故答案为【点睛】本题主要考查函数的周期，二倍角的余弦公式.2.已知角的终边经过点，则的值为__________．【答案】【解析】【详解】按三角函数的定义，有.3.设复数，，在复平面的对应的向量分别为､，则向量对应的复数所对应的点的坐标为___________.【答案】【解析】【分析】根据向量运算求得正确答案.【详解】依题意，复数，，在复平面的对应的向量分别为､，所以，所以，所以向量对应的复数所对应的点的坐标为.故答案为： 4.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的关系是___________.【答案】垂直【解析】【分析】结合线面垂直的有关知识确定正确答案.【详解】依题意，空间中的，若，由于平面，所以平面，由于平面，所以.故答案为：垂直5.___________.【答案】100【解析】【分析】根据复数的乘法，除法运算法则结合复数的模的公式计算即可.【详解】，，，所以，所以，所以，故答案为：100.6.已知空间四边形两条对角线相等，则顺次连结它的各边中点所成的四边形是___________.【答案】菱形 【解析】【分析】根据中位线的性质求得正确答案.【详解】如图所示，四边形的对角线，分别是的中点，根据三角形中位线的知识可知，所以，所以四边形是菱形.故答案为：菱形7.的三边长分别为,则的值为____．【答案】【解析】【分析】运用余弦定理，求得cosB，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值．【详解】由于，则，则故答案为．【点睛】本题考查向量的数量积的定义，注意夹角的大小，考查余弦定理及运用，属于基础题和易错题．8.已知，且、（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值为________【答案】1【解析】【分析】根据实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数及根与系数的关系，即可求解.【详解】因为、（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根， 所以，且满足，解得，所以，故答案为：1【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，根与系数的关系，属于中档题.9.若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________.【答案】【解析】【分析】根据数量投影的知识求得正确答案.【详解】向量在向量的方向上的数量投影为.故答案为：10.函数的单调递增区间是___________.【答案】【解析】【分析】利用整体代入法求得函数的单调递增区间.【详解】由，解得，所以函数的单调递增区间是.故答案为： 11.如图，已知长方体，，则异面直线所成的角是______．【答案】【解析】【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.【详解】如图，将平移到，则就是异面直线所成的角，，，所以，故答案为.【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象力、运算能力和推理能力，属于基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 12.若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】在同一坐标系内画出与的图像，利用数形结合去求的取值范围【详解】则单调递增区间为，，单调递减区间为，，又，又函数图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是故答案为：二､选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.设，“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：当时，为纯虚数，故充分；当复数为纯虚数时， ，解得或，故不必要，故选：A14.如果直线l是平面α的斜线，那么平面α内（）A.不存在与l平行的直线.B.不存在与l垂直的直线.C.与l垂直的直线只有一条.D.与l平行的直线有无数条.【答案】A【解析】【分析】利用反证法可以证明出正确；利用线面垂直的判定定理和线面垂直的定义可得B不正确；由B可知，C不正确；由A可知，D不正确，进而得出选项．【详解】对于A，不存在与平行的直线，可用反证法证明：设，假设内存在与平行的直线，则不过点，在内过点作，则，得出矛盾，故假设不成立，因此正确；对于B，如图，在平面内存在无数条与垂直的直线．证明如下：设，在取异于点的，过，垂足为，则，在内作，由线面垂直的判定定理和定义可得，则在所有与平行的直线都与垂直，即在平面内存在无数条与垂直的直线．因此B不正确；对于C，由B可知：在平面内存在无数条与垂直直线．因此C不正确；对于D，由A可知：不存在与平行的直线，因此D不正确．综上可知：只有A正确．故选：A．【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面垂直的方法主要有： 1.线面垂直的判定定理，直线与平面内的两条相交直线垂直；2.面面垂直的性质定理，若两平面互相垂直，则在一个平面内垂直于交线的垂直于另一个平面；3.线面垂直的性质定理，两条平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直；4.面面平行的性质定理，直线垂直于两平行平面之一，必然垂直于另一个平面．15.已知向量，如果向量与垂直，则（）A.B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.详解】，若向量与垂直，则，解得.故选：D16.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数图像平移规则即可求得平移后所得图象的函数解析式【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到再将向上平移1个单位， 得到，即故选：C三､解答题（本大题满分52分，本大题共有6题）17.已知复数满足，求复数.【答案】【解析】【分析】设，根据已知条件列方程，求得，进而求得.【详解】设，所以，代入方程得，由复数相等的条件得，解得，所以.18.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最小值及取到最小值时的值.【答案】（1）（2）时，【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简函数，从而求得函数的最小正周期.（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.【小问1详解】，所以函数的最小正周期；【小问2详解】 当，即时，.19.已知向量､的夹角为，且，设，.（1）求；（2）试用来表示的值；（3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用向量数量积运算求得正确答案.（2）利用向量数量积运算求得正确答案.（3）根据与的夹角为钝角列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】.【小问2详解】.【小问3详解】由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.其中，而，于是实数的取值范围是.20.已知函数，其中的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.（1）求周期；（2）当时，求的值域. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题得即得解；（2）首先求出，再利用不等式的性质和三角函数的图象和性质得解.【小问1详解】解：由轴上相邻两个交点间距离为，得，即，函数的周期为.【小问2详解】解：由函数图象的最低点为，得，由得.又点在图象上，得，即，故，，所以，，又，所以，所以.又，所以，所以.所以的值域为.21.某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？【答案】15千米【解析】 【分析】结合余弦定理、正弦定理求得正确答案.【详解】在中，，，，由余弦定理得，所以.在中，，，.由正弦定理得（千米）.所以这艘渔船到达港口还需行驶15千米.22.如图，底面是一个直角梯形，，，，，底面，与底面成角.，垂足为.（1）求证：；（2）求到平面的距离；（3）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数值表示）.【答案】（1）证明见解析 （2）（3）【解析】【分析】（1）通过证明面来证得.（2）判断出平面，解直角三角形求得，也即求得到平面的距离.（3）利用向量法求得异面直线与所成角.【小问1详解】由于底面，平面，所以，由于，即，所以两两相互垂直.因为面，与底面成角，所以，不妨设，所以，，则,以为原点，､､所在直线分别为轴，轴，轴建立直角坐标系，则，，，所以，所以，即，又因为，平面，所以面，又因为面，所以.【小问2详解】因为，，，平面，所以平面，所以到平面的距离即为，， 所以到平面的距离为.【小问3详解】不妨设，利用（1）的条件，过作，垂足为，则，且，所以，所以，于是，又，设直线与所成角为，则，所以与所成角的余弦值为，所以异面直线与所成角的大小为.