上海市虹口高级中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

高一第二学期数学线上教学质量监控测试2022年6月一､填空题：（4*10=40分）1.设复数满足，其中是虚数单位，则___________．【答案】－3【解析】【分析】利用复数除法运算化简复数，即可求解.【详解】由可得：，所以，故答案为：.2.已知向量，，若存在实数，使得，则___________.【答案】【解析】【分析】由于，所以，从而列方程可得的值.【详解】因为，则，所以，得.故答案为：.3.已知，则向量在向量方向上的数量投影为___________.【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积转化求解向量，在方向上的数量投影即可．【详解】解：设向量与的夹角是，则向量在方向上的数量投影为：．故答案为：4.将边长为2的正方形水平放置，得到的直观图的面积为___________.【答案】 【解析】【分析】画出直观图，根据直观图可得答案.【详解】以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，如图所示，则边长为2的正方形的直观图为，做于，所以，可得，，所以的面积为.故答案为：.5.已知复数，若复数z满足，则复数z的辐角主值为___________.【答案】##【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数，再化为三角形式，即可得出答案.【详解】解：因为，，所以，所以复数z的辐角主值为.故答案为：. 6.已知复数z满足：（为虚数单位），则___________.【答案】【解析】【分析】根据复数代数形式的乘除运算及共轭复数定义求出，再根据复数模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，所以，所以故答案为：7.边长为的等边三角形中，设，则___________.【答案】##-4.5【解析】【分析】利用平面向量的数量积的定义求解.【详解】解：在边长为的等边三角形中，因为，所以，，，故答案：8.已知一元二次方程的两个虚根分别为，且满足，则实数p的值为___________.【答案】2或-2.【解析】【分析】可设，利用根与系数的关系可解得：，.即可求出p.【详解】因为一元二次方程的两个虚根为共轭虚根， 所以可设（其中）.所以由根与系数的关系可得.而，解得：，所以当时，；当时，.故实数p的值为2或-2.故答案为：2或-2.9.已知向量的夹角为，，若对一切恒成立，则的值为___________.【答案】##25【解析】【分析】由平面向量数量积的运算性质，可整理不等式为关于t的一元二次不等式，再由一元二次不等式恒成立，得到关于的不等式，利用不等式的性质，从而确定的值.【详解】解：，平方得：又代入上式，整理得：对一切恒成立可得：，即又恒成立，所以得.故答案为：.10.在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足 ，则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题.【详解】解：因为复数对应的点为且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上又，所以为圆的直径，即关于原点对称所以因为所以又，，则所以即的最大值为，所以的最大值为.故答案为：.二､选择题：（5*420分）11.设，则是为纯虚数的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据共轭复数的特征，复数的概念，以及充分条件与必要条件的判断方法，即可得出结果.【详解】对于复数，若，则不一定为纯虚数，可以为；反之，若为纯虚数，则，所以是为纯虚数的必要非充分条件.故选：B.12.在中，若，则的形状一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角形.故选：B13.下列命题中①空间中三个点可以确定一个平面.②直线和直线外的一点，可以确定一个平面.③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合.真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A 【解析】【分析】根据空间位置关系可直接判断各命题.【详解】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误；命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误；命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误；命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误；故选：A.14.设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（）A.为函数的一个对称中心B.的图像关于直线对称C.在上为严格减函数D.函数的最小正周期为【答案】D【解析】【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．【详解】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值，所以，则，所以，整理得，对于，，则不是函数的对称中心，故错误； 对于，，则不是函数的对称中轴，故错误；对于，令，，解得，，，显然不包含区间，故错误；对于，，所以的最小正周期为，故正确．故选：D．15.欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（）A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对【答案】A【解析】【分析】对①，通过欧拉公式，，算出即可；对②，先将欧拉公式逆用，将原式化简为，再通过指数运算性质化简，最后再用欧拉公式展开，最后算出即可.【详解】对①，由题意，，正确；对②，原式===，正确.故选：A.三､解答题（6+8+8+8+10=40分）16.已知向量满足：，且. （1）求向量与向量的夹角；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由展开，可解出，根据向量夹角公式即可求出夹角的大小；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出的值．【小问1详解】∵∴∵，且，∴．【小问2详解】∵∴，即∴．17.已知复数，（，是虚数单位）．（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值．【答案】（1）；（2）13.【解析】【分析】（1）由复数的减法求，根据其所在的象限可得，即可求的 范围；（2）由是实系数一元二次方程的根，则也是它的根，进而可知，即可求.【详解】（1）．∵在复平面内对应的点落在第一象限，∴，解得：．∴实数取值范围是；（2）∵虚数是实系数一元二次方程的根，．∴也是实系数一元二次方程的根，∴，可得.∴的值为13.18.已知，，，，记函数，若函数的图象相邻两条对称轴之间距离为.（1）求函数单调递增区间；（2）设的三个内角、、对应三边、、，满足，且，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，求出函数的最小正周期，可求得的值，可得出函数的解析式，然后利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间；（2）由结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用平面向量数量积的定义可求得的最大值.【小问1详解】解：因为，由题意可知，函数的最小正周期为，可得，，由，解得，因此，函数的单调递增区间为.【小问2详解】解：因为，可得，，则，，可得，由余弦定理可得，即，当且仅当时，等号成立，故，因此，的最大值为.19.已知向量，在复平面坐标系中，i为虚数单位.复数对应的点为，（1）求； （2）若点Z为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z与之间距离的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数量积公式，化简计算，可得m，根据复数的除法运算，可得，代入求模公式，即可得答案.（2）由（1）可得，代入可得曲线可得，根据其几何意义，可得曲线是复平面内以圆心，半径为的圆，根据点与圆的位置关系，即可得答案.【小问1详解】所以．所以．所以【小问2详解】由（1）可得，，曲线，即，因此曲线是复平面内以圆心，半径为的圆，故与之间的距离为所以与之间的最小距离为，最大距离为，故Z与之间距离的取值范围20.如图，已知正方形的边长为2，过中心O的直线l与两边分别交于交于点M、N． （1）求的值；（2）若Q是的中点，求的取值范围；（3）若P的平面上一点，且满足，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）将向量分解为，利用向量垂直和数量积的运算即可求解；（2）由O为中点可得，再由和的范围计算即可；（3）令，由向量共线的判断可得点T在BC上，即可得的范围，再由结合的范围计算即可．【详解】解：（1）由正方形可得所以；（2）因为直线l过中心O且与两边分别交于交于点．所以O为中点，所以所以．因为Q是BC的中点，所以， 所以，即的取值范围为； （3）令，由知点T在BC上，又因为O为中点，所以，从而，因为，所以，即的最小值为【点睛】本题考查了向量的几何应用，向量的数量积，向量的基本运算，向量的模及向量共线的判定与证明，向量的几何运用．