上海市曹杨中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

上海市曹杨中学2021-2022学年高一下期末考试数学试卷一、填空题（本大题共有14小题，满分60分）1.现有8个数据：、、、、、、、，它们的中位数是______．【答案】12【解析】【分析】数据从小到大排列，确定这8个数的中间的两个数，求其平均数即得答案.【详解】由题意可得数据：、、、、、、、从小到大排列，中间两个数为、，故这8个数据的中位数为，故答案为：12.2.在中，，则的外接圆半径为______．【答案】1【解析】【分析】由图，结合初中几何知识可得答案.【详解】如图，设外接圆圆心为O，半径为r..延长BO交外接圆于，连接.则故，得.故答案为：. 3.已知，则的值为______．【答案】##0.8【解析】【分析】利用诱导公式化简即可.【详解】因为，所以，故答案为：.4.是虚数单位，若复数满足，则______．【答案】【解析】【分析】由复数，通过复数的除法运算，计算.【详解】因为，所以，即，.故答案为：.5.已知、两人同时射击目标（、是否射中之间相互独立），已知射中的概率为，射中的概率为，则至少有一人击中目标的概率是______．【答案】0.98【解析】【分析】由事件独立性及概率乘法公式知目标不被击中的概率是，从而求至少有一人击中目标的概率.【详解】射中的概率为，射中的概率为，两人是否命中目标相互独立，现在两人同时射击目标，至少有一人击中目标的对立事件是两人都没有击中目标，则至少有一人击中目标的概率是. 故答案为：0.986.方程在区间上的所有解的和为_____．【答案】【解析】【分析】将方程的解转化为两个函数图象的交点问题，利用函数的对称性，即可求解.【详解】如图，画出函数和的图象，方程在区间的解转化为两个函数图象的交点的横坐标，两个函数都关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点对称，.故答案为：7.已知坐标原点，且，若三点共线，则实数_____．【答案】##0.8【解析】【分析】将三点共线，转化为，再利用向量平行的坐标表示，即可求解.【详解】因为三点共线，所以，，，所以，解得：. 故答案为：8.若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据向量的夹角列式，从而求得的取值范围.【详解】依题意，向量与的夹角为钝角，所以，解得且，所以的取值范围是.故答案为：9.已知向量，则在方向上的投影向量是_____．【答案】【解析】【分析】结合投影向量的公式直接计算即可.【详解】在方向上的投影向量是.故答案为：10.已知向量与的夹角为，记且，则_____．【答案】【解析】【分析】由垂直可得，求出，进而，利用向量模长公式求得，再利用数量积定义求得夹角即可.【详解】且，，即 又向量与的夹角为，，解得，，，又，所以故答案为：11.设个数据的平均数为，方差为，则下列等式成立的是_____（写出所有成立的序号）．①；②；③；④【答案】①②④【解析】【分析】根据平均数公式，可判断①、②项；根据方差公式可判断③、④.【详解】因为，，所以有，①正确；由①知，，②正确；因为，，所以，③不正确；因为，，所以，④正确.故答案为：①②④.12.对于任意的复数，下列说法正确的是______（写出所有正确的序号）．①若，则； ②；③；④若，则是纯虚数；⑤若是某个实系数一元二次方程的两个虚根，则【答案】③⑤【解析】【分析】根据复数的几何意义，四则运算，特殊值检验解决即可.【详解】对于①，令，此时，但，故①错误；对于②，令，此时，，所以，故②错误；对于③，因为，，所以，故③正确；对于④，令，此时，不是纯虚数，故④错误；对于⑤，令两根，此时，所以，故⑤正确；故答案为：③⑤13.已知函数，若存在，有，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】由三角函数的性质可得时.【详解】∵的周期，由得.故答案为：.14.如图所示，正六边形的边长为是其外接圆，若点是上的动点，则的最大值是______． 【答案】##【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设，把数量积转为直线与圆有公共点求解即可【详解】如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，则，，令，即，由题意可知直线与圆有公共点，所以，即，所以，所以，即，所以的最大值是，故答案为： 二、解答题（本大题共有3小题，满分40分）15.已知函数．（1）求函数在区间上的严格减区间；（2）在中，所对应边为，且，求面积的最大．【答案】（1）（2）【解析】【分析】化简，（1）方法1：先求单减区间，再给k赋值与题中所给的区间取交集；方法2：先由x范围求出整体的范围，再由单调性求出x的范围.（2）方法1：由余弦定理和重要不等式求得结果；方法2：由正弦定理将边转化为角，将求面积转化为求三角函数在给定区间上求最值.【小问1详解】方法1：则：，即：，当k=0时，∴ ∴在区间上的严格减区间为.方法2：∵，∴∵在区间上严格单减∴∴∴在区间上的严格减区间为.【小问2详解】由（1）知：，即：又∵∴∴方法1：由余弦定理得：，∴①又∵，当且仅当b=c时去等号.②由①②得：，当且仅当b=c时去等号.∴△ABC的面积最大值为；方法2：由正弦定理得：， ∵∴，∴∴当时，即：时，取得最大值为1，∴，∴，∴△ABC的面积最大值为.16.微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数.小王的“微信步数排行榜”里有120个好友．（1）若小王想统计性别对于运动步数的影响，他选择以分层抽样的方法选取一个30人的样本，已知小王“微信步数排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所选取的样本中有女性多少人?（2）某一天，小王的微信显示“您今天超越了的好友运动步数”，于是小王对120个好友的步数做了统计，作出如下频率分布直方图，若数据均匀分布，求这天大家的运动平均步数．并估算小王这天的运动步数（结果精确到）．【答案】（1）12（2）运动平均步数万步，小王的运动步数约为万步【解析】 【分析】（1）由分层抽样的概念求解，（2）由频率分布直方图数据求解，【小问1详解】由题意得好友中男性有72人，女性有48人，选取30人的样本，则应选取女性人【小问2详解】由解得，则运动平均步数（万步）运动步数在的频率为，在的频率为，则位数位于间，小王的运动步数为（万步）17.在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量．（1）若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示；（2）若，且点满足，求的重心所对应的复数；（3）若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形．【答案】（1）;;（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）复数是关于的方程的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案； （2）设，则由求得，由三角形重心坐标公式求得的重心坐标，由此可得复数；（3）求得，说明所对应的点在单位圆上，再取值，说明为单位圆的两直径，即可证明结论.【小问1详解】复数是关于的方程的一个虚根，，则，即实数的取值范围；解方程得，不妨令复数，另一根，故.【小问2详解】由可知，故，设，则由得，即，解得，故，故的重心为，故.【小问3详解】由于，则，则所对应点都在单位圆上，又，则且，不妨取，，则为单位圆的两直径， 则四边形的对角线互相平分且对角线相等，则四边形为矩形，即所对应的点可以构成矩形．