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上海市南洋模范中学2021-2022学年高一数学下学期期中试题(Word版附解析)
上海市南洋模范中学2021-2022学年高一数学下学期期中试题(Word版附解析)
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上海市南洋模范中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题(本大题满分36分,本大题共有12题)1.设点是角终边上的一点,且满足条件,则实数__.【答案】2【解析】【分析】结合正弦三角函数的定义即可列式求解.【详解】由题意得,所以.故答案为:2.2.若,则与垂直的单位向量的坐标为_______________.【答案】或【解析】【详解】试题分析:与垂直的单位向量的坐标为则解得或,故答案为或.考点:(1)数量积判断两个平面向量的垂直关系;(2)单位向量.3.将写成的形式,其中,则__.【答案】【解析】【分析】结合三角恒等变换公式的逆运用即可求解.【详解】因为 ,所以.故答案为:.4.已知,则__.【答案】##-0.25【解析】分析】根据已知等式进行凑角,利用和差公式展开结合商数关系式即可得所求.【详解】解:因为,所以,所以,则,所以.故答案为:.5.若函数的图象按向量平移后,得到函数的图象,则向量__.【答案】【解析】 【分析】根据函数的平移方向和大小可得答案.【详解】函数的图象平移后,得到函数的图象,则要向左平移1个单位,向下平移2个单位故故答案为:.6.已知在所在平面内,,则是的__心.【答案】垂【解析】【分析】根据给定等式,利用向量数量积的运算法则,结合垂直关系的向量表示推理作答.【详解】由得:,即,则,由同理可得:,所以是的垂心.故答案为:垂7.函数的严格减区间是__.【答案】.【解析】【分析】结合函数的定义域和复合函数的单调性即可求解.【详解】令,则为增函数,欲求的减区间,则求的减区间由题意得定义域为,解得所以减区间为 所以函数的严格减区间是.故答案为:.8.已知,,则向量在向量方向上的投影是__________.【答案】.【解析】【分析】根据题意,结合向量投影公式直接计算即可.【详解】解:根据投影公式,向量在向量方向上的投影是.故答案为:.9.已知两个不相等的非零向量、,两组向量、、、和、、、均由2个和2个排列而成,记,则最多有__个不同的值.【答案】3【解析】【分析】由题意分析即可得的各种取值情况,即可得符合条件的个数.【详解】解:由题意可知,有三个值,分别为、、.故最多有3个不同的值.故答案为:3.10.设,函数,若方程有且只有两个不相等的实数根,则a的取值范围是_________【答案】 【解析】【分析】问题可转化为在上的图象与直线仅有两个交点,作出函数图象,观察图象即可得解.【详解】由题意得,在上仅有两个不同的解,即在上仅有两个不同的解,即在上仅有两个不同的解,设,则在上的图象与直线仅有两个交点,作出及直线的图象如下图所示,由图象可知,.故答案为:.【点睛】方法与易错点点睛:转化为在上的图象与直线仅有两个交点是解题的关键,易错点:结果的开闭区间要注意.11.如图,已知是半径为2圆心角为的一段圆弧上的一点,若,则的值域是__________. 【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系,将向量的数量积求最值转换成求三角函数的最值即可.【详解】以圆心为原点,平行的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,则,,设,,则,,,且,,,在,上递增,在,上递减,当时,的最小值为,当时,的最大值为,则,,故答案为:,.【点睛】关键点点睛:建立坐标系,利用向量的坐标运算,数量积的坐标运算,将问题转化为三角函数求值域问题,是解题的关键,属于中档题.12.在平面直角坐标系中,起点为坐标原点的向量满足,且,().若存在向量、,对于任意实数,不等式 成立,则实数的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】由转化为求的最小值,转化为求的最大值,再由梯形中位线转化为求的最大值得解.【详解】设,,则点、在单位圆上,点、在直线上,的夹角为.如图所示.根据、的任意性,即求点、到直线距离之和的最小值,即(点、分别是点、在直线上的射影点);同时根据的存在性,问题转化为求的最大值.设的中点为,设点、在直线上射影点分别为、,则,当且仅当点、、依次在一条直线上时,等号成立.所以,即所求实数的最大值是.故答案为:【点睛】关键点睛:把向量模长最值转化为点到直线的距离.二、选择题(本大题满分12分,本大题共有4题) 13.若在中,是的()条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要【答案】C【解析】【分析】在三角形中,结合正弦定理,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】解:在三角形中,若,根据大角对大边可得边,由正弦定理,得.若,则正弦定理,得,根据大边对大角,可知.所以,“”是“”的充要条件.故选:C.14.下列等式中不恒成立的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的运算律,准确化简,即可求解。【详解】由题意,根据向量的数量积的运算公式,可得,所以是正确;根据向量的数量积的运算律,可得是正确;由向量的数量积的运算公式,可得,所以不恒成立;由,所以是正确的。故选:C。【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其运算律的应用,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和运算律是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。 15.定义运算:,对于函数和,把函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”,记为,则A.B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】根据题意将写成分段函数的形式,再分段讨论求解即可.【详解】由题意,先化简,则.故故.故答案为:【点睛】本题主要考查了新定义与三角函数值域的问题,需要根据题意分段讨论三角函数的范围,再根据新定义的问题进行分析即可.属于中等题型.16.已知、、、是同一平面上不共线的四点,若存在一组正实数、、,使得,则三个角、、A.都是钝角B.至少有两个钝角C.恰有两个钝角D.至多有两个钝角【答案】B 【解析】【分析】根据,移项得,两边同时点乘,得•0,再根据正实数,和向量数量积的定义即可确定∠BOC、∠COA至少有一个为钝角,同理可证明∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角,∠AOB、∠COA至少有一个为钝角,从而得到结论.详解】∵λ1λ2λ3,∴,两边同时点乘,得•,即||•||cos∠COA+cos∠BOC=﹣0,∴∠BOC、∠COA至少有一个为钝角,同理∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角,∠AOB、∠COA至少有一个为钝角,因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角.故选B.【点睛】本题考查数量积,考查向量的夹角,以及数量积的定义式,同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题三、解答题(本大题满分52分,本大题共有5题)17.已知:、是同一平面内的两个向量,其中.(1)若且与垂直,求与的夹角;(2)若且与的夹角为锐角,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据向量垂直得数量积为0,即可得,再根据夹角余弦公式求余弦值,即可得夹角大小; (2)利用向量的坐标运算,结合数量积的符号与夹角的关系列不等式求解即可.【小问1详解】解:由得,即,所以,得,又,所以;【小问2详解】解:因为,,所以所以,则,由得,由与与的夹角为锐角,所以18.在中,分别为内角所对的边,且(1)求的大小;(2)现给出三个条件:(1);(2);(3).试从中选出两个可以确定的条件,写出你的选择,并以此为依据求的面积(写出一种可行的方案即可)【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】(1)结合正弦定理边角互化变形即可求解(2)选择(1)(3),利用余弦定理、三角形的面积公式即可求解;选择(1)(2),利用正弦定理、三角形的面积公式即可求解;选择(2)(3),三角形不存在【小问1详解】由正弦定理可得:,得, 又,得,又,所以;【小问2详解】(i)选择(1)(3),将,代入可得,解得,所以,(ii)选择(1)(2),由,又,所以,(iii)选择(2)(3),由,可得,所以由正弦定理可得即与矛盾,故这样的三角形不存在.19.在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若,求(1)的值;(2)求角A的值.【答案】(1)1:2:3;(2).【解析】【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得,利用同角三角函数基本关系式化简求得的值. (2)由(1)可得:,,利用三角形内角和定理,两角和的正切函数公式可得,解得,分类讨论可求A的值.【详解】(1)∵,∴由正弦定理可得:,∴.可得:.(2)由(1)可得:,,∵,∴,解得:,或,当,舍去;当,,当,则,则,,矛盾,综上,.【点睛】本题第一问考查正弦定理得边化角公式,第二问考查了正切的两角和公式,熟记公式是解题的关键,属于中档题.20.已知,,,若满足成立,则称通过变换到.(1)若向量通过变换到,且,求和的值;(2)通过变到,通过变到(其中与不平行),猜想的面积与的面积的比,并说明理由.【答案】(1),;(2),理由见解析. 【解析】【分析】(1)根据“变换”的定义和向量共线的法则求解,(2)根据“变换”定义,再求出与的夹角,以及与的夹角,再根据三角形面积公式计算.【小问1详解】由题意得,,,即则,,此时,,综上所述,,;【小问2详解】由题意得,,则,得,同理可得,,所以,所以,则,得;综上,,,. 21.已知函数的最小正周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.(1)求函数与的解析式;(2)当,求实数与正整数,使在恰有个零点.【答案】(1),(2).【解析】【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解;(2)转化为方程有个根,根据奇数个根可得其中一个根必为或1,分类讨论求解.【小问1详解】,当时,,因为,取,,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),可得函数,再将所得图像向右平移个单位长度后,,【小问2详解】由(1)得,, 不妨设或,显然若,则在上必有偶数个零点,所以中至少有一个为或,不妨设,当,则(舍);当,则,此时在上有3个零点,又,即,综上所述,.
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高中 - 数学
发布时间:2023-04-14 05:28:02
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