上海市川沙中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

上海市川沙中学2021学年度第二学期期末考试高一数学试卷一、填空题（本大题共12题，每小题3分，共36分）1.函数的最小正周期为______．【答案】【解析】【分析】利用的最小正周期为，即可得出结论．【详解】解：函数的最小正周期为：，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了的最小正周期为，属于基础题．2.若（是虚数单位）是关于的实系数方程的根，则=______【答案】【解析】【分析】由是关于的实系数方程的根,则另一根为,可得方程为,进而对应系数求解即可.【详解】由题,关于的实系数方程的另一根为,则方程为,即,所以,,则,故答案为:【点睛】本题考查实系数方程的应用,考查复数的运算.3.已知，，则在向上的数量投影为______． 【答案】4【解析】【分析】根据，即，求出，再求出投影即可．【详解】解：，，，，向量在向量方向上数量投影，．故答案为：4．4.已知为等差数列，为其前项和，若，，则__________.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，求出这两个量的值，然后利用等差数列的求和公式可求出的值.【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等差数列求和公式的应用，解题的关键就是求出等差数列的首项和公差，考查运算求解能力，属于基础题.5.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，c＝2，A＝120°，则该三角形的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理可得，再根据面积公式求解即可【详解】因为，，，又， 所以，化为，因为，解得，所以．故答案为：．6.把函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数解析式为______.【答案】【解析】【分析】根据横坐标缩短为原来倍可知变为，又由所有点向左平移个单位可知这个整体变为，由此可得新的函数解析式.【详解】因为横坐标缩短为原来的倍，所以可得，又因为所有点向左平行移动个单位，所以可得，即.故答案为.【点睛】（1）函数的图象可以看作的图象上所有点的横坐标缩短（当）或伸长（当）到原来的倍（纵坐标不变）；（2）函数的图象可以看作的图象上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位.7.已知数列的前n项和为，且，则_________．【答案】【解析】 【分析】由根据数列的通项和前n项和的关系，分，讨论求解.【详解】当时，，当时，，不适合上式，所以.故答案为：.8.若函数的图象关于直线对称，则实数______________.【答案】【解析】【分析】先利用辅助角公式对函数解析式进行化简，然后根据三角函数图象的性质可知，在对称轴处取得最值，即可列出方程，解方程即可求出结果.【详解】，因为函数的图象关于直线对称，所以函数在处取得最大值或者最小值，所以当时，，因此，即，两边同时平方得，解得，故答案为：.9.设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________【答案】 【解析】【分析】根据正弦函数的单调性，求出函数的单增区间，由（），可得：，所以，整理即可得解.【详解】根据正弦函数单调性，可得：（），所以：，解得：，整理可得：，当有解，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了利用三角函数单调性求参数的取值范围，考查了恒成立思想，要求较高的计算能力，属于难题.10.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE＝CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的取值范围是______． 【答案】【解析】【分析】如图，建立平面直角坐标系，设，则，设，则，则由已知可得，从而可得，然后利用正弦函数的性质可求得其范围【详解】如图，建立平面直角坐标系，设，则,设，则，因为，所以，所以，解得，所以，其中，因为，所以当时，取得最小值，此时取得最小值1，当时，取得最大值1，此时取得最大值所以的取值范围为， 故答案为：11.已知数列的前项和为，若，则______．【答案】【解析】【分析】对任意的，计算出、的值，即可求得的值.【详解】对任意的，，，，，所以，，且，，因此，.故答案为：.12.已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最小值是__________．【答案】【解析】 【详解】因为,所以,则,因为对任意的实数,都存在唯一的实数,使,所以在上单调,且,则,则,所以,即实数的最小值是点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空．二、选择题（本大题共4题，每小题3分，共12分）13.用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先分析题目在验证是否成立时，把代入左边，即可得出结果.【详解】用数学归纳法证明“”，在验证时，把代入，左边.故选：C.【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于基础题.14.设为正整数，则“数列为等比数列”是“数列满足”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】“数列为等比数列”，则，数列满足．反之不能推出，可以举出反例．【详解】解：“数列为等比数列”，则，数列满足．充分性成立；反之不能推出，例如，数列满足，但数列不是等比数列，即必要性不成立；故“数列为等比数列”是“数列满足”的充分非必要条件故选：A．15.复数满足（为虚数单位），则复数模取值范围是A.B.C.D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求出复数模的取值范围.【详解】它表示复平面上到距离为2的点的集合，显然是以为圆心，2为半径的圆，模的几何意义是以为圆心，2为半径的圆上的点到点的距离，显然复数模的最大值为：，最小值为：.故选：A【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了圆的几何性质.16.在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中, ,则满足.A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】作图知，只有，其余均有，故选D．【考点定位】考查向量的运算，重点考查思维能力，综合分析及应用能力，属偏难题．三、解答题（本大题共5题，满分8＋8＋10＋12＋14＝52分）17.已知复数z＝a＋bi（其中a、），存在实数t，使得成立．（1）求2a＋b的值；（2）求的取值范围．【答案】（1）6（2）【解析】【分析】（1）直接利用复数相等的条件列式即可证明结论；（2）写出，用含有的代数式表示，再由配方法求最值得答案．【小问1详解】（其中、，存在实数，使，则，可得，消去可得；【小问2详解】．即 18.已知平面向量，.（1）当为何值时，与垂直；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由与的数量积为可得；（2）由与的数量积大于0，再去除两向量同向的情形．【详解】（1）由已知，，，与垂直，则．解得；（2），，又时，，两相向夹角为0，所以且．19.张江某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，由于客观原因，A型车床为企业创造的价值是逐年减少的（以投产当年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用表示A型车床在第n年创造的价值．（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前n项和，设．企业经过成本核算，若万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列） 【答案】（1），；（2）第年初【解析】【分析】（1）根据题意，该数列是分段数列，前一段是等差数列，后一段是等比数列，利用条件写出即可；（2）利用分组求和，写出后解不等式即可，注意递减性质的运用.【小问1详解】由题意，是首项为，公差为的等差数列，故；，是首项为，公比为的等比数列，故，于是，【小问2详解】当，时，是递减的等差数列，，是递减的等比数列，又，故是单调递减数列，于是由题意可知是递减数列.,根据递减的性质可知，；当且时，，当，，当，，根据递减的性质可知，时，即有，故企业需要在第年更换车床. 20.已知，，．（1）记函数，求函数取最大值时的取值范围；（2）求证：与不平行；（3）设的三边、、满足，且边所对应的角为，关于的方程有且仅有一个实根，求实数的范围．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）首先利用平面向量数量积公式化简函数，再利用三角函数的性质求解；（2）由条件转化为证明与不平行，利用向量平行的坐标表示，证明不可能平行；（3）首先利用余弦定理结合基本不等式求角的取值范围，再根据（1）的结果，转化为，判断函数的单调性，转化为求函数的值域.【详解】解：（1）．所以当即时，函数取最大值．（2）只需证明与不平行，，所以与不平行．（3）在中，由余弦定理得，由得 ，又，所以，∵，由（1）得，∵，∴，∴在上严格增，当时，，当时，，所以．21.已知非零数列的递推公式为,.(1)求证数列是等比数列；(2)若关于的不等式有解,求整数的最小值；(3)在数列中,是否一定存在首项、第项、第项,使得这三项依次成等差数列？若存在,请指出所满足的条件；若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)整数的最小值为4.(3)存在,当且仅当,且为不小于4的偶数时,成等差数列【解析】【分析】(1)根据要证明是等比数列的数列,对已知的等式进行恒等变形,即可证明本结论；(2)利用差比判断数列的单调性,利用单调性求出整数的最小值；(3)根据(1)求出数列的通项公式,结合已知,可以证明出存在首项、第项、第项,使得这三项依次成等差数列.【详解】(1)由，得，即，所以是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得：，所以已知的不等式等价于令，则，所以单调递增，则，于是，即，故整数的最小值为4.(3)由上面得，则要使成等差数列，只需，即因为，则上式左端；又因为上式右端于是当且仅当，且为不小于4的偶数时，成等差数列．【点睛】本题考查了等比数列的证明,考查了判断数列的单调性,考查了数学运算能力.