上海市金山中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

上海市金山中学2021-2022年高一下期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知复数，则_____．【答案】##-i+1【解析】【分析】根据共轭复数的概念求解即可.【详解】解：复数，则.故答案为：.2.已知，则______．【答案】##0.2【解析】【分析】根据三角函数诱导公式直接求解即可.【详解】解：因为，所以.故答案为：.3.已知单位向量满足，则向量的夹角为______．【答案】##【解析】【分析】根据向量数量积公式即可求出向量的夹角.【详解】解：已知为单位向量，则，，，故答案为：. 4.已知向量，若，则_____．【答案】或3【解析】【分析】先求出的坐标，再解方程即得解.【详解】解：由题得，因为，所以或3.故答案为：2或3.5.已知角终边上一点，则值为_____．【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义求得，再利用正切的和差公式即可求得.【详解】因为角终边上一点，所以，所以.故答案为：.6.记为等差数列的前项和，若，，则_____．【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质求出，再根据其通项即可得出.【详解】解：等差数列中，，，所以，且，即， 所以，解得，所以，故答案为：9.7.已知复数满足，则在复平面内复数对应的点所在区域的面积为_____．【答案】【解析】【分析】设，由题意可得，根据复数模的几何意义得出区域形状为圆环，再计算面积即可．【详解】设，，因为，所以，所以，所以复平面内复数对应的点所在区域是圆和圆围成的圆环，故所求区域面积.故答案为：.8.已知向量满足的夹角为，则的值是_____．【答案】【解析】【分析】由数量积及运算性质，利用列方程求解即可.【详解】，即，即，解得或（舍）.故答案为：3.9.已知函数，对于任意，都有成立，则 _____．【答案】##【解析】【分析】对于任意，都有成立,则是的最大值，由两角和的正弦公式化简函数式，由正弦函数的最大值求得，再计算其正弦值．【详解】,对于任意，都有成立,则是的最大值,所以，，，，．故答案为：．10.已知数列是公比为无穷等比数列，若，则的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】根据无穷等比数列的求和公式和已知条件可得与的关系，再由的范围，即可求出的取值范围.【详解】由题意可得，因为，所以，所以， 因为或，所以或，即的取值范围为，故答案：.11.记的内角的对边分别为，已知的面积为S，且，则______．【答案】【解析】【分析】由数量积定义、三角形面积公式可将条件等式化简得，结合正弦定理可得，结合范围即可求解.【详解】，则，由正弦定理得，故，∵，∴，∵，∴.故答案：12.已知数列的前项和为，且，设函数，则_____．【答案】【解析】 【分析】由与的关系求出数列的通项公式，结合诱导公式即可化简求值.【详解】当时，，又符合上式，故..故答案：1011二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.在等比数列中，，则（）A.B.2C.D.1【答案】B【解析】【分析】利用等比中项化简计算即得解.【详解】解：由题得.故选：B14.已知函数的图象如图所示．则（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由五点法列出方程组，结合的范围求解即可.【详解】由图可知，解得.故选：B15.已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件可知向量在方向上数量投影为，令，将恒成立转化为恒成立，利用即可求出参数的取值范围，结果即为所求.【详解】解：已知菱形的边长为1，则向量在方向上数量投影为， 若恒成立，则恒成立，，，令，则，即，要使恒成立，则，解得，即向量在方向上数量投影的取值范围是，故选：C.16.记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到，结合余弦定理整理得，从而求得.【详解】依题意，作出图形，因为点是的重心，所以是的中点，故，由已知得，因为，所以， 又因为点是的重心，所以，则，又因为，所以，则，又由余弦定理得，所以，整理得，因为，令，则，所以，则.故选：D..三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知向量．（1）若，求；（2）若，求函数的单调增区间．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由列方程化简可求得结果； （2）由向量的数量积运算结合三角函数恒等变换公式可得，由可求出函数的增区间.【小问1详解】因为，且，所以，由上式可知，所以；【小问2详解】，令，得，所以函数的单调增区间为．18.已知复数为虚数单位．（1）若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值；（2）若为实数，求的值．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由题意可知和为方程的两个复数根，然后根据根与系数的关系列方程可求出的值；（2）先化简，然后使其虚部为零，从而可求出的值．【小问1详解】若是关于的实系数方程的一个复数根，则，所以， 所以，所以或；【小问2详解】由题意得为实数，所以，所以．19.记的内角的对边分别为，已知．（1）求角A的大小；（2）若，，当的周长最小时，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）已知，由正弦定理角化边，在利用余弦定理即可得，即可求出角A；（2）已知，利用余弦定理可得，则可求出的周长为，由于，利用均值不等式即可求出周长的最小值，及此时的b值.【小问1详解】解：由正弦定理，得，所以，即，又，所以.小问2详解】解：由余弦定理得，把代入，整理得，因为，所以的周长为 ，当且仅当，即时取等号，所以当的周长最小时，．20.如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．（1）延长交于点Q（图1），求的值；（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．（i）求证为定值；（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）.【解析】【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值；（2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，， ，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可.【小问1详解】依题意，因为，所以，因为是线段的中点，所以，设，则有，因为三点共线，所以，解得，即，所以，所以；【小问2详解】（i）根据题意,同理可得：，由（1）可知，，所以，因为三点共线，所以，化简得，即为定值，且定值为3；（ii）根据题意，，，所以， 由（i）可知，则，所以，易知，当时，有最小值，此时.21.设数列满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列满足，是否存在实数，使得数列是单调递增数列?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（3）对于大于2的正整数（其中），若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组.【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）【解析】【分析】（1）根据题意，结合递推公式以及等比数列定义，即可求证；（2）根据题意，通过对进行讨论，结合作差法，即可求解；（3）根据题意，分别对、、三个数不同排序进行讨论，即可求解.【小问1详解】证明：根据题意，由，得，即，又，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列.【小问2详解】 依题意，则.若存在，则对恒成立.①当奇数时，，其中当时，，故；②当为偶数时，，其中当时，，故.综上所述，存在实数，使得数列是单调递增数列.【小问3详解】由（1）知，、、这三项经适当排序后能构成等差数列，①若，则，∴，又，∴，∴；②若，则，∴，左边为偶数，右边为奇数，∴不成立；③若，同理也不成立.综合①②③得，.