上海市建平中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

建平中学2021学年第二学期期末考试高一数学学科2022.06.24说明：（1）本场考试时间为90分钟，总分100分；（2）请认真答卷，并用规范文字书写．一、填空题（每题3分，满分36分）1.已知复数，则Rez＝___．【答案】10【解析】【分析】根据复数的定义直接写出复数的实部.【详解】因为复数，所以Rez＝10.故答案为：102.若为直线l：的一个法向量，则b＝___．【答案】【解析】【分析】由直线方程写出其方向向量，利用求参数b.【详解】由直线一般式为，则其一个方向向量为，所以，可得.故答案为：3.点(1，2)到直线的距离为___．【答案】##3.2【解析】【分析】利用点线距离公式求距离即可.【详解】由点线距离公式有(1，2)到直线的距离为.故答案为：4.设直线、的斜率分别为、，倾斜角分别为、，若，则 |___．【答案】##【解析】【分析】由已知及得，讨论、并结合正切函数性质求.【详解】由，且，即，若，则，而，故，即；同理，可得.综上，|.故答案为：5.若，其中，则最大时，＝___．【答案】【解析】【分析】由向量数量积的坐标表示及辅助角公式可得，再由正弦型函数的性质确定取最大时对应值.【详解】由题设，而，所以，故当时有最大值.故答案为：6.已知等差数列{}满足，则___．【答案】##0.5 【解析】【分析】设公差为，由已知递推式有求公差，进而可得的值.【详解】若数列{}的公差为，而，故，又.故答案为：7.已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为___．【答案】##1.5【解析】【分析】由分别表示在、方向上的单位向量，结合已知可得且、的夹角为，进而可求在上的数量投影.【详解】由分别表示在、方向上的单位向量，且、的夹角为，由知：且、的夹角为，所以在上的数量投影为.故答案为：8.若复数z满足且，则___．【答案】2【解析】【分析】令且，根据模长的等量关系列方程求，再由求结果.【详解】令且，由，则，可得， 由，则，可得，所以，故.故答案为：29.已知首项为－1的等比数列{}，若，则数列{}的公比为___．【答案】±1【解析】【分析】利用等比数列通项公式代入结合一元二次不等式求解即可.【详解】依题意，，设公比为，若，则，即，得，故，得，故答案为：±1.10.设关于x的实系数一元二次方程的两个虚数根分别为、，若，则＝____．【答案】2【解析】【分析】由实系数一元二次方程有两虚根得到，，再由等量关系列方程求结果.【详解】由题设，，且，，由，即，故.故答案为：211.已知平面上两定点A、B满足，动点P、Q分别满足，则的取值范围是___．【答案】[－6,6]【解析】 【分析】令，由已知判断、的轨迹，再结合向量数量积的几何意义求的最值，即可得范围.【详解】若，由题意知：在以为圆心，1为半径的圆上；在以为圆心，2为半径的圆上.又，，则：最大时，同向，此时，最小时，反向，此时，综上，的范围为[－6,6].故答案为：[－6,6]12.已知数列{}的前n项和为，若对任意恒成立，则____．【答案】1011【解析】【分析】由题设有，根据的关系得，再应用分组求和求目标式的值.【详解】由题设，，故，所以，即，故， 所以.故答案为：二、选择题（每题3分，满分12分）13.设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论.【详解】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立；反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件，故选：C.14.满足的△ABC（）A.一定为锐角三角形B.一定为直角三角形C.一定为钝角三角形D.可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量数量积的定义及三角形内角的性质可得，即可判断三角形形状.【详解】由，而，所以且，故.所以△ABC一定为钝角三角形.故选：C15.设，下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】对于A：取z=-1否定结论；对于B：直接证明即可；对于C、D：取z=i否定结论.【详解】设（其中）.对于A：不妨取z=-1，满足.故A错误；对于B：因为，所以，所以，所以，即.故B正确；对于C：取z=i，满足.故C错误；对于D：取z=i，满足.故D错误.故选：B16.设无穷数列{}的前n项和为，若（），记集合，集合，则（）A.不存在数列{}使得B.存在唯一一个数列使得 C.存在不止一个但有穷个数列使得D.存在无穷个数列{}使得【答案】D【解析】【分析】因为，随着的增大而增大，故可考虑当时，逐步分析使得中的元素从小到大一一对应即可【详解】由题意，因为，随着的增大而增大，且，不妨设，则，故可令，则，再令，如此则有，则，此时满足，故.同理可得，当时，只需，，也满足.故存在无穷个数列{}使得故选：D三、解答题（本题共有5大题，满分52分）17.设z为复数．（1）若，求|z|的值；（2）已知关于x的实系数一元二次方程的一个复数根为z，若z为纯虚数，求的取值范围．【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）由等量关系，应用复数的除法求复数z，进而求模长.（2）设，结合根与系数关系列不等式组求，进而确定的范围. 【小问1详解】，故；【小问2详解】设，故，解得，故18.已知直线，直线（1）若，求直线、的夹角；（2）设交x轴于点A，交y轴于点B，交x轴于点D，交y轴正半轴于点C，若，且梯形ABCD的面积为，求直线在y轴上的截距．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由直线方程得到它们法向量，根据法向量夹角与直线夹角关系求、的夹角.（2）由题意有：，进而求，再由平行线距离求梯形的高，最后根据梯形面积公式求参数b，即可得结果.【小问1详解】，：的一个法向量分别为，则，故．【小问2详解】由，故，即：，易知，梯形的高h即平行直线，之间的距离，故， 设梯形ABCD的面积为S，则，化简得，解得，故直线在y轴上的截距为．19.银行储蓄存款是一种风险较小的投资方式，将一定数额的本金存入银行，约定存期，到期后就可以得到相应的利息，从而获得收益，设存入银行的本金为P（元），存期为m（年），年化利率为r，则到期后的利息（元）．以下为上海某银行的存款利率：存期一年二年三年年化利率1.75%2.25%2.75%（1）洪老师将10万元在上海某银行一次性存满二年，求到期后的本息和（本金与利息的总和）；（2）杜老师准备将10万元在上海某银行存三年，有以下三种方案：方案①：一次性存满三年；方案②：先存二年，再存一年；方案③：先存一年，再续存一年，然后再续存一年；通过计算三种方案的本息和（精确到小数点后2位）判断哪一种方案更合算，并基于该实际结果给予杜老师一般性的银行储蓄存款的建议．【答案】（1）10.45万元；（2）方案①，建议见解析.【解析】【分析】（1）由题意确定，应用利息公式求到期后的本息和即可；（2）根据各方案的模型求出对应的本息和，比较大小选择合算方案，并给予一般性的银行储蓄存款的建议．小问1详解】由题意，，，故所以，到期后本息和为104500元，即10.45万元；【小问2详解】 方案①为单利模型，方案②③为复利模型，三种方案到期后的本息和计算如下．方案①：；方案②：方案③：由于方案①的本息和大于方案②的本息和，方案②的本息和大于方案③的本息和，故方案①最合算，其次是方案②，最后是方案③，建议杜老师在银行储蓄存款时，对于确定的本金和存期，选择一次性存满存期的方式最合算，即本息和最大；如果无法一次性存满存期，尽量选择较长的存期进行拆分时更合算，即本息和更大．20.已知等边三角形ABC的边长为2，P为三角形ABC所在平面上一点．（1）若，求△PAB的面积；（2）若，求的最大值；（3）求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）－.【解析】【分析】（1）由重心的性质有，结合三角形面积公式求△PAB的面积；（2）由题设，可得，再应用基本不等式求目标式最值，注意等号成立条件.（3）构建直角坐标系并设P（x，y），确定相关点坐标，利用向量数量积的坐标运算求，即可得结果，注意最值对应x、y.【小问1详解】由题设知：P为△ABC的重心，故； 【小问2详解】由于，即，则，，当且仅当时取到等号，故的最大值为；【小问3详解】以BC的中点O为原点，，分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，设P（x，y），易知A（0，），B（－1，0），C（1，0），则化简得，故的最小值为－，当且仅当时取到等号.21.记项数为10且每一项均为正整数有穷数列{}所构成的集合为A，若对于任意p、，当时都有，则称集合A为“子列封闭集合”．（1）若，判断集合A是否为“子列封闭集合”，并说明理由；（2）若数列{}的最大项为，且，证明：集合A不为“子列封闭集合”；（3）若数列{}严格增，且集合A为“子列封闭集合”，求数列{}的通项公式．【答案】（1）集合A为“子列封闭集合”，理由见解析（2）证明见解析（3）或【解析】【分析】（1）按照定义直接判断；（2）利用反证法证明集合A不为“子列封闭集合”． （3）先判断出或{21，22}，分类讨论：①，由题意求出；②，求出即可得到答案.【小问1详解】对于任意p，，当时，，故集合A为“子列封闭集合”；【小问2详解】假设集合A为“子列封闭集合”，，故存在正整数使得，易知，由于，故，显然，这与为集合A中的最大元素矛盾，故集合A不为“子列封闭集合”．小问3详解】根据（2）中证明可知，集合A为“子列封闭集合”，则，由于数列严格增，，故或{21，22}，①，则，假设，此时，由于，故，由于，这与矛盾；故，又由于，故，此时，经检验符合题意；②，则，假设，此时，由于，故，由于，这与矛盾； 假设，此时，由于，故，由于，这与矛盾；故，又由于，故，此时，经检验符合题意；综上所述，或．