上海市建平中学2021-2022学年高一数学下学期6月月考试题（Word版附解析）

建平中学高一月考数学试卷2022.06一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知复数（为虚数单位），则___________.【答案】3【解析】【分析】根据，确定其实部和虚部，即可求得答案.【详解】由复数，可知其实部和虚部分别为1和,故，故答案为：32.已知复数z满足（i为虚数单位），则________．【答案】1【解析】【分析】由题可整理,利用除法法则求解,进而求得模长【详解】因为,所以,所以,故答案为：【点睛】本题考查复数的除法运算,考查复数的模,考查运算能力3.已知向量，若，则___________.【答案】1【解析】【分析】根据向量加减与平行坐标公式计算即可【详解】由题，，又，故，解得故答案为：14.若复数（为虚数单位），则___________. 【答案】##【解析】【分析】根据复数，可知其实部和虚部，即可求得答案.【详解】因为复数，其实部和虚部分别为，且在第二象限故幅角的正切值，由于，则，故答案为：5.已知复数，（为虚数单位），且是实数，则实数___________.【答案】【解析】【分析】由共轭复数定义和复数乘法运算可求得，利用实数定义可构造方程求得.【详解】为实数，，解得：.故答案为：.6.关于的方程的一个根是，则___________.【答案】【解析】【分析】将代入到方程中，可得到相应的方程组，解得m,n的值，可得答案.【详解】因为关于的方程的一个根是，故，即，则，，解得，故，故答案为：7.已知，则向量在向量方向上的数量投影为___________. 【答案】1【解析】【分析】根据投影的坐标运算，代值计算即可.【详解】向量在向量方向上的投影，即故答案为：1.8.已知点在单位圆上，点，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积的运算法则得到，结合，求出取值范围.【详解】，其中，所以故答案为：9.已知等边三角形边长为1，点在的边上运动，则的最大值为___________.【答案】##0.5【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算表示出，进而求得的最大值. 【详解】以线段的中点为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则，设，则，，表示到点的距离的平方再减去，由于在三边上运动，恰是线段的中点.所以的最大值，也即三边上的点到点距离的最大值的平方再减去，由图可知三边上点到的距离最大，最大值为，所以的最大值为.故答案为：10.若复数满足（为虚数单位），则的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设，，利用题干条件得到且，从而得到 .【详解】设，，则，即，两边平方得：，整理得：，两边平方得：，将代入中，可得：，所以，则故答案为：11.已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】画出图形，表示出，，从而确定，利用正弦定理得到，结合，求出的取值范围.【详解】设，，如图所示，则，因为与的夹角为，所以，因为，所以由正弦定理得： ，所以，因为，所以故答案为：.12.已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.【答案】3【解析】【分析】设，，得到共线，再由余弦定理求出取最大值为1，此时面积最大，则O到AB的距离最远，当且仅当关于y轴对称时，最小，求出O到AB的距离的最大值，从而得到的最小值.【详解】由题意得：，令，，故有共线， 为定值，在中，由余弦定理可得：，当且仅当时，取最大值为1，此时面积最大，则O到AB的距离最远，当且仅当关于y轴对称时，最小，此时O到AB的距离为,所以，即故答案为：3【点睛】对于向量相关的几何最值问题，数形结合结合解三角形，基本不等式或三角函数等知识点，综合性较强，要能灵活掌握二､选择题（本大题共4题，满分20分）13.已知，则“”是“z为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】设，运算后结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】设，则，若，满足，但z不为纯虚数，所以充分性不成立；若z为纯虚数，即，此时，必要性成立；则“”是“z为纯虚数”的必要不充分条件.故选:B.14.下列所给的四个命题中，不是真命题的为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，，所以，，故AC为真命题，B选项，可以证明充分性和必要性均成立，为真命题，D选项可以举出反例.【详解】设，，则，A为真命题；当时，，充分性成立，当时，，必要性成立，B为真命题；，故C为真命题；不妨设，，满足，但不满足，D为假命题.故选：D15.若向量、、满足，且，则、、中最大的是（）A.B.C.D.不能确定【答案】A【解析】【分析】依题意可得，根据数量积的运算律得到，同理得到、，再作差判断即可；【详解】解：由，可得，两边平方， 即．同理可得、，，所以，所以，所以，所以，即则、、中最大的值是．故选：A．16.已知为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点满足，则动线段所形成图形的面积是（）A.5B.10C.15D.20【答案】B【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，根据和，得到动点在直线上，且，进而得到扫过的三角形的面积，再由，同理得到扫过的三角形的面积，两者求和即可.【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，设，∴，；由，得；又，∴；∴；∴，∴动点在直线上，且，即线段CD上，则,则扫过的三角形的面积为，设点∵，∴，∴，，∴动点在直线上，且，即线段MN上，则,∴扫过的三角形的面积为，∴因此面积和为2+8=10，故选：B.三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知向量满足：，且.（1）求向量与向量的夹角；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由展开，可解出，根据向量夹角公式即可求出夹角的大小；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出的值．【小问1详解】∵∴∵，且，∴．【小问2详解】∵∴，即∴．18.已知复数（是虚数单位，，且为纯虚数（是的共轭复数）.（1）求实数的值及；（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数的乘法运算与纯虚数的概念求解，再求模长即可；（2）根据（1）中，代入得到，再根据复数的几何意义求解即可【小问1详解】由题，为纯虚数，即为纯虚数，故，即 ，故【小问2详解】由（1），因为复数对应的点在第二象限，故，解得19.已知复数为虚数单位.（1）若，且为实数，求的值；（2）若，复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】(1)利用复数的乘法化简复数,通过复数是实数求出,结合的范围即可求解.（2）化简复数对应的向量分别是,然后利用向量的数量积求解即可.【小问1详解】（1）为实数,可得, 故，所以【小问2详解】复数,复数对应向量分别是,,,,解得20.设是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）. （1）求的值；（2）为线段上一点，若，求实数的值；（3）在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值.【答案】（1）（2）（3）处，最小值【解析】【分析】（1）根据向量的加法和运算法则可得，即可得解；（2）由可得，所以，再利用向量的基本定理可得，即可得解；（3）根据题意要使当最小，则P必在线段P2C上，设，由于AP2⊥BC，，利用二次函数求最值即可得解.【小问1详解】 根据题意，为的中点，所以；【小问2详解】易知即，即，因为Q为线段AP1上一点，所以，所以；【小问3详解】①当P在线段BP2上时（不含P2），此时，②当P在线段P2C上时，，要使当最小，则P必在线段P2C上，设，由于AP2⊥BC，当时，即当P为P3时，取最小值.21.平面直角坐标系中，点满足，且，点满足，且，其中.（1）求的坐标，并证明点在直线上；（2）记四边形的面积为，求的表达式； （3）对于（2）中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由即可求得；由求出，即可证得点在直线上；（2）分别求出坐标，由计算面积，即可求出的表达式；（3）由结合数列的增减性求出的最大值为，即可求出的值.【小问1详解】易得，则；，即，又，则点在直线上；【小问2详解】由（1）得，则，则，则点在直线上，且；又 ，，则，则点在轴上，且，如图，连接，易得到直线的距离为，则，即.【小问3详解】由（2）知，，则， 显然时，，即；时，，即；时，，即；则的最大值为，显然最小的正整数，则.