上海市上海师范大学附属中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

上海市上海师范大学附属中学2021-2022年高一下期末数学试卷一､填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.若复数，(表示虚数单位），则___________.【答案】【解析】【分析】先根据复数的除法运算求解出，然后可直接判断出的虚部.【详解】因为，所以的虚部为，所以，故答案为：.2.若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据，利用两角差的余弦公式可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：．3.已知点A的坐标为，向量，则点B的坐标为______．【答案】【解析】 【分析】设，则，再由可求出的值，从而可求出点B的坐标【详解】设，则，因为，所以，所以，得，所以点B的坐标为，故答案为：4.若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作___________.【答案】，，【解析】【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案.【详解】点在直线上，在平面内，则，，故､､之间的关系可记作，，.故答案为：，，5.若则的位置关系是_______.【答案】相交或异面【解析】【分析】以正方体为载体，列举各种可能发生的情况，能求出结果．【详解】在正方体中，，，与相交，，，与异面， 直线，，则与的位置关系相交或异面．故答案为相交或异面【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6.为所在平面外一点，为在平面上的射影.若､､与平面所成的角相等，则是的___________心.【答案】外【解析】【分析】由条件证明，由此判断是的外心.【详解】如图，因为为在平面上的射影，所以平面，又平面，所以，，，即，因为平面，所以分别为，，与平面所成的角的平面角，由已知可得，又，所以，所以，所以是的外心，故答案为：外. 7.下列3个函数：①；②；③；其中最小正周期为的偶函数的编号为___________.【答案】①②【解析】【分析】利用偶函数的定义判断各函数的奇偶性，再结合周期函数的定义判断各函数的周期，由此确定符合要求的函数的编号.【详解】记，则函数的定义域为，且，所以为偶函数，因为，所以为函数的周期，若为函数的周期，则，，矛盾，所以为函数的最小正周期，所以函数满足要求，记，则，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，又函数的最小正周期为，所以函数满足要求，记，则，所以函数的定义域为，且，函数不满足要求，故答案为：①②.8.如图，定点A和B都在平面α内，，定点，，是内一动点，且.那么，动点在平面内的轨迹所围成图形的面积为___________． 【答案】π【解析】【分析】连接BC，证明AC⊥平面PBC得AC⊥BC，从而得到C的轨迹形状及其围成图形的面积．【详解】连接BC．∵，∴AC⊥PC．∵PB⊥α，ACα，∴PB⊥AC﹒又PB∩PC＝P，PB、PC平面PBC，∴AC⊥平面PBC，BC平面PBC，∴AC⊥BC，故C的轨迹是平面α内以AB为直径的圆(去掉A、B两点)，故动点在平面内的轨迹所围成图形的面积为．故答案为：π9.已知是两条不同直线，､是两个不同平面，对下列命题：①若，则.②若，则且.③若，，则.④若，则. ⑤若，则.其中正确的命题是___________（填序号）.【答案】③⑤【解析】【分析】由给定条件，举例说明判断命题①②④，利用线面垂直的性质判断③，利用线面平行的性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理判断⑤作答.【详解】如图，长方体中，记平面为，对于①，记直线为，直线为，则，但与相交，①不正确；对于②，记平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，而，②不正确；对于③，因为，，所以，又，所以，③正确，对于④，记平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，而与是异面直线，④不正确；对于⑤，因，则过直线作平面，令，如图，于是得，而，则有，由，所以，⑤正确.故答案为：③⑤ 10.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,是一条侧棱,是上底面上其余的八个点,则的不同值的个数为___________.【答案】1【解析】【分析】由于几何体是由四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,则,即,将写为,利用数量积的运算律展开计算出结果即可.【详解】解:由题知几何体是由四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,则有,,,的不同值的个数为1.故答案为:111.边长为的正方形沿折成的二面角，则中点与的距离是___________.【答案】1【解析】【分析】取中点为，中点为，中线定理，数形结合即可解决.【详解】由题知，边长为的正方形沿折成的二面角， 取中点为，由正方形的性质可知所以二面角的平面角为，又，所以为等边三角形，所以，设中点为，所以中，由中线定理可知1故答案为：112.已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时___________.【答案】【解析】【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的.【详解】∵，，而，，又∴，∴， ，，因为向量满足，所以如图所示，若，，，，则，，所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上，若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小，即取最小值，此时，，又，，所以.，故答案为：.二､选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（）A.B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】解方程求出两个复数根，从而可得、两点的坐标，再求出，进而可得三角形的面积 【详解】解：方程根为，即，，所以，所以，，，所以，所以，故选：B14.在下列各式中，正确的是（）A.B.C.若，则D.若，且，则【答案】C【解析】【分析】通过平面向量数量积的定义可判断A,B错误；对两边平方可判断正确；对进行移项、提公因式可判断错误．【详解】对A，，所以不一定成立，错；对B，，不一定等于，错；对C，由两边平方，得，，对；对D，由，得，， 又，或，可能成立，错．故选：C．15.如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断.【详解】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面．对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．故选：D16.已知平面，直线，记与所成的角分别为，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】讨论直线与平面的位置，根据线面角的定义确定，再分别求，，的表达式，由此确定结论.【详解】如图，不妨设，，设，过点作，垂足为，因为，，，，所以，所以为直线与平面所成的角的平面角，即，过点作，垂足为，作且，连接，同理可得，，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为，，所以，所以为直角三角形，为直角，所以，因为，，所以，所以为直角三角形，为直角，所以，，因为，所以，当且仅当重合时取等号，B错误，，D错误，若取直线为，则，，则，，C错误，故选：A.三､解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17.已知复数，，其中是实数.（1）若在复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围； （2）若，求.【答案】（1）的取值范围为；（2）.【解析】【分析】(1)由复数的几何意义列不等式求的取值范围；(2)先求，结合等比数列求和公式求即可.【小问1详解】因为，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，由已知，所以，故的取值范围为；【小问2详解】因为，所以，所以.18.已知函数.（1）求解方程:;（2）设,求函数的单调递增区间;（3）在中,角所对应的边为.若的面积为.求的值. 【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】(1)将代入方程,用反三角函数解出即可;(2)将代入用半角公式,辅助角公式进行化简,求出单调增区间即可;(3)先求出的值,再根据面积公式求出的值,根据的值求出角的值,再用余弦定理求出,再根据正弦定理即可求出.小问1详解】解:由题知,即,解得或;即【小问2详解】由题,即,的单调递增区间为: ,,解得:,,故的单调递增区间为;【小问3详解】由,或,,,当时,在中由余弦定理得:,解得,此时在中由正弦定理得:,解得,当时,中由余弦定理得:, 解得,此时在中由正弦定理得:,解得,综上:或.19.在梯形中，，分别为直线上的动点.（1）当为线段上的中点，试用和来表示；（2）若，求；（3）若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）1.【解析】【分析】(1)结合条件证明，再用和来表示即可； (2)利用表示，根据模的性质和数量积的性质求；(3)由条件确定的关系，结合基本不等式求的最大值.【小问1详解】因为为线段上的中点，所以，，又方向相同，所以，所以；【小问2详解】因为，所以，因为，，所以，所以，又，所以又，所以；【小问3详解】设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心，由重心性质可得，又，，， 所以，设，，所以，，由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1.20.如图，四面体中，，，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）设，，点在上；①点为中点，求与所成的角的大小；②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）①与所成的角的大小；②与平面所成的角的正弦值为.【解析】 【分析】（1）根据已知关系有得到，结合等腰三角形性质得到垂直关系，结合线面垂直的判定即可证明面面垂直；（2）①取的中点，的中点，则（或其补角）为与所成的角，在中求解.②先证平面平面，可得（或其补角）为与平面所成的角，在中求解.【小问1详解】因为，E为的中点，所以，在和中，所以，所以，又E为的中点，所以，又平面，，所以平面.又因为平面，所以平面平面；【小问2详解】①取的中点，的中点，连接，则，，所以（或其补角）为与所成的角，由且，所以是等边三角形，则，由且，E为的中点，所以，在等腰直角中，，在中，，由勾股定理知为直角三角形，所以， 在中，由余弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，在中，，，所以，故，在中，，，故，所以与所成的角的大小.②连接，由（1）知，平面，平面，所以，则，当时最小，即的面积最小.因为平面，平面，所以，又因为平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以平面平面，作于（或交延长线），因为平面平面，平面， 所以平面，所以（或其补角）为与平面所成的角，由知，所以，直角中，，在直角中，，所以，在等腰中，，所以，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.【点睛】线面角的几何作法：直接法：即定义法，作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形,根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求.垂面法：找一个过斜线且与平面垂直的面，根据面面垂直的性质知这两个面的交线即为斜线在平面内的射影，根据直角三角形或余弦定理求解.