上海市上海师范大学附属中学闵行分校2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

上师大附中闵行分校2021学年第二学期期末考试年级：高一学科：数学分值：150分姓名：______学号：______一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中1-6每题4分，7-12每题5分．只要求直接填写结果．1.已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．【答案】－25【解析】【分析】根据已知向量模长即线段的长度，解三角形求出角A，B，C，然后利用平面向量的数量积定义即可求解【详解】因为所以B＝90°，所以因为cosC＝，cosA＝，所以＝4×5×＝－16.＝5×3×＝－9.所以，故答案为：.2.若复数的实部与虚部相等，则的值为_________________．【答案】【解析】【详解】试题分析：因为，所以由题意得：考点：复数概念 3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成_____个部分.【答案】7【解析】【详解】将一个直三棱柱三个侧面无限延伸，即可得到题中所给的三个平面，从上向下看，原问题等价于平面内三条直线彼此相交与不同的3个点，考查直线将平面分成几个部分，如图所示，观察可得，直线将平面分成7个部分，则这三个平面把空间分成7个部分.4.如果复数z满足，那么的最大值是______．【答案】【解析】【分析】由复数模的几何意义得出对应的点的性质，设，计算模可得最大值．【详解】，则复数对应的点在和1两个数对应点的连线段上，即设，则，，，时，得最大值为．故答案为：．5.在正方体中，与所成的角度为的棱或面对角线有______条．【答案】【解析】【分析】结合异面直线所成角求法，依次判断各条棱与面对角线所成角大小即可得到结果. 【详解】平面，平面，，又，都与垂直；四边形为正方形，，又，，与所成角均为；，，都与垂直；，与所成角为；，为等边三角形，，，，与所成角均为；综上所述：与所成的角度为的棱或面对角线共有条.故答案为：.6.已知为实数，若复数是纯虚数，则z的虚部为______．【答案】【解析】【分析】根据纯虚数和虚部的定义，结合同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】解：因为复数是纯虚数，所以，解得，所以，即z的虚部为，故答案为：. 7.如图，中已知，，，，则用向量，表示______．【答案】【解析】【分析】设，利用的性质把分别用，表示，然后由三点共线，三点共线得出的关系，求得，得出结论．【详解】设，又，，所以，又三点共线，三点共线，所以，解得，所以．故答案为：．8.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________.【答案】36【解析】【分析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果.【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下图所示：①对于正方体的每一条棱，都有个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个；②对于正方体的每一条面对角线（如，则平面），均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个.综上所述，正方体中的“正交线面对”共有个.故答案.9.已知正六边形顶点的字母依次按逆时针顺序确定的边长为，点是内含边界的动点．设、，则的取值范围是______．【答案】【解析】分析】如图，连接,设与交于,证明求出即得解.【详解】解：如图，连接,所以,设与交于,所以，设与的夹角为，所以,所以,即 .故答案为：10.已知z为虚数，且满足，若，求复数______．【答案】或【解析】【分析】由题意，设，，且，则有，求解方程组即可得答案.【详解】解：由题意，设，，且，因为，即，所以，即，又，即，所以，解得，，所以复数或，故答案为：或. 11.在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cos(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________.【答案】【解析】【分析】当时，求得点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积.【详解】由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，π)，如图：当时，点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.由于，关于实轴对称，所以面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积.因为∠=2×=，所以扇形的面积为等于.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由“的面积等于的面积”得到“向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积”.12.在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为v（km/h），同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h，则小船被此人追上的最大速度为______．【答案】【解析】【分析】设岸边停放小船处为O，此人在岸边跑到A点后下水，在B处追上小船，人追上船所用时间为，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为，则人、船运动的路线构成一个三角形，由余弦定理可得，要使此关于的方程在内有实数解，解得，从而即可得答案.【详解】解：由题意，当人沿岸边跑的轨迹和人在水中游的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.由题意，当时，人不可能追上船，当时，人不必在岸上跑，从同一地点直接下水就可追上小船所以.设岸边停放小船处为O，此人在岸边跑到A点后下水，在B处追上小船，人追上船所用时间为，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为，人要追上小船，则人、船运动的路线满足如图所示的三角形.因为，，所以由余弦定理得，即 ，所以，要使此关于的方程在内有实数解，则有，且，解得，所以当时，人能追上小船，所以小船被此人追上的最大速度为.故答案为：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．13.一条直线和这条直线外不共线的三点，最多可确定A.三个平面B.四个平面C.五个平面D.六个平面【答案】B【解析】【分析】根据不共线的三点确定一个平面即可得解.【详解】直线和直线外的每一个点都可以确定一个平面，有三个平面，另外，不共线的三点可以确定一个平面，最多可确定四个平面．故选B．【点睛】本题主要考查了平面的性质，属于基础题.14.在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是（）（1）三角形的直观图一定是三角形（2）正方形的直观图一定是菱形（3）等腰梯形的直观图可以是平行四边形（4）菱形的直观图一定是菱形A.（1）（2）B.（1）C.（1）（3）（4）D.（1）（2）（3）（4）【答案】B 【解析】【分析】根据斜二测画法的规则可判断各结论.【详解】由斜二测画法的规则可知（1）正确，（2）错误；（3）中的平行性质不变，但梯形两底平行且长度不相等，故在直观图中平行且长度不相等，故可能为平行四边形，（3）错误；（4）中由平行于轴的长度不变，平行于轴的长度减半，故菱形的直观图为平行四边形，（4）错误；故选：B.15.已知是四边形所在平面外一点，且到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形一定是（）A.圆内接四边形B.矩形C.圆的外切四边形D.平行四边形【答案】C【解析】【分析】根据距离相等，可得点在平面上的投影到各边距离相等可得答案.【详解】如图所示，由已知得，点在平面上的投影为，所以，即点到各边距离相等，即点为四边形内切圆圆心，所以四边形为圆的外切四边形，故选：C.16.在中，，是中点，分别是边 上的动点，且，则的最小值等于A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：由,可分别以所在的直线为轴建立直角坐标系，则，，设，则．取的中点为，则由，又，则，点的轨迹为圆的第一象限部分，所以得的最小值等于.(也可以用三角换元利用三角函数求最值的方法解答)故选B.考点：向量的坐标形式，向量的数量积运算，解析几何中园的方程，线性规划中的截距型应用，也可使用三角换元，利用三角函数知识解决最值问题．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．17.已知向量，其中，记函数 ，已知的最小正周期为.(1)求；(2)当时，试求函数的值域.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）先根据向量数列积得关系式，再根据二倍角公式以及配角公式化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期性得；（2）先根据x取值范围得范围，再根据正弦函数性质确定值域.【详解】（1）（2）由（1）知，，，所以函数的值域.【点睛】本题考查二倍角公式、配角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力.18.在矩形ABCD中，，，沿BD折叠后C点在平面ABD上的射影M恰好落在AD上，如图所示．（1）求证：（2）求CD与平面ABD所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】【分析】（1）证明平面原题即得证；（2）证明就是CD与平面ABD所成角，再解三角形得解.【小问1详解】证明：如图，由题得平面,因为平面，所以.又,平面，所以平面又平面所以.【小问2详解】解：因为平面,所以就是CD与平面ABD所成角.（1）中已证平面又平面所以,所以.所以.所以.所以CD与平面ABD所成角的余弦值为.19.已知为虚数，若，且.（1）求的实部的取值范围；（2）设，求的最小值.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）设复数，根据复数的四则运算化简可得，进而可得的取值范围；（2）根据复数的四则运算，结合基本不等式可得最小值.【小问1详解】设，则，又，则，所以，所以，即，解得；【小问2详解】，由（1）得，所以，所以，又，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最小值为.20.在中，，，O为三角形ABC的外心． （1），求（2），且，求（3）在（1）条件下，，求p、q的值【答案】（1）（2）（3），．【解析】【分析】（1）由平方转化为数量积的运算可得；（2）用两种方法计算，由外心性质得，由计算，得的等式，同样计算，又得的等式，结合已知条件可求得，再由数量积定义可得；（3）结合（1）的条件（2）的方程得的方程组，解之可得．【小问1详解】，，所以，；【小问2详解】如图，是的外心，是中点，则，，同理，，则，即①，，即②， ①②得③，又，即，代入③，解得，或，时，，不合题意，舍去，时，，代入①得，即，；【小问3详解】由（1），又，由（2）知：则，即④，，即⑤，④⑤联立解得．21.如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点.（1）求证：；（2）若，，，，点在直线上运动，当在什么位置时，取到最小值？（3）在（2）的条件下，过的直线分别交线段、于点、（不含端点），若 ，，求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）在线段上且时，取到最小值；（3）．【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算计算；（2）由已知得，以为建立平面直角坐标系，用坐标运算求得，求得其最小值；（3）根据向量的线性运算得出的关系式，然后由基本不等式求得的最小值．【详解】（1）因为是中点，所以，所以，同理，，所以；（2）因为，所以，，以为建立平面直角坐标系，如图，则，由（1）知，即，，设，，，时，．所以在线段上且时，取到最小值；（3）因为，，所以，，,又三点共线，即共线， 所以，，又，，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为．