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上海市上海中学2021-2022学年高一数学下学期期末阶段练习试题(Word版附解析)
上海市上海中学2021-2022学年高一数学下学期期末阶段练习试题(Word版附解析)
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上海中学2022学年高一第二学期期末阶段练习数学试题高一________班学号________姓名________成绩________一、填空题(每空3分,共39分)1.已知点,向量,则向量__________.【答案】【解析】【分析】首先求出的坐标,再根据向量减法的坐标运算法则计算可得;【详解】解:因为,所以,又,所以;故答案为:2.已知复数,则__________.【答案】【解析】【分析】求出的共轭复数,代入,由复数的乘法运算化简复数,再由复数的模长公式即可得出答案.【详解】因为,所以,所以,则.故答案为:.3.若,则在方向上的数量投影是__________.【答案】【解析】【分析】首先求出、,再根据求出在方向上的数量投影; 【详解】解:因为,所以,,所以在方向上的数量投影为;故答案为:4.在正方体中,棱与平面所成角的余弦值为__________.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则设正方体的边长为1,分别求出直线的方向向量和平面的法向量,由线面角的公式代入即可得出答案.【详解】以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则设正方体的边长为1,,则,设平面,,则,所以,棱与平面所成角为,所以,则.故答案为:. 5.设为虚数,若,则__________.【答案】【解析】【分析】依题意可得,代入计算可得;【详解】解:因为,所以,所以,即,所以,所以;故答案为:6.在四面体中,若棱与所成角为且,则连接四条棱的中点所得四边形的面积为__________.【答案】【解析】【分析】空间四边形ABCD中,分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,连接EF、FG、GH、HE,则连接各边中点可得平行四边形,利用平行四边形的面积公式可求出结果.【详解】如图,空间四边形ABCD中,若棱与所成角为且,分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,连接EF、FG、GH、HE,则EF//GH//AC,且EF=GH=AC=2,EH//GF//BD,且EH=GF=BD=2,∴∠HEF=60°,或∠HEF=120°, 不妨取∠HEF=60°∴连接各边中点所得四边形的面积是:.故答案为:.7.在复平面上,四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点,其中三个复数分别是,则第四个复数是__________.【答案】##【解析】【分析】设第四个复数对应的点为,利用与复数对应的向量相等即可求得答案.【详解】设正方形的三点对应的复数分别为设由题意得,,即 ,即第四个复数.故答案为:8.已知均为非零向量,且与垂直,与垂直,则与的夹角为__________.【答案】##【解析】【分析】根据向量垂直的条件以及向量的夹角公式计算即可.【详解】解:设与的夹角为,非零向量,满足与互相垂直,与互相垂直,,,,,,,,又,故答案为:9.已知方程的两根满足,则__________.【答案】或【解析】 【分析】按照或进行分类讨论,由此求得的所有可能取值.【详解】已知方程的两根,由韦达定理有:,若即时,所以,解得:.若即时,所以,解得:.综上:或.故答案:或.10.正四面体ABCD的棱长为2,则所有与A,B,C,D距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______.【答案】【解析】【分析】根据题意知,到正四面体ABCD四个顶点距离相等的截面分为两类:一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面,这样的截面有4个;另一类是与一组相对的棱平行,且经过其它棱的中点的四边形截面,这样的截面有3个;求出所有满足条件的截面面积之和即可.【详解】设E、F、G分别为AB、AC、AD的中点,连结EF、FG、GE,则是三棱锥的中截面,可得平面平面BCD,点A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面BCD之间的距离,、B、C、D到平面EFG的距离相等,即平面EFG是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面;正四面体ABCD中,象这样的三角形截面共有4个. 正四面体ABCD的棱长为2,可得,是边长为1的正三角形,可得;取CD、BC的中点H、I,连结GH、HI、IE,、GH分别是、的中位线,,得四边形EGHI为平行四边形;又且,,且,四边形EGHI为正方形,其边长为,由此可得正方形EGHI面积;的中点I在平面EGHI内,、C两点到平面EGHI的距离相等;同理可得D、C两点到平面EGHI的距离相等,且A、B两点到平面EGHI的距离相等;、B、C、D到平面EGHI的距离相等,平面EGHI是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面,且正四面体ABCD中,象四边形EGHI这样的正方形截面共有3个,因此,所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于.故答案为.【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识,属于难题.11.已知为虚数,且是实数,也是实数,则的值为__________.【答案】1【解析】【分析】设,根据已知条件可得且,故可求 ,从而可求.【详解】设,因为为虚数,故,又,因为,故为实数,所以,故,而也为实数,同理可得为实数,故,,故,所以,故,若,则,同理若,则,故答案为:1.12.已知向量与的夹角为,,在时取得最小值,当时,的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由向量的运算可得,由二次函数可得,解不等可得的取值范围 【详解】由题意可得,,所以,由二次函数的性质可知,上式取得最小值时,,因为,所以,因为,所以解得,即的取值范围为,故答案为:13.中,,则的最大值是___________.【答案】【解析】【详解】由数量积的定义及余弦定理知.类似地,,.. 故已知等式化为.由余弦定理及基本不等式得:,,当且仅当时,上式等号成立.因此,的最大值.二、选择题(每题4分,共16分)14.设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,下列四个命题中,其中正确的是().A.若,则B.若,则C.若,则且D.若,则【答案】B【解析】【分析】由线、面位置关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A,若,则或与异面,故A错误;对于B,若,则,由则.故B正确;对于C,若,,则或,故C错误;对于D,若,则,故D错误.故选:B.15.若非零不共线的向量满足,则().A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则,构图即可判断【详解】(2)由非零向量,满足当,不共线时,可考虑构造等腰三角形,如图(1)所示,,则.在图(1)中,,不能比较与的大小;在图(2)中,由,得,所以为的直角三角形.易知,由三角形中大角对大边,得.故选:C16.正八边形在生活中是很常见对称图形,如图1中的正八边形的盘,图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中,,则( ) A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】在在上取一点,使得,根据C点的位置,从而求得,找到与的关系即可求得参数.【详解】连接,,且,在上取一点,使得,则四边形为平行四边形,.设,则,由图可知,故.故选:D.【点睛】方法点睛:利用向量相等及平行四边形法则,将向量的和转化为三角形中的长度关 系,从而求得参数值.17.在等腰三角形中,,M为中点,N为中点,D为边上的一个动点,沿翻折至使,点A在面上的投影为点O,当点D在上运动时,以下说法错误的是().A.线段为定长B.C.存在D的某个位置使得D.存在D的某个位置使得【答案】ABD【解析】【分析】依题意作出图形,结合图形及线面垂直的判定定理一一判断即可;【详解】解:如图所示,对于A,为直角三角形,为斜边上的中线,所以为定长,即A正确;对于B,在时,,,,故B正确;对于D,因为、,,平面,所以平面,平面,所以,所以当与重合时,满足,故D正确; 对于C:当点在点右边时,且,故不满足,当点在点左边时,记二面角的平面角为,则,而,所以,故C错误;故选:ABD.三、解答题(本大题共6题,共48分,解答各题必须写出必要的步骤)18.复数,求实数m的取值范围使得:(1)z为纯虚数;(2)z在复平面上对应的点在第四象限.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据z为纯虚数,列出方程,即可求解;(2)根据z在复平面上对应的点在第四象限,列出不等式组,即可求解;【小问1详解】,若z为纯虚数,则,解得:.【小问2详解】由题意知,,解得:.19.已知正方形所在平面外一点P满足平面,E,F分别是的中点.(1)求证:∥平面;(2)若,求与所成角的大小.【答案】(1)证明过程见解析;(2) 【解析】【分析】(1)作出辅助线,构造平行四边形,证明出线面平行;(2)作出辅助线,得到AF与AD所成的角即为与所成角,利用余弦定理求出所成角的余弦值,进而求出所成角的大小.【小问1详解】取PD中点G,连接FG,GA,因为F为PC的中点,所以FG∥CD,且FG=,因为正方形ABCD中,E为AB的中点,所以AE∥CD,AE=,所以FG∥AE,且FG=AE,所以四边形AEFG是平行四边形,所以EF∥AG,因为平面,平面所以∥平面【小问2详解】取AC中点M,连接DM,FM,因为平面,平面,所以,因为,所以,设正方形ABCD边长为a,则,因为平面, 所以平面,且,由勾股定理得:,同理可得:,因为BC∥AD,所以AF与AD所成的角即为与所成角,由余弦定理得:,故,故与所成角的大小为20.已知向量,单位向量与向量的夹角为.(1)求向量;(2)若向量与坐标轴不平行,且与向量垂直,令,请将t表示为x的函数,并求的最大值.【答案】(1)或(2),,【解析】【分析】(1)设,向量是单位向量,向量与向量夹角为,解方程组 ,由此求出.(2)首先可判断向量,根据向量垂直,得到,即可得到,再由二次函数的性质计算可得.【小问1详解】解:设,向量是单位向量,.向量与向量夹角为,,,解方程组,解得或.或.【小问2详解】解:与坐标轴平行,向量,又向量与向量垂直,,,即.又 ,即,因为所以,所以,;所以当时,.21.如图,某钢性“钉”由四条线段组成,其结构能使它任意抛至水平面后,总有一端所在的直线竖直向上,并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O,钉尖为.(1)当在同一水平面内时,求与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(2)若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为,要用某种线性材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计),共需要该种材料多少厘米?【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)组成该种钉的四条线段长必相等,且两两所成的角相等,,,,两两连结后得到的四面体为正四面体,延长交平面于B,则平面,连结,则就是与平面所成角,由此能求出与平面所成角的大小. (2)推导出,又,从而,由此能求出要用某种线型材料复制100枚这种“钉”损耗忽略不计,共需要该种材料的长度.【小问1详解】设,根据题意,可知组成该种钉的四条线段长必相等,且两两所成的角相等,,,,两两连结后得到的四面体为正四面体,延长交平面于B,则平面,连结,则是在平面上的射影,就是与平面所成角,设,则,在中,,即,,,(其中,, 与平面所成角的大小为.【小问2详解】,根据(1)可得,,要用某种线型材料复制100枚这种“钉”损耗忽略不计,共需要该种材料:(米).要用某种线型材料复制100枚这种“钉”损耗忽略不计,共需要该种材料米22.我们学过二维的平面向量,其坐标为,那么对于维向量,其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时,称为的“特征向量”,如的“特征向量”有,,,.设和为的“特征向量”,定义.(1)若,,且,,计算,的值;(2)设且中向量均为的“特征向量”,且满足:,,当时,为奇数;当时,为偶数.求集合中元素个数的最大值;(3)设,且中向量均为的“特征向量”,且满足:,,且时,.写出一个集合,使其元素最多,并说明理由. 【答案】(1),;(2)4;(3).【解析】【分析】(1)根据定义直接计算即可得出答案;(2)根据题意,得仅有1个1或3个1,再分仅有1个1时,仅有3个1时,时,三种情况分类讨论即可得出结论;(3)根据时,,则,得只有3种情况,,且成对出现,从而可得出答案.【详解】解:(1),;(2)设,,,时,为奇数,则仅有1个1或3个1,时,为偶数,①当仅有1个1时,,为使为偶数,则,即不同时为1,此时,共4个元素,②当仅有3个1时,,为使为偶数,则,即不同时0,此时,共4个元素,③当时,则,不符题意,舍去, 综上所述,集合中元素个数的最大值为4;(3),,时,,则,则只有3种情况,,且成对出现,所以B中最多有个元素,.【点睛】本题主要考查了向量的新定义及集合间的关系,考查了分类讨论思想及分析问题的能力,难度较大.
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