上海市青浦高级中学2021-2022学年高一数学下学期期末线上练习试题（Word版附解析）

上海市青浦高级中学2021学年第二学期期末高一数学线上练习一､填空题（本大题共12题，满分36分）1.已知向量，，，，则m=___________.【答案】【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求得答案.【详解】由题意得：，即，故答案为：2.已知，则的值是___________.【答案】##0.6【解析】【分析】根据诱导公式，将化为，即可得答案.【详解】因为，故，故答案为：3.复数的辐角主值是___________.【答案】##【解析】【分析】复数的代数形式化为复数的三角形式即可.【详解】复数化为复数的三角形式， 可得：，所以复数辐角主值是.故答案为：4.若，，则在上数量投影是___________.【答案】##2.2【解析】【分析】计算出的值，根据数量投影的定义即可求得答案.【详解】由题意得：，故在上的数量投影是，故答案为：5.把函数的图象向右平移个单位，得到的解析式是___________.【答案】【解析】【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，可得到答案.【详解】把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，即得到函数解析式为，故答案为：6.已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为.【答案】【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，根据题意计算出的值，并计算出圆锥的高，再利用锥体的 体积公式可得出所求圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，得，圆锥的高为，因此圆锥的体积为，故答案为.【点睛】本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是求出圆锥的母线长与半径长，考查运算能力，属于基础题.7.设地球半径为R，地球上北纬30°圈上有A，B两点，点A在西经10°，点B在东经110°，则点A和B两点东西方向的距离是___________.【答案】【解析】【分析】求出的长度，确定的大小，再由弧长公式求得A,B两地的东西方向的距离.【详解】如图示，设为北纬30°圈的圆心，地球球心为O，则,故,即北纬30°圈的圆的半径为，由题意可知,故点A和B两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的的长，故的长为,故答案为：8.有一多边形水平放置斜二测直观图是直角梯形（如图所示），其中 ，，，则原四边形的面积为__________．【答案】【解析】【分析】由四边形水平放置的直观图得出四边形的各边关系，再求四边形的面积．【详解】四边形水平放置的直观图是直角梯形，且，，，四边形中，，且，所以四边形的面积为，故答案为： 【点睛】本题考查了水平放置的直观图性质等应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．【答案】【解析】【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解，，再利用运算律转化求即可.【详解】∵，，∴，∴，，∴，∵,,，故答案为：.10.如图，在边长为的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为____________. 【答案】【解析】【分析】如图，取中点，连接、，利用，即可得就是直线与平面所成的角，解即可．【详解】如图，取中点，连接、，则，∵平面，平面，，平面，，就是直线与平面所成的角，，．故答案为：．11.a，b为异面直线，且a，b所成角为40°，过空间一点P作直线c，直线c与a，b均异面，且所成角均为，若这样的c共有四条，则的范围为___________.【答案】【解析】 【分析】设平面上两条直线m,n分别满足，则m,n相交，且夹角为，讨论的取值范围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案.【详解】设平面上两条直线m,n分别满足，则m,n相交,设交点为P，且夹角为，如图示：过空间一点P作直线c，若直线c与a，b均异面，且所成角均为，则直线c与直线m,n所成角均为，当时，不存在这样的直线c,当时，这样的直线c只有一条，当时，这样的直线c有两条，当时，这样的直线c有三条，当时，这样的直线c有四条，当时，这样的直线c只有一条，故答案为：12.如果三棱锥的底面是正角形，顶点S在底面上的射影是的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥，有下列结论：①正三棱锥的所有棱长都相等；②当三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值； ③若正三棱锥的所有棱长均为，则该棱锥内切球的半径等于；④若正三棱锥侧棱长为，一个侧面的顶角为，过点的平面分别交侧棱、于不重合的、两点，则周长的最小值等于.以上结论正确的是______.【答案】②③④【解析】【分析】利用正三棱锥的定义可判断①的正误；利用等体积法可判断②③的正误；将三棱锥的侧面沿着展开，结合余弦定理可判断④的正误.【详解】对于①，正三棱锥的侧棱长与底面边长不一定相等，故①不正确；对于②，当三棱锥所有棱长都相等时，几何体为正四面体，设三棱锥的高为，每个面的面积为，点到它的四个面的距离为、、、，则，所以为定值，故②正确；对于③，因为正三棱锥的所有棱长均为，设的中心为，如图：则，，三棱锥的体积为，设三棱锥的内切球的半径为，三棱锥的表面积为， 所以，，解得，故③正确；对于④，沿将正三棱锥剪开，并展在一个平面内，得到其侧面展开图：在侧面展开图中，当、、、四点共线时，原几何体中的周长最小，且为的长，因为正三棱锥的侧棱长为，一个侧面的顶角为，所以，，所以，所以周长的最小值等于，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.二､选择题（本大题共4题，满分12分）13.下列向量组中能够作为它们所在平面内所有向量的基底的是A.,B.,C.,D.,【答案】D【解析】 【分析】平面内不共线的非零向量可以作为基底.【详解】A选项：,共线，不能作为基底；B选项：,，两个向量共线，不能作为基底；C选项：,，两个向量共线，不能作为基底；D选项：,，两个向量不共线，可以作为基底.故选：D【点睛】此题考查平面向量基底的概念辨析，关键在于准确判定每个选项中的两个向量是否共线.14.已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点为，则这个方程可以为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由实系数一元二次方程虚根的性质可得，，再由韦达定理即可得解.【详解】由题意，该方程的一个根为，则该方程的另一个根，由，可得方程可以为.故选：A.15.教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）.A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.异面【答案】B【解析】【详解】由题意，棍子所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与棍子所 在直线垂直若棍子所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直综上，教室内有一棍子，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与棍子所在直线垂直故选：B．16.在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（含边界）一点，以下选项错误的是（）.A.若，则满足条件的P点有且只有一个B.若，则点P的轨迹是一段圆弧C.若平面，则长的最小值为D.若且平面，则平面截正方体外接球所得截面的面积为【答案】C【解析】【分析】选项A,B可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面平面,知满足平面的点P在BD上,长的最大值为，判断C；结合以上条件可知点P与点B或D重合，利用，求出，进而求得平面截正方体外接球所得截面的面积，判断D.【详解】对于A，如下图，由吗，知点P在以为球心，半径为的球上， 又因为点P在底面ABCD内（含边界），底面截球可得一个小圆，由底面ABCD,可知P点轨迹是在底面上以A为圆心的小圆圆弧，半径为，则只有唯一一点C满足题意，故A正确；对于B,由A的分析同理可得，点P在以A为圆心半径为的小圆圆弧上，在底面ABCD内（含边界）中，点P的轨迹为四分之一圆弧,故B正确；对于C,移动点P可得两相交的动直线与平面平行，则过点P必在过点且与平面平行的平面内，而平面平面,故满足平面的点在BD上,设O为正方形ABCD的中心，故的最大值为或，最小值为,故C错误; 对于D,由以上分析可知，点P既在以A为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD上，即P与点B或D重合，不妨取点B，则平面截正方体正方体外接球所得截面为的外接圆，为正三角形，设其外接圆半径为r,则，故，所以平面截正方体外接球所得截面的面积为，故D正确，故选：C【点睛】本题考查了正方体中的线面位置关系以及截面问题和动点轨迹问题，综合性较强，解答时要发挥空间想象，明确空间的点线面的位置关系，同时要结合圆的定义以及三角形的相关知识进行解答.三､解答题（共5小题，满分52分）17.已知函数，求函数的最小正周期及严格增区间.【答案】;【解析】【分析】将化简为，根据正弦函数的性质即可求得答案.【详解】由题意得： ，故最小正周期为，由得：，故函数严格增区间.18.已知关于x的方程的两个虚根为，，且，求实数a的值.【答案】【解析】分析】根据方程有两虚数根，求得，设出两虚根，可得，由此列方程求得答案.【详解】因为关于x的方程的两个虚根为，，故，即时，方程有两共轭虚数根，设为，此时，故，故解得，即实数a的值为.19.如图，在三棱锥中，，，，是的中点，，，. （1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明平面得出，结合得出平面；（2）根据计算点到平面的距离.【详解】解:（1）证明：，是中点，，由已知得，，又，平面，平面，，，，平面，平面.（2）解：设点到平面的距离为，在中，，则，平面，，，，， ，，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，棱锥体积与点到平面的距离计算，属于基础题.20.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量＝(cosB，cosC)，＝(2a＋c，b)，且⊥．(1)求角B的大小；(2)若b＝，求a＋c的范围．【答案】（1）（2）(，2]．【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosB的值，即可确定出B的度数；（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a+c的最大值，最后利用三角形两边之和大于第三边求出a+c的范围即可．【详解】(1)∵＝(cosB，cosC)，＝(2a＋c，b)，且⊥．∴(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，∴cosB(2sinA＋sinC)＋sinBcosC＝0，∴2cosBsinA＋cosBsinC＋sinBcosC＝0．即2cosBsinA＝－sin(B＋C)＝－sinA．∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosB＝－．∵0＜B＜π，∴B＝．(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2-＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号．∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2．又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范围是(，2]．【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．21.在矩形ABCD中，，.点E，F分别在AB，CD上，且，.沿EF将四边形AEFD翻折至四边形，点平面BCFE. （1）求证：平面；（2）求证：与BC是异面直线；（3）在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）1【解析】【分析】（1）证明平面平面，利用面面平行的性质定理可证明结论；（2）利用反证的方法，假设假设与BC不是异面直线，得出矛盾，即可证明结论；（3）作辅助线，找出二面角的平面角，通过设角，可得到，结合三角函数性质，可求得答案.【小问1详解】证明：因为,平面,平面,所以平面，因为,平面,平面,所以平面，因为,故平面平面,而平面,故平面；【小问2详解】证明：假设与BC不是异面直线，即四点共面，则或相交于一点，设为Q,若，因为平面BCFE，故平面BCFE，而平面,平面平面=EF,故,与且，，则不平行矛盾； 若,则平面,平面,平面平面=EF,故,则交于一点，由题意可知相交于FE延长线上，相交于EF延长线上一点，即不会交于同一点，故矛盾，由此说明即四点不共面，即与BC是异面直线；【小问3详解】如图，在平面ABCD内作于点O,作于M,作于N，故由题意可得点M为点在平面BCFE内的射影，故平面BCFE,所以,又，所以为二面角的平面角，因为,则为二面角的平面角，设，当时，点O与M重合，由可得：；当时，因为，所以， 所以，故，所以，同理当时，，则，故，所以，设，所以，所以,其中为辅助角，，由，解得，此时，解得，所以当时，取到最大值为1，综合可知最大值为1.【点睛】本题考查空间的线面平行的证明以及异面直线的证明，和二面角的求解，综合性较强，涉及到三角函数恒等变换以及性质的应用，计算量较大，综合考查了学生的数学素养以及解决问题的能力.