上海市进才中学2021-2022学年高一数学下学期6月线上测试试题（Word版附解析）

2022年6月线上测试一、填空题1.已知复数（为虚数单位），则___________.【答案】3【解析】【分析】根据，确定其实部和虚部，即可求得答案.【详解】由复数，可知其实部和虚部分别为1和,故，故答案为：32.已知复数z满足（i为虚数单位），则________．【答案】1【解析】【分析】由题可整理,利用除法法则求解,进而求得模长【详解】因为,所以,所以,故答案为：【点睛】本题考查复数的除法运算,考查复数的模,考查运算能力3.已知向量，若，则___________.【答案】1【解析】【分析】根据向量加减与平行的坐标公式计算即可【详解】由题，，又，故，解得故答案为：14已知，，则______． 【答案】【解析】【分析】由题可得，利用特殊角的三角函数值即得.【详解】由，可知，又，∴，即.故答案：.5.已知复数，（为虚数单位），且是实数，则实数___________.【答案】【解析】【分析】由共轭复数定义和复数乘法运算可求得，利用实数定义可构造方程求得.【详解】为实数，，解得：.故答案为：.6.关于的方程的一个根是，则___________.【答案】【解析】【分析】将代入到方程中，可得到相应的方程组，解得m,n的值，可得答案.【详解】因为关于的方程的一个根是，故，即，则，，解得，故，故答案为： 7.已知，则向量在向量方向上的数量投影为___________.【答案】1【解析】【分析】根据投影的坐标运算，代值计算即可.【详解】向量在向量方向上的投影，即故答案为：1.8.已知点在单位圆上，点，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积的运算法则得到，结合，求出取值范围.【详解】，其中，所以故答案为：9.已知等边三角形的边长为1，点在的边上运动，则的最大值为___________.【答案】##0.5【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算表示出，进而求得的最大值. 【详解】以线段的中点为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则，设，则，，表示到点的距离的平方再减去，由于在三边上运动，恰是线段的中点.所以的最大值，也即三边上的点到点距离的最大值的平方再减去，由图可知三边上点到的距离最大，最大值为，所以的最大值为.故答案为：10.已知函数图像如图，则函数的解析式为______． 【答案】【解析】【分析】根据函数图象得到，根据周期求出，再根据函数过点，代入求出，即可得解；【详解】解：由图可知，，所以，解得，所以，又函数过点，所以，所以，，解得，，又，所以，所以；故答案为：11.函数，的值域为______．【答案】【解析】【分析】把三角函数化简为，根据自变量的取值，求出的值域，令,则，由二次函数求值域的方法即可求出答案. 【详解】，令，因为，所以，则，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，所以，的值域为：.故答案为：.12.关于x的方程在上有两个解，则实数k的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦函数，再利用三角函数的性质求出参数的取值范围.【详解】化简为，令，因为，，故在上单调递增，在上单调递减，，所以在上有两个解，即与的图象有两个交点，即，则，所以实数k的取值范围为： 故答案为：.二、选择题13.已知，则“”是“z为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】设，运算后结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】设，则，若，满足，但z不为纯虚数，所以充分性不成立；若z为纯虚数，即，此时，必要性成立；则“”是“z为纯虚数”的必要不充分条件.故选:B.14.下列所给的四个命题中，不是真命题的为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，，所以，，故A、C为真命题，B选项，可以证明充分性和必要性均成立，为真命题，举出反例可判断D选项.【详解】设，，则，所以，A为真命题；当时，，充分性成立，当时，，必要性成立，B为真命题；，故C为真命题； 不妨设，，满足，但不满足，D为假命题.故选：D15.将的图像向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图像的函数表达式为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求得函数图像向左平移个单位得到的函数解析式，再将图像上各点的横坐标压缩为原来的，求得最终变换所得函数解析式.【详解】依题意的图像向左平移个单位得到，再将图像上各点的横坐标压缩为原来的得到.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，主要是平移变换和伸缩变换，属于基础题.16.已知为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点满足，则动线段所形成图形的面积是（）A.5B.10C.15D.20【答案】B【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，根据和，得到动点在直线上，且，进而得到扫过的三角形的面积，再由，同理得到扫过的三角形的面积，两者求和即可.【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：则，，设，∴，；由，得；又，∴；∴；∴，∴动点在直线上，且，即线段CD上，则,则扫过的三角形的面积为，设点∵，∴， ∴，，∴动点在直线上，且，即线段MN上，则,∴扫过的三角形的面积为，∴因此面积和为2+8=10，故选：B.三、解答题17.已知向量满足：，且.（1）求向量与向量夹角；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由展开，可解出，根据向量夹角公式即可求出夹角的大小；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出的值．【小问1详解】∵∴∵，且，∴．【小问2详解】∵∴，即∴． 18.已知函数(1)求的单调递增区间；(2)恒有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【详解】试题分析：(1)整理函数的解析式为则的单调递增区间是.(2)由题意得到关于实数m的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.试题解析：(1)∵当即即时单调递增，∴的单调递增区间为.(2)∵∴∴由得∴∴即.19.已知复数为虚数单位. （1）若，且为实数，求的值；（2）若，复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】(1)利用复数的乘法化简复数,通过复数是实数求出,结合的范围即可求解.（2）化简复数对应的向量分别是,然后利用向量的数量积求解即可.【小问1详解】（1）实数,可得,故，所以【小问2详解】复数,复数对应的向量分别是,, ,,解得20.设△ABC是边长为1的正三角形，点、、四等分线段BC（如图所示）．（1）求值；（2）Q为线段上一点，若，求实数m的值； 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的几何意义和向量的数量积的运算计算即可.（2）利用向量共线定理，利用对应系数相等即可求解.【小问1详解】【小问2详解】设，，又，解得.