苏教版必修第一册课后习题7.3.2 第2课时 正切函数的图象与性质

第7章三角函数7.3　三角函数的图象与性质7.3.2　三角函数的图象与性质第2课时　正切函数的图象与性质1.函数y=tanπ2x+3的最小正周期是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.4B.4πC.2πD.2答案D解析函数y=tanπ2x+3的最小正周期T=ππ2=2,故选D.2.函数y=tanπ4-x的定义域为(　　)A.x|x≠π4,x∈RB.x|x≠-π4,x∈RC.x|x≠kπ+π4,k∈ZD.x|x≠kπ+3π4,k∈Z答案D解析∵y=tanπ4-x=-tanx-π4,∴x-π4≠kπ+π2(k∈Z),即x≠kπ+3π4,k∈Z. 3.函数y=tanx1+cosx(　　)A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数答案A解析函数的定义域为xx≠kπ+π2且x≠π+2kπ,k∈Z,关于原点对称.设y=f(x)=tanx1+cosx,则f(-x)=tan(-x)1+cos(-x)=-tanx1+cosx=-f(x).所以y=f(x)是奇函数.故选A.4.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=π4所得线段长为π4,则fπ4的值是(　　)A.0B.1C.-1D.π4答案A解析由题意,T=πω=π4,∴ω=4,∴f(x)=tan4x,fπ4=tanπ=0,故选A.5.方程tan2x+π3=3在[0,2π)上的解的个数是(　　)A.5B.4C.3D.2答案B解析由题意知,2x+π3=π3+kπ,k∈Z,所以x=kπ2,k∈Z.又x∈[0,2π),所以x=0,π2,π,3π2,共4个.故选B.6.使函数y=2tanx与y=cosx同时成立的增区间是　　　　　.  答案2kπ-π2,2kπ(k∈Z),2kπ+π,2kπ+3π2(k∈Z)解析由y=2tanx与y=cosx的图象知,同时成立的增区间为2kπ-π2,2kπ(k∈Z),2kπ+π,2kπ+3π2(k∈Z).7.设函数f(x)=tanx2-π3.(1)求函数f(x)的周期、对称中心;(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.解(1)∵ω=12,∴周期T=πω=π12=2π.令x2-π3=kπ2(k∈Z),则x=kπ+2π3(k∈Z),∴f(x)的对称中心是kπ+2π3,0(k∈Z).(2)令x2-π3=0,则x=2π3;令x2-π3=π2,则x=5π3;令x2-π3=-π2,则x=-π3.∴函数y=tanx2-π3的图象与x轴的一个交点坐标是2π3,0,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-π3,x=5π3,从而得到函数y=f(x)在一个周期-π3,5π3内的简图(如图).8.函数y=1-tanx-π4的定义域为(　　)A.kπ,kπ+π4,k∈Z B.kπ,kπ+π2,k∈ZC.kπ-π4,kπ+π2,k∈ZD.kπ-π4,kπ+π4,k∈Z答案C解析由1-tanx-π4≥0,得tanx-π4≤1,所以kπ-π2<x-π4≤kπ+π4,k∈Z,解得kπ-π4<x≤kπ+π2,k∈Z,故所求函数的定义域为kπ-π4,kπ+π2,k∈Z,故选C.9.若函数f(x)=tanωx-π4与函数g(x)=sinπ4-2x的最小正周期相同,则ω=(　　)A.±1B.1C.±2D.2答案A解析∵函数g(x)的周期为2π2=π,∴π|ω|=π,∴ω=±1.10.函数y=tanx+π5的一个对称中心是(　　)A.(0,0)B.π5,0C.4π5,0D.(π,0)答案C解析令x+π5=kπ2,k∈Z,得x=kπ2-π5,k∈Z,所以函数y=tanx+π5的对称中心是kπ2-π5,0,k∈Z.令k=2,可得函数的一个对称中心为4π5,0.11.直线x=aπ(0<a<1)与函数y=tanx的图象无公共点,则不等式tanx≥2a的解集为(　　)A.x|kπ+π6≤x<kπ+π2,k∈Z B.x|kπ+π4≤x<kπ+π2,k∈ZC.x|kπ+π3≤x<kπ+π2,k∈ZD.x|kπ-π4≤x<kπ+π4,k∈Z答案B解析∵直线x=aπ与函数y=tanx的图象无公共点,且0<a<1,∴aπ=π2,∴a=12,故tanx≥2a可化为tanx≥1.结合正切函数的图象,可得不等式tanx≥2a的解集为xkπ+π4≤x<kπ+π2,k∈Z,故选B.12函数y=|tanx|,y=tanx,y=tan(-x),y=tan|x|在-3π2,3π2上的大致图象依次是(　　)A.①②③④B.②①③④C.①②④③D.②①④③答案C解析函数y=|tanx|对应的图象为①,y=tanx对应的图象为②,y=tan(-x)对应的图象为④,y=tan|x|对应的图象为③.故选C.13.(多选)列关于函数f(x)=tan2x+π4的相关性质的命题,正确的有(　　)A.f(x)的定义域是x|x≠π8+kπ2,k∈ZB.f(x)的最小正周期是πC.f(x)的增区间是kπ2-3π8,kπ2+π8(k∈Z) D.f(x)的对称中心是kπ2-π8,0(k∈Z)答案AC解析对A,令2x+π4≠π2+kπ(k∈Z),解得x≠kπ2+π8(k∈Z),则函数y=f(x)的定义域是xx≠π8+kπ2,k∈Z,故A选项正确;对B,函数y=f(x)的最小正周期为π2,故B选项错误;对C,令kπ-π2<2x+π4<kπ+π2(k∈Z),解得kπ2-3π8<x<kπ2+π8(k∈Z),则函数y=f(x)的增区间是kπ2-3π8,kπ2+π8(k∈Z),故C选项正确;对D,令2x+π4=kπ2(k∈Z),解得x=kπ4-π8(k∈Z),则函数y=f(x)的对称中心为kπ4-π8,0(k∈Z),故D选项错误.14.(多选)若直线y=m(m为常数)与函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支相交于A,B两点,且|AB|=π4,则(　　)A.函数f(x)的最小正周期为π2B.ω=4C.函数f(x)图象的对称中心的坐标为kπ8,0(k∈Z)D.函数|f(x)|图象的对称轴方程均可表示为x=kπ2(k∈Z)答案BC解析∵|AB|=π4,则T=π4,∴ω=4.故A错误,B正确;令4x=12kπ,k∈Z,∴x=18kπ,k∈Z.∴y=tan4x的图象的对称中心为kπ8,0(k∈Z).故C正确;y=|f(x)|图象的对称轴方程为x=kπ8(k∈Z),故D错误.15.已知函数y=tanωx在-π2,π2内是减函数,则ω的取值范围是　　　　　.  答案[-1,0)解析∵y=tanωx在-π2,π2内是减函数,∴ω<0且T=π|ω|≥π.∴|ω|≤1,即-1≤ω<0.16数f(x)=lgtanx+1tanx-1的定义域为　　　　　　　　　　　　　　,f(x)为　　　　　函数(填“奇”或“偶”). 答案kπ-π2,kπ-π4∪kπ+π4,kπ+π2(k∈Z)　奇解析由tanx+1tanx-1>0,得tanx>1或tanx<-1.∴函数定义域为kπ-π2,kπ-π4∪kπ+π4,kπ+π2(k∈Z),关于原点对称.f(-x)+f(x)=lgtan(-x)+1tan(-x)-1+lgtanx+1tanx-1=lg-tanx+1-tanx-1·tanx+1tanx-1=lg1=0.∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.17.比较下列两组函数值的大小.(1)tan(-1280°)与tan1680°;(2)tan1,tan2,tan3.解(1)∵tan(-1280°)=tan(-4×360°+160°)=tan(180°-20°)=tan(-20°),tan1680°=tan(4×360°+240°)=tan(180°+60°)=tan60°,而函数y=tanx在-90°到90°上是增函数, ∴tan(-20°)<tan60°,即tan(-1280°)<tan1680°.(2)∵tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π),又∵π2<2<π,∴-π2<2-π<0.∵π2<3<π,∴-π2<3-π<0,显然-π2<2-π<3-π<1<π2,且y=tanx在-π2,π2内是增函数,∴tan(2-π)<tan(3-π)<tan1,即tan2<tan3<tan1.18设函数f(x)=tanx2-π3.(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心;(2)求不等式-1≤f(x)≤3的解集.解(1)由x2-π3≠kπ+π2,k∈Z,得到函数的定义域为xx≠5π3+2kπ,k∈Z;周期T=2π;增区间为-π3+2kπ,5π3+2kπ(k∈Z),无减区间;对称中心为2π3+kπ,0(k∈Z).(2)由题意得kπ-π4≤x2-π3≤kπ+π3,k∈Z,则π6+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈Z,可得不等式的解集为xπ6+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈Z.19.已知函数f(x)=2tankx-π3(k∈N*)的最小正周期T满足1<T<32,求正整数k的值,并指出f(x)的奇偶性、单调区间.解因为1<T<32, 所以1<πk<32,即2π3<k<π.因为k∈N*,所以k=3,则f(x)=2tan3x-π3.由3x-π3≠π2+kπ得,x≠5π18+kπ3,k∈Z,定义域不关于原点对称,所以f(x)=2tan3x-π3既不是奇函数也不是偶数.由-π2+kπ<3x-π3<π2+kπ,得-π18+kπ3<x<5π18+kπ3,k∈Z.所以f(x)=2tan3x-π3的增区间为-π18+kπ3,5π18+kπ3,k∈Z.