苏教版必修第一册课后习题5.3 第2课时 函数的最大(小)值

第5章函数概念与性质5.3　函数的单调性第2课时　函数的最大(小)值1.函数f(x)=1x在[1,+∞)上(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值答案A解析结合函数f(x)=1x在[1,+∞)上的图象可知函数有最大值无最小值.2.函数f(x)=-x2+4x-6,x∈[0,5]的值域为(　　)A.[-6,-2]B.[-11,-2]C.[-11,-6]D.[-11,-1]答案B解析函数f(x)=-x2+4x-6=-(x-2)2-2,x∈[0,5],所以当x=2时,f(x)取得最大值为-(2-2)2-2=-2;当x=5时,f(x)取得最小值为-(5-2)2-2=-11.所以函数f(x)的值域是[-11,-2].故选B.3.如图是函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在[-4,-1]上是减函数,在[-1,3]上是增函数B.f(x)在(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2C.f(x)在[-4,1]上有最小值-2,有最大值3D.当直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点时-1<t<2答案C解析对于A,由函数图象可得,f(x)在[-4,-1]上是减函数,在[-1,1]上是增函数,在[1,3]上是减函数,故A错误;对于B,由图象可得,f(x)在(-1,3)上的最大值为f(1)=3,无最小值,故B错误;对于C,由图象可得,f(x)在[-4,1]上有最小值f(-1)=-2,有最大值f(1)=3,故C正确;对于D,由图象可得,为使直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点,只需-1≤t≤2,故D错误.故选C.4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.90万元B.120万元C.120.25万元D.60万元答案B解析设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.因为该函数图象的对称轴为直线x=192,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元.5.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,1]B.(-∞,0] C.(-∞,0)D.(0,+∞)答案C解析令f(x)=-x2+2x,则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.又x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f(2)=0,∴a<0.6.若函数f(x)=1x在区间[1,a]上的最小值为14,则a=　　　　　. 答案4解析∵f(x)=1x在区间[1,a]上是减函数,∴函数f(x)的最小值为f(a)=1a=14,∴a=4.7.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为　　　　. 答案1解析函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,x∈[0,1],且函数有最小值-2.故当x=0时,函数有最小值,当x=1时,函数有最大值.∵当x=0时,f(0)=a=-2,∴f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.8.画出函数f(x)=-2x,x∈(-∞,0),x2+2x-1,x∈[0,+∞)的图象,并写出函数的单调区间,函数的最小值.解函数的图象如图所示. 由图象可知f(x)的增区间为(-∞,0)和[0,+∞),无减区间;函数的最小值为f(0)=-1.9.已知函数f(x)=-x2+2x-3.(1)求f(x)在区间[2a-1,2]上的最小值g(a);(2)求g(a)的最大值.解(1)f(x)=-(x-1)2-2,f(2)=-3,f(0)=-3,当2a-1≤0,即a≤12时,f(x)min=f(2a-1)=-4a2+8a-6;当0<2a-1<2,即12<a<32时,f(x)min=f(2)=-3.所以g(a)=-4a2+8a-6,a≤12,-3,12<a<32.(2)当a≤12时,g(a)=-4a2+8a-6是增函数,所以g(a)≤g12=-3.又当12<a<32时,g(a)=-3,所以g(a)的最大值为-3.10已知函数f(x)=3x-11-x,其定义域是[-4,-2),则(　　)A.f(x)有最大值-73,最小值-135B.f(x)有最大值-73,无最小值C.f(x)有最大值-135,最小值-73D.f(x)有最小值-135,无最大值答案D 解析函数f(x)=3x-11-x=-3+21-x.因为x∈[-4,-2),所以-x∈(2,4],所以1-x∈(3,5];所以21-x∈25,23,所以-3+21-x∈-135,-73,所以f(x)∈-135,-73,所以f(x)有最小值-135,无最大值.故选D.11知函数f(x)=kx2-4x+8在[5,10]上是减函数,且f(x)在[5,10]上的最小值为-32,则实数k的值为(　　)A.-45B.0C.0或-45D.0或17答案B解析由函数f(x)=kx2-4kx+8在[5,10]上是减函数可知,当x=10时,函数取最小值,即100k-40+8=-32,解得k=0.当k=0时,f(x)=-4x+8,函数是减函数,满足题意.故选B.12已知f(x)=x2-ax+a2在区间[0,1]上的最大值为g(a),则g(a)的最小值为(　　)A.0B.12C.1D.2答案B解析f(x)=x2-ax+a2的开口向上,对称轴为直线x=a2,①当a2≤12,即a≤1时,此时函数取得最大值g(a)=f(1)=1-a2;②当a2>12,即a>1时,此时函数取得最大值g(a)=f(0)=a2.故g(a)=1-a2,a≤1,a2,a>1, 故当a=1时,g(a)取得最小值12.故选B.13.(多选)若函数y=ax+1在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是(　　)A.2B.-2C.1D.0答案AB解析由题意a≠0,当a>0时,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知a=±2.14.(多选已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是(　　)A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值C.f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5D.当0<a<1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为f(a),当a>1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为1答案BCD解析函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.对于A,因为f(x)在区间[-1,0]上是减函数,所以f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,故A错误;对于B,因为f(x)在区间[-1,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=1,又因为f(-1)=5,f(2)=2,f(-1)>f(2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)=5,故B正确;对于C,因为f(x)在区间[2,3]上是增函数,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,故C正确;对于D,当0<a<1时,f(x)在区间[0,a]上是减函数,f(x)的最小值为f(a),当a>1时,由图象知f(x)在区间[0,a]上的最小值为f(1)=1,故D正确.故选BCD.15.(多选)已知函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),下列结论正确的是(　　)A.∀x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则a<-3B.∃x∈[0,3],g(x)=a,则-1≤a≤3C.∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)D.∃x∈[-2,2],∀t∈[0,3],f(x)=g(t) 答案ABD解析对于A,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是减函数,所以当x=2时,函数的最小值为-3,因此a<-3,故A正确;对于B,函数g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],当x=1时,函数g(x)取得最小值-1,当x=3时,函数g(x)取得最大值3,故函数的值域为[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈g(x)的值域,即-1≤a≤3,故B正确;对于C,∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],故C错误;对于D,∃x∈[-2,2],∀t∈[0,3],f(x)=g(t)等价于g(t)的值域是f(x)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],故D正确.故选ABD.16.函数g(x)=2x-x+1的值域为　　　　. 答案-178,+∞解析设x+1=t(t≥0),则x+1=t2,即x=t2-1,∴y=2t2-t-2=2t-142-178,t≥0,∴当t=14时,ymin=-178,∴函数g(x)的值域为-178,+∞.17设f(x)=x2-2ax+a2,x∈[0,2],当a=-1时,f(x)的最小值是　　　　;若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为　　　　. 答案1　(-∞,0]解析当a=-1时,f(x)=x2+2x+1的图象开口向上,对称轴为直线x=-1,所以函数f(x)=x2+2x+1在[0,2]上是增函数,所以函数的最小值f(x)min=f(0)=1.若f(0)是f(x)的最小值,说明对称轴x=a≤0,则a≤0,所以a的取值范围为(-∞,0].18.函数f(x)=2x-ax的定义域为(0,1](a为实数).(1)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;(2)若f(x)>5在定义域上恒成立,求a的取值范围. 解(1)∀x1,x2∈(0,1],且x1<x2,则有f(x1)-f(x2)=(x1-x2)2+ax1x2>0,即a<-2x1x2恒成立,∴a≤-2.故a的取值范围为(-∞,-2].(2)由2x-ax>5(x∈(0,1]),得a<2x2-5x(x∈(0,1])恒成立.∵2x2-5x=2x-542-258,∴函数y=2x2-5x在(0,1]上是减函数,∴当x=1时,函数取得最小值-3,即a<-3.故a的取值范围为(-∞,-3).19已知二次函数f(x)的图象过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值是74.(1)求f(x)的解析式;(2)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.解(1)由题知二次函数图象的对称轴为直线x=32,又最小值是74,∴可设f(x)=ax-322+74(a≠0).又图象过点(0,4),则a0-322+74=4,解得a=1,∴f(x)=x-322+74=x2-3x+4.(2)由已知,f(x)>2x+m对x∈[-1,3]恒成立,∴m<x2-5x+4对x∈[-1,3]恒成立,∴m<(x2-5x+4)min(x∈[-1,3]).∵g(x)=x2-5x+4在x∈[-1,3]上的最小值为-94,∴m<-94. 故实数m的取值范围为-∞,-94.20已知函数f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a,b的值;(2)若不等式f(x)-kx≤0在x∈[2,3]上恒成立,求实数k的取值范围.解(1)∵f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)的图象开口向上,且对称轴为直线x=1,∴f(x)在[2,3]上是增函数,∴f(x)min=f(2)=4a-4a+1+b=1,f(x)max=f(3)=9a-6a+1+b=4, 解得a=1,b=0.(2)由(1)得f(x)=x2-2x+1,∴不等式f(x)-kx≤0,即x2-(2+k)x+1≤0在x∈[2,3]上恒成立.令g(x)=x2-(2+k)x+1,g(x)的图象开口向上,则要使g(x)≤0在x∈[2,3]上恒成立,需满足g(2)=4-4-2k+1≤0,g(3)=9-6-3k+1≤0,解得k≥43,∴实数k的取值范围为43,+∞.