苏教版必修第一册课件5.3 第2课时 函数的最大(小)值

第5章第2课时　函数的最大(小)值 课标要求1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义;2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最大(小)值;3.掌握求二次函数在闭区间上的最大(小)值的方法. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点函数最大值与最小值项目最大值最小值条件设y=f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有结论那么称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)ymax=f(x0)ymin=f(x0) 名师点睛函数最大(小)值和值域的联系与区别(1)联系:函数的最大(小)值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域.(2)区别:①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;②若函数的最大(小)值存在,则最大(小)值一定是值域中的元素,例如:函数f(x)=x2对任意的x∈R,都有f(x)≥-1,但是f(x)的最小值不是-1,因为-1不在f(x)的值域内. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是f(b).()(2)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值一定是f(a)或f(b).()(3)增函数一定有最大(小)值.()2.若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?√××提示不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是. 重难探究•能力素养全提升 探究点一利用函数的图象求函数的最大(小)值(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象;(2)根据函数的图象写出函数的单调区间、最大值、最小值.解(1)f(x)的图象如图所示.(2)由图可知f(x)的增区间为[-1,0],[2,5],减区间为[0,2],最大值为3,最小值为-1. 规律方法用图象法求最大(小)值的步骤 变式训练1函数y=f(x),x∈[-2,2]的图象如图所示,则函数的最大值、最小值分别为()答案C 探究点二利用函数的单调性求最大(小)值(1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.解(1)f(x)在(-1,+∞)上单调递增,证明如下,任取-1<x1<x2,因为-1<x1<x2,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增. (2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增,规律方法函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个. 变式训练2求函数f(x)=x+在[1,4]上的最大值和最小值.解任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.同理f(x)在[2,4]上单调递增.∴当x=2时,f(x)取得最小值4;当x=1或x=4时,f(x)取得最大值5. 探究点三二次函数的最大(小)值问题【例3】已知函数f(x)=x2-ax+1,求f(x)在[0,1]上的最大值.综上,当a≤1时,f(x)在[0,1]上的最大值为2-a;当a>1时,f(x)在[0,1]上的最大值为1. 规律方法二次函数“轴动区间定”问题的求解策略“轴动区间定”型的问题,对于对称轴的位置变化情况必须进行分类讨论,其分类标准为对称轴与x轴交点横坐标在给定区间内变化;对称轴与x轴交点横坐标在给定区间外变化.若对称轴与x轴交点横坐标只能在给定区间内变化,则只需考虑其与端点的距离. 变式探究在本例条件不变的情况下,求f(x)在[0,1]上的最小值. 综上,当a≤0时,f(x)在[0,1]上的最小值为1;当0<a<2时,f(x)在[0,1]上的最小值为1-;当a≥2时,f(x)在[0,1]上的最小值为2-a. 变式训练3求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值与最小值.解y=(x-a)2-1-a2.当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a. 当1<a≤2时,结合图象(如图③)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=0处取得最大值-1.当a>2时,函数在[0,2]上单调递减,如图④.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1;当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1. 本节要点归纳1.知识清单:(1)函数的最大值、最小值的定义;(2)求解函数最大(小)值的方法.2.方法归纳:配方法、分类讨论法、数形结合法.3.常见误区:(1)在利用单调性求最大(小)值时,不要忘记求函数的定义域;(2)求含参数的二次函数的最大(小)值时,不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论. 学以致用•随堂检测全达标 1.已知函数f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2答案C解析由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2. 答案B 3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为()A.[0,3]B.[-1,0]C.[-1,+∞)D.[-1,3]答案D解析∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值-1,当x=3时,函数取得最大值3,故函数的值域为[-1,3],故选D. 4.函数f(x)=x2-4x+3,x∈[1,4],则f(x)的最大值为.5.函数y=ax+1在区间[1,3]上的最大值为4,则a=.答案3解析由题意,函数f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,x∈[1,4],所以当x=4时,f(x)取最大值f(4)=3.答案1解析若a<0,则函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递减,并且在区间的左端点处取得最大值,即a+1=4,解得a=3,不满足a<0,舍去;若a>0,则函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递增,并且在区间的右端点处取得最大值,即3a+1=4,解得a=1.综上,a=1. (1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数的最大值和最小值.解(1)函数f(x)在[2,6]上单调递减.证明如下,设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,由2≤x1<x2≤6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 本课结束