2022年高考数学新教材一轮复习第2章函数2函数的单调性与最大小值课件（新人教版）

2.2函数的单调性与最大(小)值第二章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.理解单调函数的定义,理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义.2.掌握定义法证明函数单调性的步骤.3.理解函数的最大(小)值的概念,理解它们的作用和实际意义.4.会借助函数的单调性求函数的最值.备考指导函数的单调性是函数最重要的性质之一,也是高考命题的热点.复习时要明确单调区间与在区间上单调的不同,会求给定函数的单调区间,并能利用单调性比较大小、解不等式、求最值等.解决此类问题时要注意函数的定义域优先原则.\n内容索引010203第一环节　必备知识落实第二环节　关键能力形成第三环节　学科素养提升\n第一环节　必备知识落实\n【知识筛查】1.增函数与减函数的定义\n温馨提示1.求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.2.一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.3.函数在某个区间上是单调函数,但在整个定义域上不一定是单调函数,如函数在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,但在定义域上不具有单调性.\n问题思考“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”,两种说法的含义相同吗?不相同,这是两个不同的概念,显然N⊆M.\n2.函数的最大(小)值\n\n2.基本初等函数的单调区间\n3.单调函数的运算性质(1)若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则f(x)+g(x)也在区间A上单调递增(减);(2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反;\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数在区间(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数.()(2)函数f(x)=log5(2x+1)的单调递增区间是(0,+∞).()(3)设任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2,则f(x)在区间[a,b]上单调递增⇔.()(4)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞).()(5)若一个函数在定义域内的某几个子区间上都单调递增,则这个函数在定义域上是增函数.()(6)所有的单调函数都有最值.()××√×××\n2.函数在区间[1,+∞)上()A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值A函数是反比例函数,当x∈(0,+∞)时,函数图象下降,所以在区间[1,+∞)上f(x)单调递减,f(1)为f(x)在区间[1,+∞)上的最大值,函数在区间[1,+∞)上没有最小值.故选A.3.下列函数中,在区间(0,1)内单调递增的是()A.y=|x|B.y=3-xC.D.y=-x2+4Ay=3-x在R上是减函数,在区间(0,+∞)上单调递减,y=-x2+4在区间(0,+∞)上单调递减,故选A.\n4.设定义在区间[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的单调递增区间为.[-1,1]和[5,7]由题图可知函数的单调递增区间为[-1,1]和[5,7].\n5.若函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是.6.若函数f(x)满足“对任意的x1,x2∈R,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”,则满足f(2x-1)<f(1)的实数x的取值范围为.因为函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,所以2k+1<0,即(1,+∞)由题意知,函数f(x)在定义域内为减函数,∵f(2x-1)<f(1),∴2x-1>1,即x>1,∴x的取值范围为(1,+∞).\n第二环节　关键能力形成\n能力形成点1确定函数的单调性命题角度1确定不含参函数的单调性(区间)例1(1)函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是()B\n(2)函数的单调递增区间为,单调递减区间为.[2,+∞)(-∞,-3]\n命题角度2确定含参函数的单调性(区间)例2判断并证明函数(其中1<a<3)在区间[1,2]上的单调性.\n拓展延伸如何用导数法求解本例?因为1≤x≤2,所以1≤x3≤8,又1<a<3,所以2ax3-1>0,所以f'(x)>0,\n解题心得判断函数单调性常用以下几种方法:(1)定义法:一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.(2)图象法:若f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法:①对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的单调性进行判断;②对于复合函数,先将函数y=f(g(x))分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.\n对点训练1(1)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)D函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,即函数y=x2-2x-8在区间(4,+∞)上单调递增.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).\n(2)函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间是.[-1,0],[1,+∞)由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,该函数的图象如图所示,由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞).\n对点训练2讨论函数在区间(0,+∞)内的单调性.\n\n能力形成点2利用函数的单调性求最值例3已知函数(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.\n解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.\n对点训练3已知函数,求函数f(x)在区间[1,5]上的最值.\n能力形成点3函数单调性的应用命题角度1利用函数的单调性比较大小B\n\n命题角度2解函数不等式例5已知定义在区间[-2,2]上的函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,且f(a2-a)>f(2a-2),则实数a的取值范围为.[0,1)因为函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,所以函数在区间[-2,2]上单调递增,所以-2≤2a-2<a2-a≤2,解得0≤a<1.\n命题角度3利用函数的单调性求参数\n(2)已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,则满足的x的取值范围是.解题心得1.比较函数值的大小,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决.2.解有关函数的不等式,主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.应注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用.3.分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.\nA\n(2)已知函数f(x)为R上的减函数,则满足的实数x的取值范围是()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)C\n(3)已知函数若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为.(4)已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是.(1,2]由题意,得,则a≤2,又y=ax-a(x>1)是增函数,故a>1,所以a的取值范围为1<a≤2.(-4,4]设g(x)=x2-ax+3a,根据对数函数及复合函数的单调性知,g(x)在区间[2,+∞)内单调递增,且g(2)>0,得解得-4<a≤4,故实数a的取值范围是(-4,4].\n第三环节　学科素养提升\n抽象函数的单调性问题典例设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0<f(x)<1.求证:(1)f(0)=1;(2)当x∈R时,恒有f(x)>0;(3)f(x)在R上是减函数.思路分析(1)可通过赋值求f(0);(2)可通过f(0)=f(x+(-x))=f(x)·f(-x)证明f(x)>0;(3)利用定义可证明函数f(x)的单调性.\n证明:(1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n).∵f(n)≠0,∴f(0)=1.(2)由题意知,当x>0时,0<f(x)<1,∵当x=0时,f(0)=1>0,当x<0时,-x>0,∴0<f(-x)<1.∵f(x+(-x))=f(x)·f(-x),∴f(x)·f(-x)=1,故当x∈R时,恒有f(x)>0.(3)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)=f(x1+(x2-x1)),得f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)·f(x2-x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1].由(2)知f(x1)>0,又x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1,故f(x2)-f(x1)<0.故f(x)在R上是减函数.\n解题心得抽象函数单调性的判断方法:一种是“凑”,凑定义或凑已知,从而使用定义或已知条件得出结论;另一种是“赋值”,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.注意:若给出的是和型(f(x+y)=…)抽象函数,则判定符号时的变形为f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1),f(x2)-f(x1)=f(x2)-f((x1-x2)+x2);\n变式训练已知定义在区间(0,+∞)内的函数f(x)对任意x,y∈(0,+∞),恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当0<x<1时,f(x)>0,判断f(x)在区间(0,+∞)内的单调性.