第三章函数的概念与性质2.1第2课时函数的最大小值训练（附解析新人教A版必修第一册）

函数的最大（小）值A级——基础过关练1．函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为(　　)A．f，fB．f(0)，fC．f，f(0)D．f(0)，f(3)【答案】B　【解析】观察函数图象，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f.2．(2020年南宁高一期中)函数y＝在区间[2,6]上的最大值为(　　)A．1B．－C．－1D．【答案】A　【解析】根据题意，函数y＝在区间[2,6]上单调递减，所以当x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝1.故选A．3．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是(　　)A．10,5B．10,1C．5,1D．以上都不对【答案】B　【解析】因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1.当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B．4．(多选)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有(　　)A．y＝＋B．y＝4x＋C．y＝3x－D．y＝x－1＋【答案】ACD　【解析】选项A，x≥1，y＝＋≥2＝2，当且仅当x＝2时，y5 取得最小值2；选项B，y＝4x＋在x≥1递增，可得y的最小值为5；选项C，y＝3x－在x≥1递增，可得y的最小值为2；选项D，y＝x－1＋＝(x＋1)＋－2≥2－2＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2.故选ACD．5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)A．－1B．0C．1D．2【答案】C　【解析】因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.所以f(x)在[0,1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.6．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝________.【答案】－2　0　【解析】y＝－(x－3)2＋18，∵a＜b＜3，∴f(x)在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.7．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，0)　【解析】令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又x∈[0,2]，所以f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.所以a<0.8．如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30m，则要使每间笼舍面积达到最大，每间笼舍的宽度应为______m.【答案】5　【解析】设笼舍的宽为xm，则笼舍的长为(30－3x)m，每间笼舍的面积为y＝x(30－3x)＝－(x－5)2＋37.5，x∈(0,10)．当x＝5时，y取得最大值，即每间笼舍的宽度为5m时，每间笼舍面积达到最大．9．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．(1)判断函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－5 ＝＝＝.因为x1，x2∈[3,5]且x1<x2，所以x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以函数f(x)＝在[3,5]上为增函数．(2)由(1)知当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝.B级——能力提升练10．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为(　　)A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对【答案】A　【解析】易知f(x)在[－1,1]和[1,2]上都为增函数，所以最大值为f(2)＝2×2＋6＝10，最小值为f(－1)＝－1＋7＝6.11．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)A．[1，＋∞)B．[0,2]C．(－∞，2]D．[1,2]【答案】D　【解析】f(x)＝(x－1)2＋2，因为f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，所以1≤m≤2.故选D．12．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元【答案】C　【解析】设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，所以当x＝9或x＝10时，L最大为120万元．5 13．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0,1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】[0，＋∞)　【解析】(方法一)－x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0,1]，设f(x)＝x2－4，即a≥f(x)max.又f(x)max＝f(0)＝0，所以a≥0.(方法二)设f(x)＝－x2＋4x＋a，由题意知解得a≥0.14．(2021年上饶高一期末)对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，函数y＝a2－4a＋6的下确界为________．【答案】2　【解析】函数y＝a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2，则函数y＝a2－4a＋6的下确界为2.15．已知函数f(x)＝，其中x∈[2，＋∞)．(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)＞a恒成立，求a的取值范围．解：(1)f(x)＝x＋＋2，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2).∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4.∴1－＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．∴当x＝2时，f(x)取得最小值为.(2)∵f(x)的最小值为，∴要使f(x)＞a恒成立，只需f(x)min＞a，即a＜.故a的取值范围为.C级——探究创新练16．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)是R上的单调减函数；5 (2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．(1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x1<x2，则x2－x1>0.因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0.又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)．所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0.所以f(x2)<f(x1)．所以f(x)是R上的单调减函数．(2)解：由(1)可知f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数．所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2，所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.5