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第三章函数的概念与性质2.2奇偶性训练(附解析新人教A版必修第一册)

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奇偶性A级——基础过关练1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(  )A     B     C     D【答案】B 【解析】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.2.函数f(x)=-x的图象(  )A.关于y轴对称B.关于直线y=x对称C.关于坐标原点对称D.关于直线y=-x对称【答案】C 【解析】因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=--(-x)=x-=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称.3.(2020年贺州高一期中)函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(-3)=2,则f(3)=(  )A.1B.-2C.3D.2【答案】D 【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(3)=f(-3)=2.故选D.4.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是(  )A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数【答案】A 【解析】由f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),由g(x)是奇函数,可得g(-x)=-g(x),故|g(x)|为偶函数,∴f(x)+|g(x)|为偶函数.5.(2021年义乌高一期末)定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则(  )A.f(3)>f(-4)<f(-π)5 B.f(-π)<f(-4)<f(3)C.f(3)<f(-π)<f(-4)D.f(-4)<f(-π)<f(3)【答案】C 【解析】因为f(x)在R上是偶函数,所以f(-π)=f(π),f(-4)=f(4).而3<π<4,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以f(3)<f(π)<f(4),即f(3)<f(-π)<f(-4). 6.(2020年淮安高一期中)已知f(x)是R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-,则f(-2)=________.【答案】- 【解析】x>0时,f(x)=2x-,所以f(2)=2·2-=,而f(x)是R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2),即f(-2)=-.7.(2020年宿迁高一期中)已知函数f(x)=x2+bx(b∈R)为偶函数,则f的值为________.【答案】 【解析】已知函数f(x)=x2+bx(b∈R)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2+b(-x)=x2+bx⇒b=0,所以f(x)=x2,所以f=.8.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b=________,单调递减区间为________.【答案】 (-∞,0] 【解析】根据题意,有(a-1)+2a=0,解得a=.若f(x)为偶函数,则由f(-x)=f(x),得b=0,所以f(x)=+1,递减区间为(-∞,0].9.(1)如图1,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值;(2)如图2,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.解:(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,-f(-x))关于原点的对称点为P′(x,f(x)),图甲为题图1补充后的图象,易知f(3)=-2.5 (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于y轴对称点为P′(x,f(x)),图乙为题图2补充后的图象,易知f(1)>f(3).B级——能力提升练10.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则f(3)=(  )A.21B.-21C.26D.-26【答案】B 【解析】设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数.由题设可得f(-3)=g(-3)-8=5,得g(-3)=13.又g(x)为奇函数,所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21.11.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是(  )A.f(x)的最大值为B.f(x)在(-1,0)上是增函数C.f(x)>0的解集为(-1,1)D.f(x)+2x≥0的解集为[0,3]【答案】AD 【解析】由题意,易得f(x)=画出f(x)的图象(图略)易知当x=±时,f(x)取得最大值为,A正确;f(x)在上递增,在上递减,B错误;f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1),C错误;f(x)+2x=当x≥0,由3x-x2≥0,得0≤x≤3,当x<0时,由x-x2≥0,得0≤x≤1,无解,所以f(x)+2x≥0的解集为[0,3],D正确.故选AD.12.(2020年赣州高一期中)偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(0)=-1,f(-1)=0,则满足-1≤f(x-2)≤0的x取值范围是(  )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]5 【答案】D 【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1)=0,因为在[0,+∞)上单调递增,所以要求满足-1≤f(x-2)≤0的x取值范围,只需使x-2∈[-1,1],解得x∈[1,3].故选D.13.设奇函数f(x)的定义域为[-6,6],当x∈[0,6]时,f(x)的图象如图所示,不等式f(x)<0的解集用区间表示为________.【答案】[-6,-3)∪(0,3) 【解析】由f(x)在[0,6]上的图象知,满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3).又f(x)为奇函数,图象关于原点对称,所以在[-6,0)上,不等式f(x)<0的解集为[-6,-3).综上可知,不等式f(x)<0的解集为[-6,-3)∪(0,3).14.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)从小到大的排列是________________.【答案】f(-2)<f(1)<f(0) 【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)恒成立,即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立,所以m=0,即f(x)=-x2+2.因为f(x)的图象开口向下,对称轴为y轴,在[0,+∞)上单调递减,所以f(2)<f(1)<f(0).又因为f(x)=-x2+2为偶函数,所以f(2)=f(-2).所以f(-2)<f(1)<f(0).15.设函数f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+4x.(1)求f(x)的表达式;(2)证明:f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(1)解:当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x(x<0).所以f(x)=(2)证明:设任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=(x+4x2)-(x+4x1)=(x2-x1)·(x2+x1+4).因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x2+x1+4>0.所以f(x2)-f(x1)>0.所以f(x1)<f(x2).所以f(x)是(0,+∞)上单调递增.C级——探究创新练16.已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0},对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)<0,f(2)=-1.(1)求证:f(x)是偶函数;5 (2)求证:f(x)在(0,+∞)上单调递减;(3)解不等式f(x2-1)<2.(1)证明:由题意知,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),当x1=1,x2=-1,得f(-1)=f(-1)+f(1),解得f(1)=0;当x1=-1,x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0,解得f(-1)=0.令x1=-1,x2=x,得f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).所以f(x)是偶函数.(2)证明:设x1,x2是(0,+∞)上任意两个变量,且x1<x2,设x2=tx1(t>1),则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(tx1)=f(x1)-f(x1)-f(t)=-f(t).因为当x>1时,f(x)<0,所以f(t)<0,即f(x1)-f(x2)=-f(t)>0.所以f(x1)>f(x2),即f(x)在(0,+∞)上单调递减.(3)解:因为f(2)=-1,令x1=2,x2=,则f=f(2)+f=f(1)=0,即f=-f(2)=-(-1)=1.所以f=f=f+f=2f=2×1=2.故不等式f(x2-1)<2等价为不等式f(x2-1)<f.因为f(x)在(0,+∞)上单调递减且f(x)是偶函数,所以x2-1<-或x2-1>,即x2<或x2>,即-<x<或x>或x<-.故不等式的解集为.5

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-01-13 10:00:05 页数:5
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文章作者:随遇而安

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