第三章函数1函数的概念与性质综合拔高练（附解析新人教B版必修第一册）

综合拔高练五年高考练考点1　函数的概念及表示1.(2019江苏,4,5分,)函数y=7+6x-x2的定义域是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.(2016浙江,12,6分,)设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,则实数a=　　　　,b=　　　　. 考点2　函数的图像3.(2020天津,3,5分,)函数y=4xx2+1的图像大致为(　　)考点3　分段函数4.(2017山东,9,5分,)设f(x)=x,0<x<1,2(x-1),x≥1.若f(a)=f(a+1),则f1a=(　　)A.2B.4C.6D.85.(2018课标全国Ⅱ,11,5分,)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(　　)A.-50B.0C.2D.506.(2019课标全国Ⅱ,12,5分,)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m的取值范围是(　　)A.-∞,94B.-∞,73C.-∞,52D.-∞,837.(2018天津,14,5分,)已知a∈R,函数f(x)=x2+2x+a-2,x≤0,-x2+2x-2a,x>0,若对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是　　　　. 14 考点4　函数性质的综合应用8.(2020新高考Ⅰ,8,5分,)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]9.(2017课标全国Ⅰ,5,5分,)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]10.(2016山东,9,5分,)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,fx+12=fx-12,则f(6)=(　　)A.-2B.-1C.0D.211.(2017课标全国Ⅱ,14,5分,)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　. 12.(2018中国科技大学自主招生试题,6改编,)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)单射(即如果x,y∈(0,+∞),且x≠y,那么f(x)≠f(y)),对任意的x>0,有xf(x)>1,f(xf(x)-1)=2,当x>0时,求f(x)的解析式.三年模拟练应用实践　　　　　　　　　　　　　　　　　　14 1.()已知函数f(x)=g(x),x>0,2x+1,x≤0是R上的偶函数,则g(3)=(　　)A.5B.-5C.7D.-72.(2021湖南长沙一中高一上阶段性检测,)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数,若f(2)=-1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围为(　　)A.[-2,2]B.[-1,3]C.[1,3]D.[-1,1]3.()若奇函数f(x)在区间[2,8]上是减函数且最小值为6,则f(x)在区间[-8,-2]上是(　　)A.增函数且最小值为-6B.增函数且最大值为-6C.减函数且最小值为-6D.减函数且最大值为-64.(2020黑龙江哈尔滨三中高一上第一次阶段性验收,)已知函数f(x)=(x+1)2,x≤-1,2x+2,-1<x<1,1x,x≥1,若f(a)>1,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-2)∪-12,+∞B.-12,12C.(-∞,-2)∪-12,1D.-2,-12∪(1,+∞)5.(2021江西赣州南康中学高一上期末,)历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet),当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义,数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象,狄利克雷在1829年给出了著名函数:f(x)=1,x∈Q,0,x∈Qc(其中Q为有理数集,Qc为无理数集),狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化,数学的一些“人造”特征开始展现出来,这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地,广义的狄利克雷函数可定义为:D(x)=a,x∈Q,b,x∈Qc(其中a,b∈R,且a≠b),以下对D(x)的说法错误的是(　　)A.D(x)的定义域为RB.当a>b时,D(x)的值域为[b,a];当a<b时,D(x)的值域为[a,b]C.D(x)为偶函数14 D.D(x)在实数集的任何区间上都不具有单调性6.(2019山东烟台期中,)已知函数f(x)=1,x≥0,-1,x<0,则不等式(x+1)f(x)>2的解集是(　　)A.(-3,1)B.(-∞,-3)C.(-∞,-3)∪(1,+∞)D.(-∞,-3)∪[1,+∞)7.()已知函数f(x)=dax2+bx+c(a,b,c,d∈R)的图像如图所示,则下列说法与图像符合的是(　　)A.a>0,b>0,c<0,d>0B.a<0,b>0,c<0,d>0C.a<0,b>0,c>0,d>0D.a>0,b<0,c>0,d>08.()已知定义在R上的增函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,x1,x2,x3∈R,且x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值(　　)A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.正负都有可能9.(多选)(2021吉林梅河口第五中学高一上月考,)若函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中正确的有(　　)A.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)-f(x2)x1-x2>0D.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>010.(2021上海大同中学高一上期中,)函数y=(1-x)(x-2)的单调递减区间是　　　　. 11.()已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(4)=5,若f(2x+1)<5,则x的取值范围是　　　　　. 12.(2020河北石家庄二中高一上月考,)已知函数f(x)=-x24,0<x≤4,4-2x,x>4,函数h(x)(x≠0)为偶函数,且当x>0时,h(x)=f(x).若h(t)>h(2),则实数t的取值范围为　　　　　　　. 14 13.(2018北京丰台高三一模,)函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,函数f(x)的图像是由一段抛物线和一条射线组成的(如图所示).(1)当x∈[-1,1]时,y的取值范围是　　　　; (2)如果对任意x∈[a,b](b<0),都有y∈[-2,1],那么b的最大值是　　　　. 14.(2018北京海淀高一上期中,)已知f(x)的定义域为{x∈R|x≠0},且f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+bx+c,f(1)=f(3),f(2)=2.(1)求b,c的值;(2)求f(x)在x<0时的解析式;(3)解不等式f(x)<-2.15.(2021河南重点高中联考,)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=2x-mx2-nx+2.(1)求m,n的值;(2)用定义证明f(x)在(-2,2)上为增函数;(3)若f(x)≤a3对任意x∈[-1,1]恒成立,求实数a的取值范围.16.(2020湖南衡阳一中高一上期中,)已知函数f(x)对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,有f(x)>0.(1)求证:f(x)是R上的增函数;14 (2)求证:f(x)是R上的奇函数;(3)若f(1)=1,解不等式f(x2)-f(x+2)>4.迁移创新17.()已知函数f(x)同时满足以下条件:①定义域为R;②值域为[0,1];③f(x)-f(-x)=0.试写出f(x)的一个函数解析式,f(x)=　　　　　. 18.(2020山东烟台高一上期中,)经过对函数性质的学习,我们知道“函数y=f(x)的图像关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”.(1)若f(x)为偶函数,且当x≤0时,f(x)=2x-1,求f(x)的解析式,并求不等式f(x)>f(2x-1)的解集;(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究,得到一个真命题:“函数y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a)为偶函数”.若函数g(x)的图像关于直线x=1对称,且当x≥1时,g(x)=x2-1x.①求g(x)的解析式;②求不等式g(x)>g(3x-1)的解集.14 答案全解全析第三章　函数3.1综合拔高练五年高考练3.A4.C5.C6.B8.D9.D10.D1.答案　[-1,7]解析　要使函数有意义,则7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7,故函数的定义域为[-1,7].2.答案　-2;1解析　f(x)-f(a)=x3-a3+3(x2-a2)=(x-a)[x2+ax+a2+3(x+a)]=(x-a)[x2+(a+3)·x+a2+3a]=(x-a)(x-a)(x-b),则x2+(a+3)x+a2+3a=x2-(a+b)x+ab,即a+3=-(a+b),a2+3a=ab,解得a=-2,b=1.3.A　设y=f(x)=4xx2+1,易知f(x)的定义域为R,f(-x)=-4xx2+1=-f(x),∴函数f(x)=4xx2+1是奇函数,∴y=f(x)的图像关于原点对称,排除C、D,易知f(1)=2,排除B,故选A.4.C　当a≥1时,由f(a)=f(a+1),得2(a-1)=2a,无解,所以0<a<1,a+1>1.由f(a)=f(a+1),得a=2a,解得a=14(a=0舍去),则f1a=f(4)=2×(4-1)=6.5.C　因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(0)=0,f(-x)=-f(x)①,又因为f(1-x)=f(1+x),所以f(-x)=f(2+x)②,由①②可得f(2+x)=-f(x),则有f(4+x)=f(x).由f(1)=2,得f(-1)=-2,14 故令x=1,得f(0)=f(2)=0,令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.6.B　由题意可知,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x=12时,f(x)min=-14,且当x=13时,f(x)=-29.当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],则f(x)=2f(x-1).当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],则f(x)=12f(x+1).∴若x∈(1,2],则当x=32时,f(x)min=-12,且x=43时,f(x)=-49.同理,若x∈(2,3],则当x=52时,f(x)min=-1,且x=73时,f(x)=-89.∴函数f(x)的大致图像如图所示.∵f(x)≥-89对任意x∈(-∞,m]恒成立,∴当x∈(-∞,m]时,f(x)min≥-89,由图可知m≤73.故选B.7.答案　18≤a≤2解析　当-3≤x≤0时,由f(x)≤|x|得x2+2x+a-2≤-x,即a≤-x2-3x+2,而-x2-3x+2的最小值为2,所以a≤2.当x>0时,由f(x)≤|x|得-x2+2x-2a≤x,即2a≥-x2+x,而-x2+x的最大值为14,所以a≥18.综上,18≤a≤2.8.D　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图像关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图像如图:14 当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.9.D　已知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数,则f(-1)=-f(1)=1,所以原不等式可化为f(1)≤f(x-2)≤f(-1),则-1≤x-2≤1,即1≤x≤3,故选D.10.D　当x>12时,由fx+12=fx-12可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),又由题意知f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.11.答案　12解析　因为函数f(x)为奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.解析　由函数f(x)单射,且f(xf(x)-1)=2,得xf(x)-1是常数,令xf(x)-1=t(x>0),则f(x)=t+1x,且f(t)=2①,因此tf(t)-1=t,所以f(tf(t)-1)=2,由f(t)=2,得f(2t-1)=2②,由①②及函数f(x)单射得t=2t-1,解得t=1,所以f(x)=2x(x>0).三年模拟练1.B2.B3.D4.C5.B6.C7.B8.A9.CD1.B　∵函数f(x)=g(x),x>0,2x+1,x≤0是R上的偶函数,∴g(3)=f(3)=f(-3)=-6+1=-5,故选B.2.B　因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=1,则-1≤f(x-1)≤1等价于f(2)≤f(x-1)≤f(-2),又f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以-2≤x-1≤2,所以-1≤x≤3.3.D　由奇函数的图像关于原点对称可知,f(x)在对称区间上单调性相同,函数在[2,8]上的最小值为6,则在[-8,-2]上的最大值为-6,故选D.4.C　当a≤-1时,由f(a)=(a+1)2>1,解得a>0或a<-2,故a<-2;当-1<a<1时,由f(a)=2a+2>1,解得a>-12,故-12<a<1;当a≥1时,由f(a)=1a>1,解得a<1,故无解.综上,a∈(-∞,-2)∪-12,1,故选C.5.B　显然无理数集和有理数集的并集是实数集,故A正确;14 D(x)的函数值只有两个,所以D(x)的值域为{b,a},故B错误;若x∈Q,则-x∈Q,D(x)=D(-x)=a,若x∈Qc,则-x∈Qc,D(x)=D(-x)=b,所以D(x)为偶函数,故C正确;由于任何两个有理数之间都有无理数,任何两个无理数之间也都有有理数,D(x)的函数值在a,b之间无限转换,所以D(x)在实数集的任何区间上都不具有单调性,故D正确.6.C　当x≥0时,f(x)=1,故原不等式转化为x+1>2,解得x>1;当x<0时,f(x)=-1,故原不等式转化为-(x+1)>2,解得x<-3.综上,原不等式的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞).故选C.7.B　由题中图像可知,x≠1且x≠5,由ax2+bx+c≠0,可知方程ax2+bx+c=0的两根为x1=1,x2=5,由根与系数的关系得x1+x2=-ba=6,x1x2=ca=5,∴a,b异号,a,c同号,∵f(0)=dc<0,∴c,d异号,结合四个选项,只有选项B符合题意,故选B.8.A　由f(-x)+f(x)=0得f(x)在R上为奇函数,∵x1+x2>0,∴x1>-x2,∵f(x)在R上单调递增,∴f(x1)>f(-x2)=-f(x2),∴f(x1)+f(x2)>0,同理,f(x1)+f(x3)>0,f(x2)+f(x3)>0,故f(x1)+f(x2)+f(x3)>0,故选A.9.CD　函数f(x)在[a,b]上是增函数,若a≤x2<x1≤b,则f(a)≤f(x2)<f(x1)≤f(b),A选项错误;若x1<x2,则f(x1)<f(x2),B选项错误;若a≤x1<x2≤b,则x1-x2<0,f(x1)<f(x2),则f(x1)-f(x2)<0,此时f(x1)-f(x2)x1-x2>0,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;若a≤x2<x1≤b,则x1-x2>0,f(x1)>f(x2),则f(x1)-f(x2)>0,此时f(x1)-f(x2)x1-x2>0,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故C,D选项都正确.10.答案　32,2解析　解不等式(1-x)(x-2)≥0,得1≤x≤2,所以函数的定义域为[1,2],又二次函数y=(1-x)(x-2)图像的对称轴为直线x=32,开口向下,因此函数y=(1-x)(x-2)的单调递减区间是32,2.11.答案　-∞,-52∪32,+∞14 解析　因为f(x)为偶函数,所以f(2x+1)=f(|2x+1|),又因为f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(4)=5,所以f(2x+1)<5等价于f(|2x+1|)<f(4),所以|2x+1|>4,解得x<-52或x>32,即x的取值范围是-∞,-52∪32,+∞.12.答案　(-2,0)∪(0,2)解析　因为当x>0时,h(x)=f(x),所以当x>0时,h(x)=-x24,0<x≤4,4-2x,x>4,易知函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,又因为函数h(x)(x≠0)为偶函数,且h(t)>h(2),所以h(|t|)>h(2),所以0<|t|<2,所以t≠0,-2<t<2,即-2<t<0或0<t<2.13.答案　(1)[1,2]　(2)-2解析　(1)由题中图像可知,当x=0时,函数在[-1,1]上的最小值ymin=1,当x=±1时,函数在[-1,1]上的最大值ymax=2,所以当x∈[-1,1],函数y=f(x)的值域为[1,2].(2)当x∈[0,3]时,函数f(x)=-(x-1)2+2,此时若f(x)=1,解得x=0或x=2;当x∈(3,+∞)时,函数f(x)=x-5,此时若f(x)=1,解得x=6.故在[0,+∞)上,满足y∈[-2,1]的最大范围为[2,6].又因为函数为偶函数,图像关于y轴对称,所以对于任意x∈[a,b](b<0),要使得y∈[-2,1],则[a,b]⊆[-6,-2],则实数b的最大值是-2.14.解析　(1)∵f(1)=f(3),f(2)=2,∴-1+b+c=-9+3b+c,-4+2b+c=2,解得b=4,c=-2.(2)设x<0,则-x>0,由(1)知当x>0时,f(x)=-x2+4x-2,∴f(-x)=-(-x)2+4(-x)-2,∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-x2-4x-2,∴f(x)=x2+4x+2,即当x<0时,f(x)的解析式为f(x)=x2+4x+2.(3)当x>0时,由-x2+4x-2<-2得x<0或x>4,又∵x>0,∴x>4;当x<0时,由x2+4x+2<-2得(x+2)2<0,不等式无解.综上,不等式f(x)<-2的解集为{x|x>4}.14 15.解析　(1)因为奇函数f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1).故f(0)=0-m02-n×0+2=0,解得m=0,所以f(x)=2xx2-nx+2.由f(-1)=-f(1),得-2(-1)2-n×(-1)+2=-212-n×1+2,解得n=0,所以f(x)=2xx2+2.经检验,f(x)=2xx2+2是定义在R上的奇函数,所以m=n=0.(2)证明:由(1)知f(x)=2xx2+2,任取x1,x2∈(-2,2),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x1x12+2-2x2x22+2=2x1(x22+2)-2x2(x12+2)(x12+2)(x22+2)=2(x2-x1)(x1x2-2)(x12+2)(x22+2).因为-2<x1<2,-2<x2<2,所以-2<x1x2<2,故x1x2-2<0.因为x1<x2,所以x2-x1>0,又因为x12+2>0,x22+2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(-2,2)上为增函数.(3)因为f(x)在(-2,2)上为增函数,所以函数f(x)在[-1,1]上为增函数,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=23,由题意可得a3≥23,解得a≥2.故实数a的取值范围为[2,+∞).16.解析　(1)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1),∵对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),∴f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),又∵x>0时,f(x)>0,且x2-x1>0,14 ∴f(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1),即f(x)是R上的增函数.(2)证明:∵对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),∴令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),即f(x)是R上的奇函数.(3)若f(1)=1,则f(2)=2f(1)=2,f(4)=2f(2)=4,∴不等式f(x2)-f(x+2)>4等价于f(x2)-f(x+2)>f(4),由(2)知函数f(x)为奇函数,∴-f(x+2)=f(-x-2),∴f(x2)-f(x+2)=f(x2)+f(-x-2),∴f(x2-x-2)>f(4),又由(1)知f(x)在R上单调递增,∴x2-x-2>4,即x2-x-6>0,∴x<-2或x>3,∴原不等式的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).17.答案　x2,-1≤x≤1,0,x>1或x<-1或|x|,-1≤x≤1,0,x>1或x<-1(答案不唯一)18.解析　(1)设x>0,则-x<0,则f(-x)=2·(-x)-1=-2x-1,又因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=-2x-1,所以f(x)=2x-1,x≤0,-2x-1,x>0.因为f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,所以f(x)>f(2x-1)等价于|x|<|2x-1|,即x2<(2x-1)2,解得x<13或x>1.所以不等式的解集是x|x<13或x>1.(2)①因为g(x)的图像关于直线x=1对称,所以y=g(x+1)为偶函数,所以g(1+x)=g(1-x),即g(x)=g(2-x)对任意x∈R恒成立.又因为当x<1时,2-x>1,14 所以g(x)=g(2-x)=(2-x)2-12-x=x2-4x+4+1x-2,所以g(x)=x2-1x,x≥1,x2-4x+4+1x-2,x<1.②任取x1,x1∈[1,+∞),且x1<x2,则g(x1)-g(x2)=x12-1x1-x22-1x2=(x1-x2)x1+x2+1x1x2,因为x1<x2,所以x1-x2<0,又因为x1+x2>0,1x1x2>0,所以(x1-x2)·x1+x2+1x1x2<0,即g(x1)<g(x2),所以函数y=g(x)在[1,+∞)上是增函数,又因为函数g(x)的图像关于直线x=1对称,所以g(x)>g(3x-1)等价于|x-1|>|3x-2|,即(x-1)2>(3x-2)2,解得12<x<34.所以不等式的解集为x|12<x<34.14