21函数的最大小值课时检测（附解析新人教A版必修第一册）

函数的最大(小)值[A级　基础巩固]1．函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为(　　)A．f，－　　　　　　　B．f(0)，fC．f，f(0)D．f(0)，解析：选B　观察题中函数图象，f(x)最大值、最小值分别为f(0)，f.2．若函数f(x)＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　)A．10B．10或20C．20D．无法确定解析：选C　当k＝0时，不符合题意；当k>0时，f(x)＝在[2，4]上单调递减，∴f(x)min＝f(4)＝＝5，∴k＝20，符合题意；当k<0时，f(x)＝在[2，4]上单调递增，f(x)min＝f(2)＝＝5，∴k＝10，又∵k<0，∴k＝10舍去．综上知k＝20.3．函数f(x)＝的最大值为(　　)A．1B．2C．D．解析：选B　当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2，故选B.6 4．若∀x∈，都有不等式－x＋a＋1≥0成立，则a的最小值为(　　)A．0B．－2C．－D．－解析：选D　设f(x)＝－x＋a＋1，由不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈都成立，可得f(x)min≥0.因为f(x)在上是减函数，所以当x∈时，f(x)min＝a＋，所以a＋≥0，即a≥－，所以amin＝－，故选D.5．(多选)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)(　　)A．最大值为2B．最大值为1C．最小值为－1D．无最小值解析：选BD　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示．根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝1，由图象知f(x)无最小值．故选B、D.6．已知二次函数f(x)＝2x2－4x，则f(x)在上的最大值为________．解析：由题可知二次函数f(x)＝2x2－4x图象的对称轴方程为x＝1，因此函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在上单调递增．因为f(－1)＝6，f＝－，所以f(－1)>f，故函数f(x)在区间上的最大值为f(－1)＝6.答案：67．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝________．解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，解得b＝0(b＝6不合题意，舍去)．－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．答案：－2　08．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌汽车，销售x6 辆该品牌汽车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元．解析：设该公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，所以当x＝9或10时，L最大为120万元．答案：1209．已知函数f(x)＝.(1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增；(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值与最小值．解：(1)证明：∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知函数f(x)在区间[2，4]上单调递增，∴f(x)max＝f(4)＝＝，f(x)min＝f(2)＝＝.10．若函数y＝f(x)＝x2－6x＋10在区间[0，a]上的最小值是2，求实数a的值．解：由题意知，f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，①若a≥3，f(x)min＝f(3)＝1，不符合题意；②若0<a<3，f(x)在[0，a]上单调递减，所以f(x)min＝f(a)＝2，所以a＝2或a＝4，因为0<a<3，所以a＝2.综上所述，a＝2.[B级　综合运用]11．已知函数f(x)＝，其定义域是[－8，－4)，则下列说法正确的是(　　)A．f(x)有最大值，无最小值B．f(x)有最大值，最小值C．f(x)有最大值，无最小值6 D．f(x)有最大值2，最小值解析：选A　因为函数f(x)＝＝＝2＋，由函数的图象可知f(x)在[－8，－4)上单调递减，则f(x)在x＝－8处取得最大值，最大值为，x＝－4取不到函数值，即最小值取不到．故选A.12．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(　　)A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值C．f(x)在区间[2，3]上有最小值2，最大值5D．当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)；当a>1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1解析：选BCD　函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)在区间[2，3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(a)，当a>1时，因为f(x)在区间[0，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，所以f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(1)＝1，D正确．故选B、C、D.13．已知函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[0，m]上有最大值2，最小值1，则m的取值范围为________．解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，其图象开口向上，对称轴方程为x＝1，且f(x)min＝f(1)＝1.令f(x)＝x2－2x＋2＝2，解得x＝0或x＝2.由题意及图象可知，1≤m≤2.6 即m的取值范围是[1，2]．答案：[1，2]14．某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：x4550y2712(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数的定义域)；(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润．解：(1)因为f(x)是一次函数，所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由题中表格可得解得所以y＝f(x)＝－3x＋162.又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]．(2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]．所以当x＝42时，Pmax＝432，即当销售单价为42元时，能获得最大的日销售利润．[C级　拓展探究]15．已知函数f(x)为二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，且f(x)在区间[－1，4]上的最大值为12.(1)求f(x)的解析式；(2)设函数f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．解：(1)由题意可设f(x)＝ax(x－5)(a>0)，又由题可知，f(x)的图象开口向上，图象的对称轴为直线x＝，则在区间[－1，4]上，f(x)max＝f(－1)＝6a＝12，解得a＝2，所以f(x)＝2x2－10x.(2)由(1)知，当t≥时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，则g(t)＝f(t)＝2t2－10t；当t<<t＋1，即<t<时，f(x)在区间上单调递减，在区间6 上单调递增，则g(t)＝f＝－；当t＋1≤，即t≤时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则g(t)＝f(t＋1)＝2t2－6t－8.综上所述，g(t)＝6