苏教版必修第一册课后习题5.3 第1课时 函数的单调性

第5章函数概念与性质5.3　函数的单调性第1课时　函数的单调性1.下列函数在(0,2)上是增函数的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.y=1xB.y=2x-1C.y=1-2xD.y=(2x-1)2答案B解析对于A,y=1x在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;对于B,y=2x-1在R上是增函数;对于C,y=1-2x在R上是减函数;对于D,y=(2x-1)2在-∞,12上是减函数,在12,+∞上是增函数.故选B.2.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则(　　)A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)答案D解析对于D,因为a2+1>a,f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)<f(a).而对于其他选项,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.3.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-3]B.[-3,+∞)C.(-∞,5]D.[3,+∞)答案A 解析由二次函数的性质知,f(x)的对称轴为直线x=-2(a-1)2=1-a,由题意得1-a≥4,解得a≤-3.故选A.4.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2)时,f(x)是减函数,则m=　　　　,f(1)=　　　　　. 答案-8　13解析∵函数f(x)在区间(-∞,-2)上是减函数,在区间[-2,+∞)上是增函数,∴x=m4=-2,∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13.5.作出函数f(x)=-x-3,x≤1,(x-2)2+3,x>1的图象,并指出函数f(x)的单调区间.解函数f(x)=-x-3,x≤1,(x-2)2+3,x>1的图象如图所示.由图可知,函数f(x)=-x-3,x≤1,(x-2)2+3,x>1的减区间为(-∞,1],(1,2],增区间为[2,+∞).6.证明:函数f(x)=x2-1x在区间(0,+∞)上是增函数.证明任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x12-1x1-x22+1x2=(x1-x2)x1+x2+1x1x2.∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2+1x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函数f(x)=x2-1x在区间(0,+∞)上是增函数. 7.已知函数f(x)=(a-3)x+5,x≤1,2ax,x>1是R上的减函数,则实数a的取值范围是(　　)A.(0,3)B.(0,3]C.(0,2)D.(0,2]答案D解析依题意得实数a满足a-3<0,2a>0,(a-3)+5≥2a,解得0<a≤2.8.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是(　　)A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1]答案D解析f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,∵f(x)在区间[1,2]上是减函数,∴a≤1.∵g(x)=ax+1在区间[1,2]上是减函数,∴a>0,∴0<a≤1.9如果f(x)=mx2+(m-1)x+1在区间(-∞,1]上为减函数,则实数m的取值范围为(　　)A.0,13B.0,13C.0,13D.0,13答案B解析当m=0时,f(x)=-x+1,满足在区间(-∞,1]上为减函数;当m≠0时,由于f(x)=mx2+(m-1)x+1的对称轴为直线x=1-m2m,且函数在区间(-∞,1]上为减函数,则m>0,1-m2m≥1,解得0<m≤13.综上可得,0≤m≤13. 故选B.10定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2<0且f(2)=4,则不等式f(x)-8x>0的解集为(　　)A.(2,+∞)B.(0,2)C.(0,4)D.(-∞,2)答案B解析由题意,定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2<0,设g(x)=xf(x),可得g(x1)-g(x2)x1-x2<0,所以函数g(x)在(0,+∞)上是减函数.因为f(2)=4,则2f(2)=8.不等式f(x)-8x>0,可化为8-xf(x)x<0,即8-xf(x)<0,即2f(2)-xf(x)<0,即g(x)>g(2),可得x<2,x>0,解得0<x<2,所以不等式f(x)-8x>0的解集为(0,2).故选B.11.(多选下列函数在区间(0,1)上是增函数的是(　　)A.y=|x|B.y=x+3C.y=|x-2|D.y=-x2+4答案AB解析y=|x|在区间(0,+∞)上是增函数,故A正确;y=x+3在区间(-∞,+∞)上是增函数,故B正确;当x∈(0,1)时,y=|x-2|=2-x,则y=|x-2|在区间(0,1)上是减函数,故C错误;y=-x2+4在区间(0,+∞)上是减函数,故D错误.故选AB.12.(多选)如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论正确的是(　　)A.f(x1)-f(x2)x1-x2>0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b) D.f(x1)>f(x2)答案AB解析由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;对于选项C,D,因为x1,x2的大小关系无法判断,则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断,故C,D不正确.故选AB.13.(多选)已知f(x)是定义在R上的增函数,则下列结论错误的有(　　)A.y=[f(x)]2是增函数B.y=1f(x)(f(x)≠0)是减函数C.y=-f(x)是减函数D.y=|f(x)|是增函数答案ABD解析设f(x)=x,f(x)在R上是增函数.对于A,y=x2在(-∞,0)上是减函数,故A错误.对于B,y=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但不能说y=1x是减函数,故B错误.对于C,y=-x上是减函数,下面证明一般性:由于f(x)是定义在R上的增函数,设x1,x2为R上的任意两个值,且x1<x2,则(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0,当y=-f(x)时,(x1-x2)(-f(x1)+f(x2))>0,则y=-f(x)是减函数,故C正确.对于D,y=|x|在(-∞,0)上是减函数,故D错误.故选ABD.14.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f12的实数x的取值范围为　　　　. 答案-1,12解析由题设得-1≤x≤1,x<12,解得-1≤x<12.15若函数是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0都有f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x+6)+f(x)<2f(4)的解集为　　　　　　　　. 答案{x|0<x<2} 解析对一切x>0,y>0都有f(xy)=f(x)+f(y),所以f(x+6)+f(x)=f[x(x+6)],2f(4)=f(4)+f(4)=f(4×4)=f(16).则不等式f(x+6)+f(x)<2f(4)等价于f[x(x+6)]<f(16),即x>0,x(x+6)<16,解得0<x<2.故不等式的解集为{x|0<x<2}.16.已知一次函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)(x+m),且f(f(x))=16x+5.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)在(1,+∞)上是增函数,求实数m的取值范围.解(1)由题意设f(x)=ax+b(a>0).从而f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=16x+5,所以a2=16,ab+b=5,解得a=4,b=1或a=-4,b=-53(不合题意,舍去).所以f(x)的解析式为f(x)=4x+1.(2)g(x)=f(x)(x+m)=(4x+1)(x+m)=4x2+(4m+1)x+m,g(x)图象的对称轴为直线x=-4m+18.若g(x)在(1,+∞)上是增函数,则-4m+18≤1,解得m≥-94,所以实数m的取值范围为-94,+∞.17.已知函数f(x)=ax+bx2+1,且f12=-25,f(0)=0.(1)确定函数的解析式;(2)用定义法判断函数在区间(-1,1)上的单调性. 解(1)因为f(0)=0,f12=-25,所以有b=0,12a+b14+1=-25,解得b=0,a=-1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=-xx2+1.(2)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-x11+x12--x21+x22=(x1-x2)(x1x2-1)(1+x12)(1+x22),因为-1<x1<x2<1,所以x1-x2<0,x1x2-1<0,1+x12>0,1+x22>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数.