苏教版必修第一册课件7.3.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质

第7章第1课时　正弦函数、余弦函数的图象与性质 课标要求1.能利用单位圆和三角函数的定义画y=sinx,y=cosx的图象;2.掌握“五点法”画正弦曲线与余弦曲线的步骤和方法,能利用“五点法”作出简单的正弦函数、余弦函数图象;3.初步掌握正弦、余弦函数的基本性质,并理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1“五点”法作图及正弦函数、余弦函数的图象函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx图象图象画法“五点法”关键五点(0,0),,(π,0),,(2π,0)(0,1),,(π,-1),,(2π,1) 名师点睛1.正弦函数的图象叫作正弦曲线;余弦函数的图象叫作余弦曲线.2.“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法.3.两者的图象可以通过左右平移得到. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)×√√√ 2.为什么把正弦、余弦曲线向左(右)平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变?提示由诱导公式一知sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z),可得正弦曲线、余弦曲线向左(右)平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变. 知识点2正弦函数、余弦函数的性质鉴于两类函数具有周期性,我们通常记住一个周期内的性质函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx定义域RR值域周期性2π2π[-1,1][-1,1] 函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx单调性在每一个闭区间_____________(k∈Z)上都单调递增,其值由-1增大到1;在每一个闭区间_____________(k∈Z)上都单调递减,其值由1减小到-1在每一个闭区间___________(k∈Z)上都单调递增,其值由-1增大到1;在每一个闭区间上都单调递减,其值由1减小到-1最值当且仅当x=+2kπ(k∈Z)时,取得最大值1;当且仅当x=-+2kπ(k∈Z)时,取得最小值-1当且仅当x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值1;当且仅当x=2kπ+π(k∈Z)时,取得最小值-1[2kπ-π,2kπ][2kπ,2kπ+π](k∈Z) 函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx奇偶性奇函数偶函数对称轴x=kπ+,k∈Zx=kπ,k∈Z对称中心(kπ,0),k∈Zk∈Z 名师点睛1.正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点,即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值.2.正弦曲线有无数个对称中心,它们为点(kπ,0)(k∈Z);也有无数条轴对称图形,其对称轴的方程为x=kπ+(k∈Z).3.余弦曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形.对称中心的坐标为(k∈Z),对称轴方程为x=kπ(k∈Z). 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=sinx的图象向右平移个单位长度得到函数y=cosx的图象.()(2)存在实数x,使得cosx=.()(3)函数y=sinx,x∈(0,π)是奇函数.()(4)函数y=sinx的增区间恰好是y=sin(-x)的减区间.()×××√ 2.正弦函数在第一象限单调递增,这种说法对吗? 重难探究•能力素养全提升 探究点一用“五点法”作函数的图象【例1】用“五点法”作出下列函数的简图:(1)y=+sinx,x∈[0,2π];(2)y=1-cosx,x∈[0,2π].解(1)选用“五点法”画一个周期的图象,列表: 描点画图,然后由周期性得整个图象. (2)选用“五点法”画一个周期的图象,列表:描点画图,然后由周期性得出整个图象. 规律方法用“五点法”画函数y=Asinx+b(A≠0)(或y=Acosx+b(A≠0))在区间[0,2π]上的简图的步骤(1)列表:(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来. 变式训练1函数y=2-sinx,x∈[0,2π]的简图是() 答案A解析列表:观察各图象发现A项符合. 探究点二三角函数的奇偶性【例2】判断下列函数的奇偶性.(2)f(x)=sin(cosx).解(1)函数的定义域为R, (2)函数的定义域为R,且f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cosx)=f(x),所以函数f(x)=sin(cosx)是偶函数. 规律方法利用定义判断函数奇偶性的三个步骤若函数f(x)的定义域不关于原点对称,无论f(-x)与f(x)有何关系,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 变式训练2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|sinx|+cosx;(2)f(x)=cos(2π-x)-x3sinx.解(1)函数的定义域为R,又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,因为f(x)=cosx-x3sinx,所以f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cosx-x3sinx=f(x),所以函数f(x)为偶函数. 探究点三正弦函数、余弦函数的单调性【例3】求下列函数的减区间: 规律方法求正弦、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上,如果ω<0,通常先利用诱导公式将ω化为大于0. 变式探究 【例4】比较下列各组数的大小:(1)sin250°与sin260°; 规律方法比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较.(2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上. 变式训练3比较下列各组数的大小.(2)sin194°与cos160°. (2)∵sin194°=sin(90°+104°)=cos104°,而0°<104°<160°<180°,且y=cosx在[0,π]上单调递减.∴cos104°>cos160°,即sin194°>cos160°. 探究点四三角函数的最值【例5】求下列函数的最值. 规律方法与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解思路(1)求形如y=asinx+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1≤sinx≤1)求解.(2)对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函数,当定义域为R时,值域为[-|A|+k,|A|+k];当定义域为某个给定的区间时,需确定ωx+φ的范围,再结合函数的单调性确定值域.(3)求形如y=asin2x+bsinx+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sinx,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值,求解过程中要注意正弦函数的有界性.(4)求形如y=,ac≠0的函数的值域,可以用分离常量法求解;也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y. 变式探究 变式训练4 本节要点归纳1.知识清单:(1)正弦函数、余弦函数的图象:“五点法”作图;(2)正弦函数、余弦函数的性质:定义域、奇偶性、周期性、单调性、值域.2.方法归纳:数形结合、换元法.3.常见误区:求单调区间时忽视ω<0,漏掉k∈Z. 学以致用•随堂检测全达标 1.用“五点法”作函数y=cos2x,x∈R的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是()答案B 答案B 3.函数y=cos2x在下列哪个区间上单调递减() 答案C解析若函数y=cos2x单调递减,应有2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,即 答案B 5.下列关系式中正确的是()A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°答案C解析∵sin168°=sin(180°-12°)=sin12°,cos10°=sin(90°-10°)=sin80°.由正弦函数的单调性得sin11°<sin12°<sin80°,即sin11°<sin168°<cos10°. 本课结束