湘教版必修第二册课件3.3.1 第2课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质

1．理解正弦函数、余弦函数的奇偶性的概念，并能够判断和应用三角函数的奇偶性．2．理解正弦函数和余弦函数的对称性．3．理解正弦函数、余弦函数最大值和最小值的概念，会求三角函数的最值或值域．3.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质(二) 正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx的定义域都是__，定义域关于____对称．(2)由sin(－x)＝______知正弦函数y＝sinx是__上的__函数，它的图象关于_____对称．(3)由cos(－x)＝____知余弦函数y＝cosx是R上的__函数，它的图象关于____对称．自学导引1．R原点－sinxR奇原点cosx偶y轴 y＝sinx的定义域为__，值域为________．y＝cosx的定义域为__，值域为________．正弦函数y＝sinx(1)最大值1，当且仅当x＝＋2kπ(k∈Z)时取得；2．3．R[－1，1]R[－1，1](3)图象与x轴的交点(y＝0的点)的坐标为(kπ，0)，(k∈Z)． 余弦函数y＝cosx：4． 已知f(x)＝sin(2x＋φ)，试求φ为何值时：(1)f(x)是奇函数？(2)f(x)是偶函数？提示(1)∵f(x)的定义域为R.∴当f(x)为奇函数时必有f(0)＝0，即sinφ＝0，∴φ＝kπ(k∈Z)．即当φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝sin(2x＋φ)是奇函数．(2)∵偶函数的图象关于y轴对称，且正余弦函数在对称轴处取最值．∴要使f(x)为偶函数，需有f(0)＝±1，自主探究 函数f(x)＝sin3x是()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数答案A预习测评1． 2.答案B 函数y＝4sin(2x＋π)关于()．A．x轴对称B．原点对称C．y轴对称D．直线x＝对称答案B3．设M和m分别是函数y＝cosx＋1的最大值和最小值，则M－m等于()．4．答案B 根据正弦函数和余弦函数的奇偶性与周期性可知，正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(1)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值．正弦曲线的对称轴为x＝kπ＋k∈Z)，余弦曲线的对称轴为x＝kπ(k∈Z)．名师点睛1．2． 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝－3cos2x；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；解(1)显然x∈R，∵f(－x)＝－3cos(－2x)＝－3cos2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．题型一正弦函数、余弦函数的奇偶性【例1】典例剖析 ∴f(x)的定义域关于原点对称．又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．点评判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系． A．奇函数B．非奇非偶函数C．偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析∵f(x)＝xsinx，定义域为R，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，∴f(x)是偶函数．答案C1. 题型二图象的对称性【例2】 点评正弦函数、余弦函数图象的对称轴就是过最值点且垂直于x轴的直线，对称中心是其图象与x轴的交点．但正、余弦函数在某个指定区间内的图象，不一定有对称轴或对称中心．如函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象有一个对称中心(π，0)，但没有对称轴；函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象有一条对称轴x＝π，但没有对称中心． 函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ的一个取值是()．2.答案A 求下列函数的最大值和最小值：题型三正弦函数、余弦函数的最值【例3】 点评求三角函数的最值(或值域)，方法灵活，因题而异，其基本思路是将所求函数的最值(或值域)转化为正、余弦函数的最值(或值域)． 3. 误区警示在求msinx的最值时考虑不周全而出错【示例】错因分析函数y＝a＋bsinx的最值受b的影响，当b＞0时，最大值为a＋b，最小值为a－b；当b＜0时，最大值为a－b，最小值为a＋b. 纠错心得对于msinx及mcosx，不能简单地认为它们的最大值为m，最小值为－m.应按m的符号进行讨论．一般地，msinx及mcosx的最大值为|m|，最小值为－|m|. 讨论对称问题时要注意最值点、平衡点的必然联系，形成思维网络．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，判断函数定义域关于原点对称后，可先把解析式化简后再判断奇偶性．函数的奇偶性体现了图象的对称性，要牢记正弦曲线、余弦曲线的对称轴与对称中心．讨论三角函数的所有性质都要在其定义域内进行．课堂总结1．2．3．