湘教版必修第二册课件3.3.1 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质

1．会用正弦线画正弦曲线，会利用平移作余弦函数的图象．2．会用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线的简图．3.3三角函数的图象与性质3.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质(一) 正弦函数图象的画法(1)几何法—借助三角函数线；(2)描点法—五点法．函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象上起关键作用的点有以下五个：自学导引1． 余弦函数图象的画法(1)依据诱导公式cosx＝sin，要得到y＝cosx的图象，只须把y＝sinx的图象向__平移个单位长度即可．(2)用“五点法”画出余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：2．左 函数y＝sinx＋2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．自主探究在同一坐标系里作出函数y＝sinx＋2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k.由图可知，当函数y＝sinx＋2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点时，k的取值范围是1＜k＜3. 正弦曲线上最高点的纵坐标是()．预习测评1．答案Dy＝1＋sinx，x∈[0，2π)的图象与直线y＝有______个交点()．A．1B．2C．3D．0答案B在[0，2π]上，f(x)＝cosx的零点有________个()．A．0B．1C．2D．3答案C2．3． 在“五点法”中对于正弦曲线，最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于()．4．答案B 正弦曲线的几何作法利用单位圆中的正弦线，可以作出正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象，具体分为如下五个步骤：(1)作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆．(2)把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)如图．过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0，…，2π等角的正弦线．名师点睛1． (3)找横坐标：把x轴上从0～2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．(4)找纵坐标：将正弦线对应平移，即可找出相应的12个点．(5)连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得y＝sinx，x∈[0，2π]的图象． 我们通过图象的平移作正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象，正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线．下图是正弦曲线y＝sinx，(x∈R)的图象： “五点法”在精确度要求不太高的情况下，可用五点法作出y＝sinx的图象，x∈[0，2π]的图象上有五点起决定作用，它们是(0，0)、(2π，0)．描出这五2．点后，其图象的形状基本上就确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做“五点法”． 作出下列函数的简图．(1)y＝1－sinx，x∈[0，2π]；(2)y＝－1－cosx，x∈[0，2π]．解(1)利用“五点法”作图列表：题型一“五点法”作图【例1】典例剖析 描点作图，如图所示：(2)列表： 描点作图，如图所示．点评作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sinx或y＝cosx的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法． 作出函数y＝的图象．解原函数可化为y＝|sinx|，作出函数y＝sinx的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，其图象如图：1. 求函数y＝lgsinx＋的定义域．题型二利用图象求定义域【例2】 点评求有关正弦函数、余弦函数的定义域问题，就是先列出使函数解析式有意义的关于sinx和cosx的不等式或不等式组，再借助正弦曲线、余弦曲线找出使不等式成立的x的取值范围．此类问题也可借助单位圆中的正弦线、余弦线求解． 函数y＝的定义域是______________．2. 在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数．解建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0，2π)的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图象．题型三利用三角函数的图象判断方程解的个数【例3】 由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个．点评三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 方程sinx＝x的实数解的个数为()．A．1B．2C．3D．5解析在同一平面直角坐标系中，作出直线y＝x和正弦曲线y＝sinx，观察图象可知，x＝0是方程的一个实数解．而在(0，＋∞)上总有sinx<x，所以在(0，＋∞)上两个函数的图象没有交点，由对称性可知，在(－∞，0)上也没有交点．所以方程只有一个实数解x＝0.答案A3． 当x∈[，π]时，sinx＝2m－1，求实数m的取值范围．错解因为－1≤sinx≤1，所以－1≤2m－1≤1，解得m的取值范围0≤m≤1.误区警示不注意三角函数的取值范围而出错【示例】 纠错心得三角函数的取值范围与定义域有关，因此，在求解有关范围问题时，一定要先看清定义域，再由定义域推得三角函数的取值范围，最后求出正确答案． 正弦曲线和余弦曲线的形状完全相同，只是在同一直角坐标系下的位置不同．三角函数图象直观地反映了三角函数的性质，所以画好三角函数的图象是研究三角函数性质的关键，因此一定要掌握正弦、余弦函数的图象特征，特别是会灵活运用五点作图法准确作出函数图象．关键点指的是图象的最高点、最低点及与x轴的交点．利用正弦曲线、余弦曲线，可以根据三角函数值的范围判断角的范围，也可以判断某些超越方程实数解的个数．要求准确作图，数形结合，综合分析．课堂总结1．2．3．4．