苏教版必修第一册课件5.3 第1课时 函数的单调性

第5章第1课时　函数的单调性 课标要求1.理解函数的单调性的定义及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性;2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性;3.会求一些具体函数的单调区间. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1增函数与减函数y随x的增大而增大(减小),y=f(x)是增(减)函数条件设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A.如果对于区间I内的两个值x1,x2,当x1<x2时,都有结论那么称y=f(x)在区间I上单调递,I称为y=f(x)的区间.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称f(x)是函数那么称y=f(x)在区间I上单调递,I称为y=f(x)的区间.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称f(x)是函数任意f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增增增减减减 图示 名师点睛x1,x2的特征(1)任意性,即“任意两个值x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x1<x2;(3)属于同一个单调区间.这三个条件缺一不可. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数f(x)为减函数,则f(-5)>f(3).()(2)若函数y=f(x)在定义域上有f(2)<f(4),则函数y=f(x)在定义域上是增函数.()(3)若函数y=f(x)是增函数,则其图象从左向右看呈上升趋势.()2.如何判断一个函数是不是增函数?√×√提示方法一,通过定义,∀x1,x2∈A,当x1<x2时,是否满足f(x1)<f(x2);方法二,通过观察函数的图象是否呈上升趋势. 知识点2函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么称函数y=f(x)在区间I上具有,增区间和减区间统称为.单调性单调区间 名师点睛1.区间I必为函数定义域A的子集,即I⊆A,所以单调性是函数定义域内的局部性质.2.函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的真子集.如y=x在整个定义域(-∞,+∞)上是增函数,y=-x在整个定义域(-∞,+∞)上是减函数,但y=x2在定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,其在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.3.一个函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间用“,”隔开,或者用“和”连接,不能用“并”或“且”连接. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果f(x)在区间[a,b]和(b,c]上都单调递增,则f(x)在区间[a,c]上单调递增.()(2)若函数y=f(x)在区间D上单调递增,则函数y=-f(x)在区间D上单调递减.()2.函数y=在定义域上是减函数吗?×√提示不是.y=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上也单调递减,但不能说y=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数. 重难探究•能力素养全提升 探究点一函数单调性的判断与证明【例1】证明函数f(x)=x+在(0,1)上单调递减.∵0<x1<x2<1,∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)=x+在(0,1)上单调递减. 规律方法利用定义证明函数单调性的步骤 变式训练1试用函数单调性的定义证明f(x)=在(1,+∞)上单调递减.因为1<x1<x2,所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上单调递减. 探究点二求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减.解(1)函数f(x)=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都单调递增.(2)当x≥1时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. 根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],[-1,0],[0,1],[1,+∞).f(x)在(-∞,-1],[0,1]上单调递增,在[-1,0],[1,+∞)上单调递减. 规律方法1.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;(2)利用函数的图象,如本例(3).2.若所求出函数的增区间或减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”或“和”连接,如本例(3). 变式训练2(1)根据图象说出函数在每一单调区间上单调递增还是单调递减;(2)写出y=|x2-2x-3|的单调区间. 解(1)函数在[-1,0],[2,4]上单调递减,在[0,2],[4,5]上单调递增.则y=|x2-2x-3|的减区间为(-∞,-1],[1,3];增区间为[-1,1],[3,+∞). 探究点三函数单调性的综合应用【例3】(1)若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是.(2)已知函数y=f(x)是增函数,且f(2x-3)>f(5x-6),则实数x的取值范围为.答案(1)(-∞,-4](2)(-∞,1)解析(1)∵f(x)=-x2-2(a+1)x+3的图象开口向下,要使f(x)在(-∞,3]上单调递增,只需-(a+1)≥3,即a≤-4,∴实数a的取值范围为(-∞,-4].(2)∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且f(2x-3)>f(5x-6),∴2x-3>5x-6,即x<1.∴实数x的取值范围为(-∞,1). 规律方法函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a,b]上具有单调性,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也具有单调性. 变式探究1在本例(1)中,若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的增区间是(-∞,3],则实数a的值为.答案-4解析由题意可知-(a+1)=3,即a=-4. 变式探究2若本例(2)的函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,求x的取值范围. 变式训练3已知函数g(x)是增函数,且g(2x-3)>g(5x+6),求实数x的取值范围.解∵g(x)是增函数,且g(2x-3)>g(5x+6),∴2x-3>5x+6,即x<-3.故实数x的取值范围为(-∞,-3). 本节要点归纳1.知识清单:(1)增函数、减函数的定义;(2)函数的单调性与单调区间.2.方法归纳:数形结合法.3.常见误区:(1)函数的单调区间不能用并集;(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域. 学以致用•随堂检测全达标 1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A.函数在区间[-5,-3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[-5,5]上没有单调性答案C解析由图可知,f(x)在区间[-3,1],[4,5]上单调递减,单调区间不可以用并集“∪”连接,故选C. 2.函数f(x)是减函数,则有()A.f(3)<f(5)B.f(3)≤f(5)C.f(3)>f(5)D.f(3)≥f(5)答案C解析∵3<5,且f(x)在R上是减函数,∴f(3)>f(5). 3.下列函数在(-∞,0)上单调递减的是()A.y=-B.y=2x+1C.y=x2D.y=x0答案C解析对于A,y=-为反比例函数,在(-∞,0)上单调递增,不符合题意;对于B,y=2x+1为一次函数,在(-∞,0)上单调递增,不符合题意;对于C,y=x2为二次函数,在(-∞,0)上单调递减,符合题意;对于D,y=x0=1(x≠0),在(-∞,0)上不单调递减,不符合题意.故选C. 4.已知函数f(x)是减函数,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是.答案(-∞,3)解析由f(2)=-1知,若满足f(2x-4)>-1,则f(2x-4)>f(2).又函数f(x)是减函数,则2x-4<2,解得x<3,所以实数x的取值范围为(-∞,3). 5.已知函数f(x)=(k≠0)在区间(0,+∞)上单调递增,则实数k的取值范围是.答案(-∞,0)解析结合反比例函数的单调性可知k<0. 6.证明:函数y=在(-1,+∞)上单调递增. 本课结束