苏教版必修第一册课件5.2 函数的表示方法

第5章5.2函数的表示方法 课标要求1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用;2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1函数的表示方法1.列表法:用来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.2.解析法:用来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫作函数的解析表达式,简称解析式.3.图象法:用表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.列表等式图象 名师点睛三种表示方法的优、缺点比较表示方法优点缺点解析法①简明、全面地概括了变量间的关系;②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值 表示方法优点缺点图象法直观、形象地表示出函数的变化情况,有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)解析法可以表示所有的函数.()(2)用列表法表示函数时,y对应的那一行数字可能出现相同的情况.()(3)函数y=2x的图象是由集合{y|y=2x}中的元素构成.()2.任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗?×√×提示不一定.并不是所有的函数都可以用解析法表示,不仅如此,图象法也不适用于所有函数,如D(x)=列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段. 知识点2分段函数1.定义在定义域内不同部分上,有.像这样的函数,通常叫作分段函数.2.分段函数的图象分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一平面直角坐标系中,根据每段的定义区间和解析式依次画出图象,要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个分段函数的图象.不同的解析表达式 名师点睛1.分段函数是一个函数而不是几个函数.解决分段函数问题时,要先确定自变量的取值在哪个区间,从而选取相应的对应关系.2.分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,各段自变量取值范围的交集为空集.3.分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.4.作分段函数的图象时,应根据不同定义域上的解析式分别作出,再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象.5.分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并且指明各段函数自变量的取值范围. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)分段函数尽管在定义域不同部分上有不同的解析表达式,但它是一个函数.()(3)分段函数的定义域是各段上取值范围的并集.()√×√ A.RB.[0,2]∪{3}C.[0,+∞)D.[0,3]答案B解析当0≤x≤1时,0≤2x≤2,即0≤f(x)≤2;当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}.故选B. 答案0解析∵f(4)=-4+3=-1,f(-1)=-1+1=0,∴f(f(4))=f(-1)=0. 重难探究•能力素养全提升 探究点一函数表示法的选择【例1】某商场新进了10台彩电,每台售价3000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.解①列表法如下:x/台12345y/元3000600090001200015000x/台678910y/元1800021000240002700030000 ②图象法:如图所示.③解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}. 规律方法列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系,同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意:①解析法必须注明函数的定义域;②列表法选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征;③图象法要注意是否连线. 变式训练1已知函数f(x)=-x-1,x∈{1,2,3,4},试分别用图象法和列表法表示函数y=f(x).解用图象法表示函数y=f(x),如图所示.用列表法表示函数y=f(x),如表所示.x1234y-2-3-4-5 探究点二函数解析式的求法(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)=;(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)=. (2)设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.又f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8, 规律方法求函数解析式的四种常用方法(1)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.(2)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.(3)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可.(4)方程组法:当同一个对应关系中出现两个变量之间互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解. 变式探究1把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数,且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x”,求f(x)的解析式.解设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1.又f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1,所以f(x+1)-f(x)=2ax+a+b.解得a=1,b=-1.所以f(x)=x2-x+1. 变式探究2把本例(3)的题干改为“函数f(x)对于任意的x都有2f+f(x)=x(x≠0)”,求f(x)的解析式. 变式训练2已知函数f(-2)=x-4,则函数f(x)的解析式为f(x)=.答案x2+4x,x≥-2解析令-2=t,则x=(t+2)2,t≥-2,f(t)=(t+2)2-4=t2+4t,故f(x)=x2+4x,x≥-2. 探究点三分段函数角度1分段函数的求值(2)若f(a)=3,求实数a的值. (2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去.当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0.∴(a-1)(a+3)=0,解得a=1或a=-3.∵1∈(-2,2),-3∉(-2,2),∴a=1符合题意.当a≥2时,2a-1=3,即a=2,符合题意.综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2. 规律方法1.求分段函数的函数值的步骤(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.2.已知函数值求自变量取值的步骤(1)先确定自变量可能存在的区间及其对应的函数解析式.(2)再将函数值代入到不同的解析式中.(3)通过解方程求出自变量的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内. 变式训练3答案B 角度2分段函数的图象及应用【例4】已知函数f(x)=1+(-2<x≤2).(1)用分段函数的形式表示f(x);(2)画出f(x)的图象;(3)写出函数f(x)的值域. (2)函数f(x)的图象如图所示.(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). 规律方法分段函数图象的画法作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意分段点、连接点处点的虚实,保证不重不漏. 变式探究在本例条件不变的情况下,试讨论直线y=a与函数y=f(x)图象的交点个数.解①当a≥3或a<1时,y=a与y=f(x)的图象无交点;②当1<a<3时,y=a与y=f(x)的图象有且只有一个交点;③当a=1时,y=a与y=f(x)的图象有无数个交点. 变式训练4已知函数y=|x|(x-4).(1)将函数y=|x|(x-4)写成分段函数的形式,并画出图象;(2)试讨论直线y=k与y=|x|(x-4)图象的交点个数. 解(1)当x<0时,y=|x|(x-4)=-x(x-4);当x≥0时,y=|x|(x-4)=x(x-4).(2)由(1)中函数的图象可得,当k<-4或k>0时,直线y=k与y=|x|(x-4)的图象有一个交点;当k=-4或k=0时,直线y=k与y=|x|(x-4)的图象有两个交点;当-4<k<0时,直线y=k与y=|x|(x-4)的图象有三个交点. 本节要点归纳1.知识清单:(1)函数的三种表示方法:解析法、列表法、图象法;(2)求函数的解析式;(3)分段函数的概念、求值及图象的应用.2.方法归纳:换元法、待定系数法、分类讨论、数形结合.3.常见误区:(1)换元法求解析式时忽略新元的取值范围;(2)作分段函数图象时注意衔接点的虚实. 学以致用•随堂检测全达标 答案A 2.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x+2D.f(x)=3x+4答案A解析令x+1=t,则x=t-1,∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1.∴f(x)=3x-1. 3.由下表给出函数y=f(x),则f(f(1))等于()x12345y45321A.1B.2C.4D.5答案B解析由题表可知f(1)=4,∴f(f(1))=f(4)=2. 4.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为.解析当0≤x<1时,f(x)=-1;当1≤x≤2时,设f(x)=kx+b(k≠0), 5.f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域为.答案[-4,3]解析由函数的图象可知,f(x)的值域为[-2,3]∪[-4,2.7],即[-4,3]. (1)画出f(x)的图象;(2)求f(x)的定义域和值域.解(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1],当x>1或x<-1时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[0,1]. 本课结束